Управление качеством. Кн

«В прошлом отдел обработки заказов фирмы Rank Xerox включал 20 служащих, а время оформления счетов-фактур занимало от 5 до 8 дней. После проведения бенчмаркинга, деятельность в рамках отдела была разделена на четыре сегмента, с учетом значимости и суммы заказов. В результате численность служащих в рамках отдела была сокращена, а счета-фактуры стали отсылаться в течении 24 часов для 95% заказов. Причиной бенчмаркингового исследования была неудовлетворенность длительным временем доставки. Сокращение времени оформления счетов-фактур дало следующие результаты:

–уменьшилось время выполнения заказов;

–увеличилось количество заказов;

–сократилась численность работников отдела;

–повысилась удовлетворенность потребителей;

–сократилось время оплаты заказов;

–возросли объемы продаж.

3.7.ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

РЕЖИМНЫХ ПАРАМЕТРОВ ПРОЦЕССОВ И КОНСТРУКЦИОННЫХ РАЗМЕРОВ АППАРАТОВ И УСТРОЙСТВ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ ПРОИЗВОДСТВО ПРОДУКЦИИ ВЫСОКОГО КАЧЕСТВА

3.7.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

ОЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ [73, 74]

Внаиболее общем смысле теория оптимизации представляет собой совокупность фундаментальных математических результатов и численных методов, ориентированных на нахождение и идентификацию наилучших вариантов из множества альтернатив и позволяющих избежать полного перебора и оценивания возможных вариантов. Процесс оптимизации лежит в основе всей инженерной деятельности.

Важность и ценность теории оптимизации заключается в том, что она дает адекватные понятийные рамки для анализа и решения многочисленных задач [73]:

−в исследовании операций: оптимизация технико-экономи- ческих систем, транспортные задачи, управление запасами и т.д.;

−в численном анализе: аппроксимация, регрессия, решение линейных и нелинейных систем, численные методы, включая методы конечных элементов и т.д.;

181

−в автоматике: распознавание образов, оптимальное управление, фильтрация, управление производством, мехатроника и робототехника и т.д.;

−в математической экономике: решение больших макроэкономических моделей, моделей предпринимательства, теория принятия решений и теория игр;

−в теплофизических исследованиях: выбор оптимальных режимных параметров методов и рациональных конструкционных размеров устройств, используемых для измерения теплофизических свойств (характеристик) веществ;

−при управлении качеством: определение оптимальных режимных и конструкционных параметров технологических процессов и аппаратов с целью производства продукции наилучшего качества.

В настоящее время теория оптимизации, успешному применению которой способствует бурный прогресс в развитии средств вычислительной техники, вносит заметный вклад в ускорение научно-технического прогресса. Трудно назвать такую отрасль инженерной деятельности, где не возникали бы задачи оптимизационного характера. Это, например, задачи определения наиболее эффективного режима работы различных технических систем, задачи организации производства, дающего наибольшую возможную прибыль при заданных ограниченных ресурсах, транспортные задачи, задачи повышения качества производственных процессов и их результатов (продукции) и множество других [73].

Постановка каждой задачи оптимизации (ЗО) включает в себя два объекта: множество допустимых решений и целевую функцию (функционал), которую следует минимизировать или максимизировать на указанном множестве. С этой общей точки зрения и рассматриваются различные классы экстремальных задач, составляющие предмет линейного, нелинейного, динамического программирования, вариационного исчисления и теории оптимального управления. Обычно наши действия в условиях неоднозначности выбора определяются некоторой целью, которую мы стремимся достичь наилучшим образом. Тем самым человеческая деятельность связана с постоянным (сознательным или бессознательным) решением оптимизационных задач [73].

3.7.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ

Постановка задачи оптимизации обычно может быть представлена в виде [73]:

182

неизвестными задачами (3.4).

Функция f (x) называется целевой функцией (ЦФ) (функцией качества, критерием оптимальности), а множество условий gk (x), lj (x) и

x D – ограничениями задачи.

Решением задачи (3.4) называют любой вектор х, удовлетворяющий ограничениям.

Оптимальным решением или глобальным экстремумом задачи

(3.4) называют вектор х*, минимизирующий значение f (x) на множестве всех решений: f (x*) ≤ f (x) для всех x D .

Задача максимизации функции f (x) сводится к задаче поиска минимума функции F = – f (x)

Для того чтобы использовать математические результаты и численные методы теории оптимизации для решения конкретных инженерных задач, необходимо [73]:

1)установить границы подлежащей оптимизации производственной (технологической, инженерной, организационной) системы или объекта;

2)построить математическую модель (ММ) системы;

3)составить целевую функцию. Иногда удается подставить ММ

вцелевую функцию и получить явную зависимость ЦФ от управляю-

щих воздействий, т.е. возможных стратегий управления системой. В остальных случаях ММ выступает в роли ограничений, наложенных на управление;

4)определить критерий оптимальности – как правило, требование экстремума ЦФ по управляющим воздействиям при наличии ограничений;

5)выбрать или построить оптимизационный алгоритм и решить экстремальную задачу.

Корректная постановка задачи служит ключом к успеху оптимизационного исследования. Искусство постановки задачи постигается в практической деятельности на примерах успешно реализованных алгоритмов и основывается на четком представлении преимуществ, недостатков и специфических особенностей различных методов оптимизации [73].

183

3.7.3. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ВЫБОРЕ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕЖИМНЫХ ПАРАМЕТРОВ МЕТОДА «МГНОВЕННОГО» ПЛОСКОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА И РАЦИОНАЛЬНОГО КОНСТРУКЦИОННОГО РАЗМЕРА УСТРОЙСТВА ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕМПЕРАТУРОПРОВОДНОСТИ И ОБЪЕМНОЙ ТЕПЛОЕМКОСТИ ТЕПЛОИЗОЛЯЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Цель изложенного ниже – выбор оптимальных режимов измерительных операций и конструкционных размеров устройства для проведения измерений комплекса теплофизических свойств вещества методом плоского «мгновенного» источника тепла [70]. Физическая модель метода и устройства приведена на рис. 3.14.

При практической реализации метода на плоский нагреватель 1 подается короткий электрический импульс, за время действия которого в единице площади нагревателя выделяется количество теплоты Qn. На практике длительность τи импульса приходится выбирать достаточно большой, чтобы с необходимой точностью зарегистрировать измеряемую температуру Т(х0, τ). В [70, 71] рассмотрены вопросы введения

x

4

H

x = x0

x0

1

x = 0

H

5

Рис. 3.14. Физическая модель устройства для реализации метода плоского «мгновенного» источника тепла [70]:

х0 – расстояние между плоским нагревателем 1 и измерителем температуры 2; 3 – 5 – образцы из исследуемого материала

184

поправок на конечную длительность τи теплового импульса в расчетную

т.е. много меньше промежутка времени до момента τmax достижения максимума на температурной кривой (рис. 3.15), эти поправки остаются незначительными, что позволяет использовать метод без введения поправок.

Математическая модель процессов теплопереноса, протекающих внутри исследуемого образца, имеет вид краевой задачи [70]:

где T (x, τ) – температура в плоскости на расстоянии x от нагревате-

ля 1 (находящегося в начале координат х = 0) в момент времени τ; c, ρ, λ − удельная теплоемкость, плотность и теплопроводность иссле-

дуемого вещества; T0 – начальная температура вещества, принимаемая

то получаем постановку задачи оптимизации (3.5) – (3.8), решив которую можно найти искомые значения режимных параметров рассматриваемого метода и конструкционный размер измерительного устройства, обеспечивающие получение минимальных значений относительных погрешностей δa , δ(cρ) измерения коэффициентов температуро-

проводности а и объемной теплоемкости сρ.

Напомним читателю, что математическая модель (3.5) – (3.7) представляет собой совокупность ограничений в виде равенств и неравенств.

Расчетные соотношения метода измерений. Исходя из матема-

тической модели (3.5) – (3.7), в [70 – 72] получено решение

185

[T (r, τ) – T0]

Т0

Рис. 3.15. Изменение во времени τ температуры [T (х, τ) – T0] в точке с координатой х и иллюстрация непостоянства

абсолютной погрешности Δτ определения времени в ходе эксперимента при постоянной абсолютной погрешности T измерения температуры

В [70] показано, что коэффициент температуропроводности обычно вычисляют по формуле

a = x02 /(2τmax ) .

Применение данной формулы приводит к большим погрешностям, поскольку момент времени τmax сложно определить достаточно точно.

Попробуем найти такие моменты времени τ′ и τ′′ (см. рис. 3.15), которые позволят минимизировать погрешность измерения температуропроводности.

Рисунок 3.15 наглядно иллюстрирует следующее. В реальных условиях эксперимента пик на кривой, соответствующий максимуму температуры, заметно зашумлен и, поэтому, существенно размыт. Если определение значения максимальной температуры Тmax можно провести достаточно точно, то соответствующий момент времени τmax определяется с заметно большей погрешностью Δτmax.

Используем безразмерную переменную z = x2 /(4aτ) . Тогда решение (3.9) примет вид

186

T (x, τ) − T0 = [Qп z exp(−z)] (cρx π ),

где cρ = λ / a – объемная теплоемкость исследуемого материала; λ – теплопроводность.

ответственно больший и меньший корни уравнения (3.13), при которых достигается заданное значение параметра β, определенное (3.10), найдем формулы для вычисления искомой температуропроводности а по результатам измерений в моменты времени τ′ и τ′′ :

Из (3.11) легко получим формулу для вычисления объемной теплоемкости

cρ = [Qп z (τ′(β)) exp(−z (τ′(β)) )] ([T (x, τ′(β)) − T0 ] x π ), (3.15)

которая при z τmax = 0,5 с учетом (3.12) принимает вид

187

Соотношения для вычисления погрешностей. По методике,

описанной в [70], найдем выражение для вычисления погрешностей в случае определения (вычисления) коэффициента температуропроводности по формулам (3.14).На основании первой из них

определения соответственно расстояния х между нагревателем и изме-

188

Определим входящую в (3.16) составляющую δτ′ . Погрешности определения моментов времени τmax , τ′ и τ′′ связаны не только непо-

средственно с измерением времени. Как следует из рис. 3.15, в реальных условиях эксперимента пик кривой, соответствующий максимуму температуры, заметно зашумлен и поэтому существенно размыт. Если Tmax можно определить достаточно точно, то соответствующий мо-

ния безразмерного параметра β, представляющего собой отношение

189

В итоге находим

Аналогично выражается da′′ .

Подобным же образом на основе (3.15) была получена зависимость для вычисления средней квадратической оценки относительной погрешности измерения объемной теплоемкости

Оценка погрешностей измерений. По полученным формулам были рассчитаны средние квадратические погрешности для различных

190