- •Линейная алгебра глава 1 законы композиции
- •§1. Внутренние законы композиции
- •1.2. Основные алгебраические образования: группы, кольца, поля
- •§2. Внешние законы композиции
- •§3. Изоморфизм
- •Глава 2 комплексные числа
- •§1. Поле с комплексных чисел
- •Потренироваться в сложении-вычитании и умножении
- •§2. Комплексно сопряженные числа
- •§3. Модуль комплексного числа. Деление двух комплексных чисел
- •§4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •§5. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула муавра. Извлечение корня
- •§6. Комплексные функции
- •Комплексные функции одного действительного переменного
- •Показательная функция zеz с комплексным показателем и ее свойства
- •Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа
- •Глава 3 многочлены
- •§1. Кольцо многочленов
- •§2. Деление многочленов по убывающим степеням
- •§3. Взаимно простые и неприводимые многочлены. Теорема и алгоритм евклида
- •§4. Нули (корни) многочлена. Кратность нуля. Разложение многочлена в произведение неприводимых многочленов над полем с и r
- •Упражнения
- •Глава 4 векторные пространства
- •§1. Векторное пространство многочленов над полем p коэффициентов
- •§2. Векторные пространства р n над полем р
- •§3. Векторы в геометрическом пространстве
- •3.1. Типы векторов в геометрическом пространстве
- •Из подобия треугольников авс и ав'с' следует (как в случае , так и в случае ), что.
- •3.3. Задание свободных векторов при помощи декартовой системы координат и соответствие их с векторами из векторного пространства r3
- •3.4. Скалярное произведение двух свободных векторов
- •Упражнения
- •§4. Векторное подпространство
- •4.1. Подпространство, порожденное линейной комбинацией векторов
- •4.2. Линейная зависимость и независимость векторов
- •4.3. Теоремы о линейно зависимых и линейно независимых векторах
- •4.4. База и ранг системы векторов. Базис и размерность векторного подпространства, порожденного системой векторов
- •4.5. Базис и размерность подпространства, порожденного системой
- •§5. Базис и размерность векторного пространства
- •5.1. Построение базиса
- •5.2. Основные свойства базиса
- •5.3. Базис и размерность пространства свободных векторов
- •§6. Изоморфизм между n – мерными векторными пространствами к и р n над полем р
- •§8. Линейные отображения векторных пространств
- •8.1. Ранг линейного отображения
- •8.2. Координатная запись линейных отображений
- •Упражнения
- •Глава 5 матрицы
- •§1. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц
- •§2. Алгебраичесие операции над матрицами.
- •Пусть даны матрицы
- •§3. Изоморфизм между векторным пространством
- •§4. Скалярное произведение двух векторов из пространства Rn
- •§5. Квадратные матрицы
- •5.1. Обратная матрица
- •5.2. Транспонированная квадратная матрица.
- •Упражнения
- •Глава 6 определители
- •§1. Определение и свойства определителя, вытекающие из определения
- •§2. Разложение определителя по элементам столбца (строки). Теорема о чужих дополнениях
- •§3. Геометрическое представление определителя
- •3.1. Векторное произведение двух свободных векторов
- •3.2. Смешанное произведение трех свободных векторов
- •§4. Применение определителей для нахождения ранга матриц
- •§5. Построение обратной матрицы
- •Упражнения
- •Глава 7 системы линейных уравнений
- •§1. Определения. Совместные и несовместные системы
- •§2. Метод гаусса
- •§3. Матричная и векторная формы записи линейных
- •3. Матрицу-столбец свободных членов размер матрицыk 1.
- •§4. Система крамера
- •§5. Однородная система линейных уравнений
- •§6. Неоднородная система линейных уравнений
- •Упражнения
- •Глава 8 приведение матриц
- •§1. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •1.1. Матрица перехода, связанная с преобразованием
- •1.2. Ортогональные матрицы перехода
- •§2. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов
- •2.1. Собственные значения, собственные векторы
- •2.2. Приведение квадратной матрицы к диагональной форме
- •§3. Вещественные линейные и квадратичные формы
- •3.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •3.2. Определенная квадратичная форма. Критерий Сильвестра
- •Упражнения (номера с 1465 и далее)
§3. Изоморфизм между векторным пространством
МАТРИЦ И ВЕКТОРНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ Рп НАД ПОЛЕМ Р
Как мы уже говорили, матрице А размером k × m можно поставить в соответствие упорядоченную систему из m вектор-столбцов в пространствеРk, либо из к вектор-строк в пространствеРm. Обе упорядоченные системы векторов и– есть элементы одного и того же векторного пространства Рn, где n = k·m, которое и является изоморфным для векторного пространства матриц размером k×m. Действительно,
и .
Рассмотрим теперь систему, состоящую из одного вектора . Очевидно, что этот вектор через свои компоненты в пространстве матриц будет ассоциироваться с матрицами размером 1n, либо n1; матрица размером 1n; матрица размеромn1. Ясно, что отображение есть изоморфизм, ибо
Используя указанный изоморфизм, покажем, как представляется отображение , гдев пространстве матриц.
Пусть отображение А пространства Рm в Рk задано формулами:
+ +1mm,
2 2 2 + +2mm,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
к k k + +kmm .
Вектору с компонентами1,2, . . .,к) из Рk поставим в соответствие матрицу:
размером k 1, а вектору с компонентами ( ,, ,m) матрицу размеромm1. Тогда отображение, определяемое матрицей
А = размеромk×m в пространстве матриц определяется той же матрицей А и представляется в виде:
=·
В заключение рассмотрим, как в пространстве матриц отображается скалярное произведение двух векторов из пространства .
§4. Скалярное произведение двух векторов из пространства Rn
Определение. Рассмотрим отображение φ векторного пространства RnRn в R, при котором устанавливается следующее соответствие
,
здесь ; упорядоченная пара (), является элементом векторного пространстваRnRn; ( ,, ,n) и (β1, β2, . . . , βn) компоненты соответственно векторов ;число изR. Такое отображение называется скалярным произведением двух векторов из пространстваRn и обозначается ( , ), а само число– () либо.
Отображение не является линейным отображением. Действительно, так как RnRn векторное пространство, то
. Легко показать, что и, следовательно, отображение не является линейным отображением.
Выясним теперь, как скалярное произведение представляется в пространстве матриц. Пусть даны два вектора Теперь векторупоставим в соответствие матрицуразмером 1n, а вектору – матрицу размеромn1. Тогда произведение в пространстве матриц эквивалентно произведению=1122 . . . nn.
Видно, что и в векторном пространстве матриц отображение не является линейным отображением
§5. Квадратные матрицы
Определение. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной; одинаковое число n строк и столбцов называется порядком матрицы.
Множество элементов ii называется главной диагональю, а матрица, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали есть нули ij = 0, если i j, называется диагональной. если все элементы диагональной матрицы одинаковыii = , то такая матрица называется скалярной.
Диагональная матрица, все элементы которой равны единице, называется единичной и обозначается Еn (или In).
или En = (ij ), где i = 1,2,...,n; j = 1,2,...,n; ij – символ Кронекера. Единичная матрица En представляет собой нейтральный элемент относительно умножения матриц А порядка n: АEn = EnА = А.
Сумма и произведение двух матриц n-го порядка всегда определены и результатом будут матрицы порядка n. Однако произведение квадратных матриц не коммутативно: А·В В·А. Например,
Квадратные матрицы порядка n определяют линейные отображения Рn в Рn, а единичная матрица En ассоциируется с системой векторов канонического базиса пространстваРn.