TAU-Lektsia_2_10

52

Используя эти обозначения, частотное условие можно записать в виде

Частотное условие будет выполнено, если эрмитова матрица будет положительно определенной.

53

Согласно критерию положительной определенности эрмитова матрица H(j ) будет положительно определенной, если ее главные угловые миноры будут

Так как все параметры положительны, первое неравенство выполняется при

– ≤ ≤ . Чтобы определить, при каких значениях параметров будет выполнятся второе неравенство, представим его в виде

54

Так как в обеих частях выражения в скобках положительны, то последнее неравенство можем записать в виде

Если обе части приведенного неравенства умножить на (T )2 + 1 и положить τ = 1/k2 и τ3 = 1/k1, то получим

k1 T 2 1 1 k2

Это неравенство будет выполнено при – ≤ ≤ , если оно будет выполнено при = 0. А при = 0 последнее неравенство будет выполнено и соответственно рассматриваемая система будет асимптотически устойчива в целом, если

55

14.6. Круговой критерий абсолютной устойчивости

Рассмотрим опять задачу об абсолютной устойчивости в угле [α, β] нелинейной системы с одной нелинейностью.

Как было показано, в этом случае класс нелинейностей (нелинейность в общем случае является нестационарной) может быть определен локальной связью

F(e,u)= (βe – u)(u – αe) > 0 t ≥ 0.

Наряду с данной системой рассмотрим систему сравнения, в которой нелинейное звено заменено линейным звеном с передаточной функцией

56

Пусть передаточная функция линейной части имеет l полюсов в правой полуплоскости и не содержит полюсов на мнимой оси.

Тогда по критерию Найквиста для того чтобы система сравнения была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы (т.е. годограф частотной передаточной функции W(j ) = μWл(j ) при 0 ≤ ≤ ) охватывала точку (–1, j0) l/2 раз против часовой стрелки.

Или, что то же, для того чтобы система сравнения была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф частотной передаточной функции линейной части Wл(j ) при 0 ≤ ≤ охватывал точку (–1/μ, j0) l/2 раз против часовой стрелки.

Очевидно, для того чтобы система сравнения была робастно устойчива в интервале [α, β] (т.е. при всех μ [α, β]), необходимо и достаточно, чтобы годограф частотной передаточной функции линейной части Wл(j ) охватывал отрезок [–1/β, – 1/α] на действительной оси l/2 раз против часовой стрелки.

57

В частности, если линейная часть устойчива, для того чтобы система сравнения была робастно устойчива в интервале [α, β], необходимо и достаточно, чтобы годограф частотной передаточной функции линейной части Wл(j ) не охватывал указанный отрезок.

Круговой критерий абсолютной устойчивости в угле [α, β] является обобщением критерия Найквиста робастной устойчивости на интервале линейных систем на нелинейные системы. При этом роль отрезка [–1/β, –1/α] на вещественной оси играет окружность с центром на вещественной оси, пересекающая вещественную ось в точках –1/β и –1/α. Эту окружность называют [α, β]-окружностью.

58

Круговой критерий абсолютной устойчивости. Пусть система сравнения устойчива при каком-либо μ [α, β], 0 < α < β < , передаточная функция

линейной части имеет l полюсов в правой полуплоскости и не имеет полюсов на

мнимой оси.

Тогда для того чтобы нелинейная система была абсолютно устойчива в угле

[α, β], достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика линейной части охватывала [α, β]-окружность l/2 раз против часовой стрелки.

Если l = 0 (линейная часть устойчива), то для того чтобы нелинейная система была абсолютно устойчива в угле [α, β], достаточно, чтобы амплитудно-

фазовая характеристика линейной части не пересекала [α, β]-окружность.

59

Докажем круговой критерий, пользуясь квадратичным критерием.

Эрмитово расширение квадратичной формы

F(e,u)= (βe – u)(u – αe)

имеет вид

F(E(s), U) = Re[βE(s) – U][U – αE(s)]*.

При g = 0 имеем E(s) = – Wл(s)U. Подставив это выражение для E(s) в последнее равенство и положив s = j , частотное условие можно записать в виде

Так как αβ > 0 и строгое неравенство должно выполнятся при U 0, то частное условие можно представить в виде

60