TAU-Lektsia_2_10
.pdf
Если положить 1 – ba1 – ca2 = 0, или c = (1 – ba1)/a2 и q = 2ck, то производная примет вид
V x 2 ca1 b x22 2ba2 x12 2bx1kf x1
и она будет отрицательно определенной, если b > 0, ca1 – b > 0, или 0 < b < ca1. Подставив сюда выражение для c, получим
0 b a1 / a12 a2
Функция V(x) будет положительно определенной, если c – b2 > 0. Это условие всегда можно выполнить, выбрав b достаточно малым. Так как функция Ляпунова включает положительно определенную квадратичную форму, то она будет неограниченно возрастать при стремлении |x| к бесконечности. Следовательно, положение равновесия системы абсолютно устойчиво.
11
14.3. Частотные методы исследования абсолютной устойчивости
Проблема абсолютной устойчивости сначала исследовалась прямым методом Ляпунова. Однако с начала 60-х годов прошлого века стал широко использоваться частотный метод.
12
14.3.1. Линейная часть устойчива
Рассмотрим сначала случай, когда линейная часть нелинейной системы устойчива. Представим ее частотную передаточную функцию в виде
Wл(j )=U( ) + jV( ).
Критерий Попова. Для того чтобы положение равновесия системы (14.3) с устойчивой линейной частью было абсолютно устойчиво в угле [0, k], достаточно, чтобы существовало такое вещественное число q, что при всех≥ 0 выполняется неравенство
Re[(l+jq ) Wл(j )] + 1/k > 0, |
(14.5а) |
или
U( ) – q V( ) > –1/k. |
(14.5б) |
Доказательство критерия Попова рассматривается в рамках самостоятельной13 работы студентов.
Пример 14.2. Передаточная функция линейной части имеет вид
Wл |
p |
|
|
|
b0 |
|
b0 , a0 , a1 , a2 |
0 |
|
a |
0 |
p2 |
a p a |
2 |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
Определить, при каких значениях k система будет абсолютно устойчива в угле
[0, k]. |
|
|
|
|
|
|
p j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b a a 2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U a a 2 2 |
a 2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
W j |
|
|
|
|
b0 |
|
V |
|
|
|
|
|
b0 a1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
л |
|
a0 |
2 |
ja1 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
a2 |
a0 |
|
a1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U( ) – q V( ) > –1/k. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
b a |
|
|
1 |
|
|
q = a0/a1 |
b |
a a 2 qb a 2 |
1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||||||||||||||
|
a a 2 |
2 |
a 2 k |
|
a a 2 |
2 |
|
a 2 |
k |
||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
Неравенство выполняется при любом ≥ 0 и любом k > 0. Поэтому рассматриваемая система абсолютно устойчива в угле [0, конечном k > 0.
(14.5б)
0
k] при любом
14
В приведенной выше формулировке теоремы Попова не просматривается частотная сущность. Рассмотрим другую, частотную формулировку теоремы Попова. Для этого введем в рассмотрение следующие частотные функции:
UM( ) = U( ), VM( )= V( ), WM(j ) = UM( )+jVM( ). |
(14.6) |
Последняя функция называется модифицированной частотой передаточной функцией (линейной части). Используя первые две функции, неравенство (14.5б) можно представить виде
UM( ) – qVM( ) > –1/k. |
(14.7) |
Если построить на плоскости (UM,VM) так называемую прямую Попова, которая описывается уравнением
UM( ) – qVM( ) = –1/k,
где q – произвольное вещественное число, то правее прямой Попова выполняется неравенство (14.7). Поэтому если построить частотную характеристику – кривую, которая описывается уравнением в параметрической форме
UM=UM( ), VM =VM( )
при 0 ≤ < , то она полностью располагается правее прямой Попова в том и
15
только том случае, когда выполняется условие (14.7).
|
jVM |
|
Прямая Попова |
–1/k |
UM |
Если построить на комплексной плоскости (UM,jVM) прямую Попова
(прямую, пересекающую вещественную ось в точке –1/k) под наклоном 1/q
и годограф модифицированной частотной передаточной функции WM(j ) при 0 ≤ < , который называется
модифицированной частотной характеристикой (линейной части),
то условие (14.7) будет выполнено в том и только том случае, когда модифицированная частотная характеристика располагается правее прямой Попова.
16
Частотная формулировка критерия Попова. Для того чтобы положение равновесия системы (14.3) с устойчивой линейной частью было абсолютно устойчиво в угле [0, k], достаточно, чтобы можно было провести прямую, проходящую через точку (-l/k,j0), т.е. прямую Попова такую, что модифицированная частотная характеристика полностью располагается правее этой прямой.
Модифицированная частотная характеристика отличается от обычной (не модифицированной) частотной характеристики только ординатами (см. (14.6)).
17
Пример 14.3. Пусть передаточная функция линейной части имеет вид
Wл = 1/(р + 1)3. Исследовать, является ли система абсолютно устойчивой в угле
[0,3].
Решение. Легко проверить, что необходимое условие абсолютной устойчивости выполняется. Для этого достаточно проверить устойчивость системы сравнения (14.4) при k = 3. Характеристическое уравнение системы сравнения при таком коэффициенте имеет вид
3 + 3 2 + 3 + 4 = 0.
Определитель Гурвица 2-го порядка положителен: 2 =3 3 – 4 = 5. Необходимое условие абсолютной устойчивости выполняется.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части расположена правее прямой Попова – прямой, пересекающей ось абсцисс в точке –0,33 и параллельной оси ординат. Так как модифицированная частотная характеристика отличается от приведенной только по оси ординат, то и она будет располагаться правее
18 этой прямой. Следовательно, система абсолютно устойчива в угле [0,3].
14.3.2. Линейная часть неустойчива
Пусть линейная часть нелинейной системы неустойчива.
g |
ξ |
f(ξ) |
u |
y |
|
|
|
Wл |
Преобразуем ее следующим образом. Охватим линейную часть отрицательной обратной связью звеном с передаточной функцией r, а к нелинейному звену подключим параллельно звено также с передаточной функцией r, выход которого подключен к сумматору по отрицательному входу.
g |
ξ |
fп |
Wп |
y |
f(ξ) |
u |
|||
|
|
|
Wл |
r |
r |
19
Преобразованная схема эквивалентна исходной схеме. Действительно, учитывая g = 0, на входе линейного звена преобразованной схемы имеем
u = f(ξ) + ry – ry = f(ξ),
т.е. тот же сигнал, что и на входе линейного звена исходной схемы.
В преобразованной схеме передаточная функция линейной части имеет вид
Wп=Wл/(1+rWл),
а нелинейность выражается равенством
fп(ξ) = f(ξ) – rξ.
Так как при ξ 0 имеем fп(ξ)/ξ = f(ξ)/ξ – r, то неравенство r ≤ f(ξ)/ξ ≤ k равносильно неравенству 0 ≤ fп(ξ)/ξ ≤ k – r.
Поэтому положение равновесия исходной системы абсолютно устойчиво в угле [r, k], если положение равновесия преобразованной системы абсолютно устойчиво в угле [0, k – r].
20