TAU-Lektsia_2_10

Пример 14.5. Исследовать устойчивость системы

Здесь входом «нелинейного» звена является y, выходом – u. В качестве локальной связи примем соотношение

F(y, u) = y2 – u2 = y2 – y2 cos2 t = y2 sin2 t ≥ 0.

Система минимально устойчива в рассматриваемом классе, так как линейная часть устойчива и F(y,0) ≥ 0 при любом y. Эрмитово расширение квадратичной формы этой локальной связи имеет вид

41

Подставив сюда выражение для Y(s) и положив s = j , для частотного условия

Так как это неравенство должно выполняться при U 0, то обе части неравенства можно разделить на |U|2. Квадрат амплитудной частотной функции линейной части имеет вид

Подставив это выражение в частотное условие, его можно представить в виде

1 – (2 – 2)2 – 16 2 < 0, или – 3 – 12 2 – 4 < 0.

Очевидно, последнее неравенство выполняется при – ≤ ≤ . Следовательно, положение равновесия рассматриваемой системы асимптотически устойчиво в целом.

42

14.5.4. Методы построения квадратичной формы локальной связи

Чтобы воспользоваться квадратичным критерием при исследовании устойчивости каких-либо систем, нужно по заданным уравнениям системы строить локальную связь, т.е. определять класс систем, в который можно было бы включить данную систему. В зависимости от конкретного вида нелинейностей возможны различные способы задания локальной связи.

1) Как уже было показано, если нелинейность u = f(ξ) принадлежит к классу, определяемому неравенством

α ≤ f(ξ)/ξ ≤ β,

то локальная связь может быть задана в виде

F(ξ, u) = (βξ – u)(u – αξ) ≥ 0

Если α = 0 и 0 < β < , то эта связь принимает вид

F(ξ, u) = u(βξ – u) ≥ 0 или F(ξ, u) = u(ξ – β–1u) ≥ 0.

43

2) Если система содержит две нелинейности вида

u1 = ξ2, u2 = ξ3 или u1 = ξ3, u2 = ξ5,

то локальную связь можно задать в виде равенства

F ξ ,u ξu2 u12 0

3) Система содержит две одинаковые нелинейности

ui = f(ξi,t) (i = 1,2),

и f(ξi,t) является неубывающей функцией переменной ξi при всех t ≥ 0:

f ξi ,t f ξi ,t

при ξi ξi . В этом случае локальную связь можно задать в виде

F(ξ, u) = (ξ1 – ξ2)(u1 – u2) ≥ 0.

44

5) Иногда локальная связь может быть задана несколькими соотношениями в виде равенств и неравенств:

Fi ξ,ξ,u 0, i 1,2, , r;

Fk ξ,ξ,u 0, k r 1, r 2, , p.

Такую локальную связь можно преобразовать в локальную связь с одной формой, свернув все квадратичные формы в одну:

Здесь τj (j = 1, 2,..., r) – произвольные постоянные, τj (j = r + 1, r + 2, ..., p) – произвольные положительные постоянные. Локальная связь

с одной формой эквивалентна исходной локальной связи с p формами.

46

6) Если система содержит нелинейность, которая имеет вид u = (a cos t + b sin t)ξ,

то ее можно представить как систему, содержащую две нелинейности вида

u1 = ξ cos t, u2 = ξ sin t.

При этом локальную связь можно определить равенством

F ξ 2 u12 u22 0

47

Пример 14.6. Система описывается уравнениями

Te1 e1 k1u1 k2u2 ,

Te2 e2 k2u1 k2u2 , ui f ei ,t , i 1,2,

T, k1, k2 – положительные постоянные,

f(ei,t) – неубывающая по переменной ei функция, удовлетворяющая при всех t ≥ 0 условию

f(0,t)=0, 0 ≤ f(ei,t)/ei ≤ β при ei 0.

Определить значения постоянных T, k1, k2, при которых положение равновесия системы асимптотически устойчиво в целом.

48

Решение. Найдем матричную передаточную функцию линейной части W = [Wik], где Wik = Ei(s)/Uk(s) (i, k = 1, 2). Для этого произведем преобразование Лапласа исходных уравнений, описывающих линейную часть, при нулевых начальных условиях:

TsE1(s) + E1(s) = –k1U1(s) + k2U2(s),

TsE2(s) + E2(s) = k2U1(s) – k1U2(s).

Отсюда, положив U2(s) = 0 при определении Wi1 и U1(s) =0 при определении Wi2, находим

Если использовать обозначение Wi = ki/(Ts + 1), то матричную передаточную функцию можно записать в виде

49

С помощью передаточных функций уравнение системы в изображениях Лапласа можно записать в виде

связи50 : F(e, 0) = 0 .