- •Линейная алгебра глава 1 законы композиции
- •§1. Внутренние законы композиции
- •Свойства внутренних законов композиции.
- •1.2. Основные алгебраические образования: группы, кольца, поля
- •§2. Внешние законы композиции
- •§3. Изоморфизм
- •Глава 2 комплексные числа
- •§1. Поле с комплексных чисел
- •§2. Комплексно сопряженные числа
- •§3. Модуль комплексного числа. Деление двух комплексных чисел
- •§4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •§5. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула муавра. Извлечение корня
- •§6. Комплексные функции
- •Комплексные функции одного действительного переменного
- •Комплексные функции одного комплексного переменного
- •Показательная функция zеz с комплексным показателем и ее свойства
- •Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа
- •Глава 3 многочлены
- •§1. Кольцо многочленов
- •§2. Деление многочленов по убывающим степеням
- •§3. Взаимно простые и неприводимые многочлены. Теорема и алгоритм евклида
- •§4. Нули (корни) многочлена. Кратность нуля. Разложение многочлена в произведение неприводимых многочленов над полем с и r
- •Упражнения
- •Глава 4 векторные пространства
- •§1. Векторное пространство многочленов над полем p коэффициентов
- •§2. Векторные пространства р n над полем р
- •§3. Векторы в геометрическом пространстве
- •3.1. Типы векторов в геометрическом пространстве
- •Из подобия треугольников авс и ав'с' следует (как в случае , так и в случае ), что.
- •3.3. Задание свободных векторов при помощи декартовой системы координат и соответствие их с векторами из векторного пространства r3
- •3.4. Скалярное произведение двух свободных векторов
- •Упражнения
- •§4. Векторное подпространство
- •4.1. Подпространство, порожденное линейной комбинацией векторов
- •4.2. Линейная зависимость и независимость векторов
- •4.3. Теоремы о линейно зависимых и линейно независимых векторах
- •4.4. База и ранг системы векторов. Базис и размерность векторного подпространства, порожденного системой векторов
- •4.5. Базис и размерность подпространства, порожденного системой
- •§5. Базис и размерность векторного пространства
- •5.1. Построение базиса
- •5.2. Основные свойства базиса
- •5.3. Базис и размерность пространства свободных векторов
- •§6. Изоморфизм между n – мерными векторными пространствами к и р n над полем р
- •§8. Линейные отображения векторных пространств
- •8.1. Ранг линейного отображения
- •8.2. Координатная запись линейных отображений
- •Упражнения
- •Глава 5 матрицы
- •§1. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц
- •§2. Алгебраичесие операции над матрицами.
- •Пусть даны матрицы
- •§3. Изоморфизм между векторным пространством
- •§4. Скалярное произведение двух векторов из пространства Rn
- •§5. Квадратные матрицы
- •5.1. Обратная матрица
- •5.2. Транспонированная квадратная матрица.
- •Упражнения
- •Глава 6 определители
- •§1. Определение и свойства определителя, вытекающие из определения
- •§2. Разложение определителя по элементам столбца (строки). Теорема о чужих дополнениях
- •§3. Геометрическое представление определителя
- •3.1. Векторное произведение двух свободных векторов
- •3.2. Смешанное произведение трех свободных векторов
- •§4. Применение определителей для нахождения ранга матриц
- •§5. Построение обратной матрицы
- •Упражнения
- •Глава 7 системы линейных уравнений
- •§1. Определения. Совместные и несовместные системы
- •§2. Метод гаусса
- •§3. Матричная и векторная формы записи линейных
- •3. Матрицу-столбец свободных членов размер матрицы k 1.
- •§4. Система крамера
- •§5. Однородная система линейных уравнений
- •§6. Неоднородная система линейных уравнений
- •Упражнения
- •Глава 8 приведение матриц
- •§1. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •1.1. Матрица перехода, связанная с преобразованием
- •1.2. Ортогональные матрицы перехода
- •§2. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов
- •2.1. Собственные значения, собственные векторы
- •2.2. Приведение квадратной матрицы к диагональной форме
- •§3. Вещественные линейные и квадратичные формы
- •3.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •3.2. Определенная квадратичная форма. Критерий Сильвестра
- •Упражнения
КНИГА 2
Линейная алгебра глава 1 законы композиции
§1. Внутренние законы композиции
Определение. Внутренним законом композиции или алгебраической операцией, заданной на множестве К, называется отображение произведения К×К (декартового квадрата) в К. Иначе говоря, алгебраическая операция – это правило, согласно которому упорядоченной паре (х1,х2), где х1 и х2, сопоставляется элемент х3 из того же множества К.
Вместо того чтобы записывать правило, при помощи функционального символа f : (x1,x2) х3 или f(x1,x2) = х3, употребляют некоторый специальный знак, а именно: + для сложения, x1 + x2 = х3, знак ∙ (или ×) для умножения, х1 х2 = х3, обозначение = х3 для степени и т.д. Для того чтобы иметь возможность изучать общие свойства, присущие всем этим законам, мы будем пользоваться единым символом ┬, и будем писать х1 ┬ х2 = х3, что словесно выражает: х1 в композиции с х2 дает х3.
-
Свойства внутренних законов композиции.
Коммутативность. Внутренний закон ┬ называется коммутативным (переместительным), если для любых х1 и х2 выполняется условие
х1 ┬ х2 = х2 ┬ х1 (1.1)
Примеры. Пусть К = . Операции сложения и умножения целых чисел коммутативны, а возведение в степень и вычитание – нет
и х1 – x2 х2 – х1.
Ассоциативность. Внутренний закон ┬ называется ассоциативным (сочетательным), если для любых x1, x2, х3 из К выполняется условие
( х1 ┬ х2 ) ┬ х3= х1 ┬ ( х2 ┬ х3 ) (1.2)
Здесь важно соблюдать порядок элементов.
Примеры. Сложение и умножение целых чисел ассоциативны, а возведение в степень и вычитание – нет (3 – 5) – 2 3 – (5 – 2); (22)3 = 64, но
Нейтральный элемент. Если существует такой элемент е, что
е ┬ х = х ┬ е = х , (1.3)
каково бы ни было х, то е называется нейтральным элементом относительно операции ┬.
Если нейтральный элемент е существует, то он будет единственным. Ибо, если бы нашелся другой элемент е', то мы имели бы е' ┬ у = у ┬ е' = у при любом у. Тогда, взяв в х ┬ е = х в качестве х элемент е', получим е'┬е = е'. Взяв же в е' ┬ у = у в качестве у элемент е, получим также е' ┬ е = е. Следовательно, е = е'.
Примеры. Если К = N, то сложение нейтрального элемента не имеет, а 1– нейтральный элемент умножения. Если К = Z , то и сложение, и умножение имеют нейтральные элементы, соответственно 0 и 1. Для закона композиции отображений gof нейтральным элементом служит тождественное отображение eof = foe = f.
Симметричные элементы. Пусть ┬ есть внутренний закон композиции на К, обладающий нейтральным элементом е. Говорят, что элемент из К симметричен элементу х из К относительно операции ┬, если
┬ х = е (1.4)
Если х = е, то его симметричным элементом служит он сам, так как е ┬ е = е.
Если элемент х имеет симметричный элемент , а элемент имеет симметричным элементом х, т.е. когда выполнено условие,
┬ х = х ┬ = е, (1.5)
то говорят, что элемент х обратим относительно операции ┬.
Если каждый элемент х обратим относительно операции ┬, то такая операция на этом множестве К называется обратимой.
Примеры. Если х есть действительное число, то –х симметрично ему относительно сложения и операция сложения обратима на множестве R. Если же, кроме того, х 0, то симметрично х относительно умножения и операция умножения также обратима на множестве R, но без х = 0.
Дистрибутивность. Если на множестве К определены два закона композиции, обозначенные ┬ и , то закон ┬ будет называться дистрибутивным (распределительным) относительно закона , если для любых x, y, z из К имеет место
х ┬ ( у z ) = ( х ┬ у) ( х ┬ z ) (1.6)
Примеры. Умножение чисел дистрибутивно относительно сложения, так как х·(у + z) = x·y + х·z, но сложение не дистрибутивно относительно умножения, поскольку равенство х +(у·z) = (х + у)·( х + z) не является справедливым для всех х, у, z из R.
Операции объединения и пересечения множеств также являются законами композиции, и как легко показать, для любых А, В, С:
А С) = (А С); А С) = (А С),
следовательно, каждый из этих законов дистрибутивен относительно другого.