TAU-Lektsia_2_10
.pdfПусть преобразованная линейная часть устойчива, т. е. все полюса передаточной функции Wп имеют отрицательные вещественные части.
Тогда по теореме Попова положение равновесия преобразованной системы абсолютно устойчиво в угле [0, k – r], если выполняются неравенства
Re 1 jq Wп j |
1 |
0 |
|
|
|||
k r |
|||
|
|
Uп q Vп |
1 |
(14.8) |
|
k r
где
Uп( ) = Re Wп(j ) и Vп( ) = Im Wп(j ).
21
Критерий Попова. Положение равновесия нелинейной системы (14.3) с
неустойчивой линейной частью абсолютно устойчиво в угле [r, k], если все
полюса преобразованной передаточной функции Wп=Wл/(1+rWл) имеют отрицательные вещественные части и существует такое вещественное число q, что при всех ≥ 0 выполняется неравенство (14.8).
22
Пример 14.4. Пусть передаточная функция линейной части имеет вид
Wл = 10/(р – 1). Исследовать, является ли система абсолютно устойчивой в угле
[0,2; 200].
Решение. Преобразованная передаточная функция имеет вид
Wп=Wл/(1+rWл) = 10/(p + 1).
Отсюда для частотной передаточной функции, а также для вещественной и мнимой частотных функций имеем
W j |
10 |
|
|
10 1 j |
, U |
10 |
|
, V |
10 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
j 1 |
|
2 1 |
2 1 |
2 1 |
||||||||
п |
|
|
п |
п |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие (14.8) принимает вид
10 |
|
q |
10 |
|
|
10 q10 2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 1 |
2 1 |
|
2 1 |
200 0,2 |
|||||
|
|
|
|
и оно выполняется при любом q ≥ 0. Следовательно, рассматриваемая система абсолютно устойчива в угле [0,2; 200].
23
Как и в случае с устойчивой линейной частью, можно сформулировать частотный вариант критерия устойчивости. Для этого введем следующие частотные функции:
UпM( ) = Uп( ), VпM( )= Vп( ), WпM(j ) = UпM( )+jVпM( ).
Функцию WпM(j ) будем называть модифицированной преобразованной частотной передаточной функцией, а ее годограф при изменении 0 ≤ < – модифицированной преобразованной частотной характеристикой.
Используя вещественную и мнимую части функции WпM(j ), условие (14.8) можно записать в виде
UпМ |
qVпМ |
|
1 |
|
|
||||
k r |
||||
|
|
|
В случае неустойчивой линейной части прямая Попова – эта прямая, которая пересекает вещественную ось в точке –1/(k – r) и имеет наклон 1/q.
Частотная формулировка критерия Попова. Положение равновесия нелинейной системы (14.3) с неустойчивой линейной частью абсолютно устойчиво в угле [r, k], если можно провести такую прямую Попова, что модифицированная преобразованная частотная характеристика полностью
располагается правее этой прямой.
24
14.4. Доказательство критерия Попова
Раздел изучается студентами самостоятельно:
Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы: Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. [стр. 150-158]
25
14.5. Квадратичный критерий абсолютной устойчивости
При рассмотрении абсолютной устойчивости класс нелинейных звеньев можно |
|
задавать с помощью квадратичной формы. Например, класс нелинейных |
|
звеньев, определяемых соотношением |
|
f 0 0, f ξ |
(14.32) |
ξ |
|
с помощью квадратичной формы можно определить следующим образом:
F(u,ξ) = (βξ – u)(u – αξ) ≥ 0, u = f(ξ). |
(14.33) |
Действительно, разделив обе части последнего неравенства на ξ2, получим
|
|
u |
|
u |
|
|
||
|
|
|
|
0, |
|
|
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
ξ |
|
|
ξ |
|
|
|
|
u u |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ξ |
ξ |
0
|
|
u |
|
u |
|
|
||
|
|
|
|
0, |
|
|
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
ξ |
|
|
ξ |
|
|
Первая система неравенств равносильна условию (10.32). Вторая система неравенств невозможна, так как α < β.
Задавая класс нелинейных и нестационарных звеньев с помощью квадратичных
форм, В.А.Якубович разработал так называемый квадратичный критерий
26
абсолютной устойчивости.
Раздел изучается студентами самостоятельно
14.5.1. Эрмитова матрица и эрмитова форма
Дальше при рассмотрении квадратичного критерия используются эрмитовы формы. Поэтому здесь вкратце излагаются основные понятия, связанные с этой формой.
Пусть zi (i = 1, 2,..., n) – комплексные числа и |
zi (i = 1, 2,..., n) – комплексно- |
|
сопряженные с ними числа. Вектор z z |
z |
z T является комплексно- |
сопряженным вектором с вектором z z11 |
z22 |
znn T. Если элементы Н = [hik] |
являются комплексными числами, то матрица H* hki , которая получится из
матрицы Н = [hik] путем транспонирования и замены элементов на комплексносопряженные с ними числа, называется эрмитово сопряженной с
Н = [hik] матрицей. Операция эрмитова сопряжения обладает теми же свойствами, что и операция транспонирования:
(A + B)* = A* + B*, (αA)* = αA*, (AB)* = B* A*, (A*)* = A, (A–1)* = (A*)–1.
27
Раздел изучается студентами самостоятельно
Если к вектору-столбцу z z1 |
z2 zn |
T применить операцию эрмитова |
|
сопряжения, то получим вектор-строку z |
z1 |
z2 zn T. В частности, если |
|
z – скалярное комплексное число, то в результате применения операции |
|||
эрмитова сопряжения получим комплексно-сопряженное число: z* z . |
Матрица Н = [hik] называется эрмитовой матрицей, если H = H*, т. е. если hik hki . Так как hii hii, то диагональные элементы эрмитовой матрицы являются вещественными числами. В частном случае, когда все элементы
матрицы являются вещественными, эрмитова матрица является симметрической матрицей.
Квадратичная форма
n |
|
|
H z z*Hz hik |
zi zk |
(14.34) |
i ,k 1 |
|
|
|
|
где H – эрмитова матрица ( hik hki ), называется эрмитовой формой. Переменные zi (i = 1, 2,... ,n) и элементы матрицы Н могут быть вещественными числами. В частном случае, когда и переменные, и элементы матрицы являются вещественными, эрмитова форма становится вещественной квадратичной формой. Эрмитова форма всегда принимает вещественное значение.
28
Раздел изучается студентами самостоятельно
Если квадратичная форма (14.34) не является эрмитовой ( hik hki ), то она может принять комплексные значения. В этом случае на ее основе можно определить эрмитову форму следующим образом:
n
Re z*Hz Re hik zi zk
i ,k 1
Эрмитову форму, заданную в таком виде, всегда можно преобразовать и представить с помощью эрмитовой матрицы:
|
|
|
* |
|
|
|
* |
|
|
|
1 |
* |
|
||
|
|
|
H1 z Re z |
Hz z |
H1z |
H1 |
|
|
H H |
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
H |
z Re z*Hz |
1 |
Re z* H H H* H* z*H |
z |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H* |
1 |
H H* * |
1 |
H* H H |
, Re z* H H* |
z * Re z* H H* z 0 |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
1 |
2 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29
Раздел изучается студентами самостоятельно
Для эрмитовой матрицы и эрмитовой формы знакоопределенность и знакопостоянство определяются точно так же, как и для симметрической матрицы и вещественной квадратичной формы. В частности, эрмитова матрица H и эрмитова форма z*Hz называются положительно определенными, если z*Hz > 0 при всех z 0.
Критерий положительной определенности эрмитовой матрицы.
Для того чтобы эрмитова матрица H была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h11 |
h12 |
h1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
h12 |
|
0, , |
|
h21 |
h22 |
h2 n |
|
0 |
|
|
h |
0, |
|
h11 |
|
det H |
|||||||
1 |
11 |
2 |
|
h21 |
h22 |
|
n |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hn1 |
hn 2 |
hnn |
|
|
30