- •Линейная алгебра глава 1 законы композиции
- •§1. Внутренние законы композиции
- •1.2. Основные алгебраические образования: группы, кольца, поля
- •§2. Внешние законы композиции
- •§3. Изоморфизм
- •Глава 2 комплексные числа
- •§1. Поле с комплексных чисел
- •Потренироваться в сложении-вычитании и умножении
- •§2. Комплексно сопряженные числа
- •§3. Модуль комплексного числа. Деление двух комплексных чисел
- •§4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •§5. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула муавра. Извлечение корня
- •§6. Комплексные функции
- •Комплексные функции одного действительного переменного
- •Показательная функция zеz с комплексным показателем и ее свойства
- •Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа
- •Глава 3 многочлены
- •§1. Кольцо многочленов
- •§2. Деление многочленов по убывающим степеням
- •§3. Взаимно простые и неприводимые многочлены. Теорема и алгоритм евклида
- •§4. Нули (корни) многочлена. Кратность нуля. Разложение многочлена в произведение неприводимых многочленов над полем с и r
- •Упражнения
- •Глава 4 векторные пространства
- •§1. Векторное пространство многочленов над полем p коэффициентов
- •§2. Векторные пространства р n над полем р
- •§3. Векторы в геометрическом пространстве
- •3.1. Типы векторов в геометрическом пространстве
- •Из подобия треугольников авс и ав'с' следует (как в случае , так и в случае ), что.
- •3.3. Задание свободных векторов при помощи декартовой системы координат и соответствие их с векторами из векторного пространства r3
- •3.4. Скалярное произведение двух свободных векторов
- •Упражнения
- •§4. Векторное подпространство
- •4.1. Подпространство, порожденное линейной комбинацией векторов
- •4.2. Линейная зависимость и независимость векторов
- •4.3. Теоремы о линейно зависимых и линейно независимых векторах
- •4.4. База и ранг системы векторов. Базис и размерность векторного подпространства, порожденного системой векторов
- •4.5. Базис и размерность подпространства, порожденного системой
- •§5. Базис и размерность векторного пространства
- •5.1. Построение базиса
- •5.2. Основные свойства базиса
- •5.3. Базис и размерность пространства свободных векторов
- •§6. Изоморфизм между n – мерными векторными пространствами к и р n над полем р
- •§8. Линейные отображения векторных пространств
- •8.1. Ранг линейного отображения
- •8.2. Координатная запись линейных отображений
- •Упражнения
- •Глава 5 матрицы
- •§1. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц
- •§2. Алгебраичесие операции над матрицами.
- •Пусть даны матрицы
- •§3. Изоморфизм между векторным пространством
- •§4. Скалярное произведение двух векторов из пространства Rn
- •§5. Квадратные матрицы
- •5.1. Обратная матрица
- •5.2. Транспонированная квадратная матрица.
- •Упражнения
- •Глава 6 определители
- •§1. Определение и свойства определителя, вытекающие из определения
- •§2. Разложение определителя по элементам столбца (строки). Теорема о чужих дополнениях
- •§3. Геометрическое представление определителя
- •3.1. Векторное произведение двух свободных векторов
- •3.2. Смешанное произведение трех свободных векторов
- •§4. Применение определителей для нахождения ранга матриц
- •§5. Построение обратной матрицы
- •Упражнения
- •Глава 7 системы линейных уравнений
- •§1. Определения. Совместные и несовместные системы
- •§2. Метод гаусса
- •§3. Матричная и векторная формы записи линейных
- •3. Матрицу-столбец свободных членов размер матрицыk 1.
- •§4. Система крамера
- •§5. Однородная система линейных уравнений
- •§6. Неоднородная система линейных уравнений
- •Упражнения
- •Глава 8 приведение матриц
- •§1. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •1.1. Матрица перехода, связанная с преобразованием
- •1.2. Ортогональные матрицы перехода
- •§2. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов
- •2.1. Собственные значения, собственные векторы
- •2.2. Приведение квадратной матрицы к диагональной форме
- •§3. Вещественные линейные и квадратичные формы
- •3.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •3.2. Определенная квадратичная форма. Критерий Сильвестра
- •Упражнения (номера с 1465 и далее)
Упражнения
1. Доказать, что операция пересечения множеств дистрибутивна относительно операции объединения множеств.
Является ли множество Q рациональных чисел, на котором задана операция умножения группой?
Является ли множество Q полем, если:
а) на этом множестве в качестве первого закона задан закон умножения, а второй – сложение?
б) первый закон – сложение, второй – умножение?
Вычислить
Найти действительные значения х и у из уравнения
(1 + i) x2 + (2 + i) x – (1 – i) y = 7(1 + i).
Какой геометрический смысл имеет модуль разности двух комплексных чисел? Определить этот модуль для z = 3 + i2 и . Изобразить эти точки на комплексной плоскости.
Найти все корни и построить их на комплексной плоскости:
Решить уравнения:
а) 2x2 – 3x + 7 = 0, б) cos x = 3, в) sin x = 2.
Найти корни уравнения z8 – 2z4 + 4 = 0 и построить их на комплексной плоскости.
Представить в показательной форме комплексные числа:
1 + i, –1 + i, –5, + i.
Разделить многочлен 3х6 + 2х3 – 2х + 5 на многочлен 2х2 + 3 по убывающим степеням.
Определить кратность нуля х = 1 для многочлена
f (x) = 3х5 – 8х4 +4х3 + 6х2 – 7х + 2
и представить разложение этого многочлена в произведение неприводимых многочленов на поле R и С.
Глава 4 векторные пространства
На некотором множестве К, наделенном внутренним законом коммутативной группы, может быть определен также при помощи некоторого другого множества L, внешний закон композиции – отображение KL в К. Наиболее важным множеством такого типа является векторное пространство (или линейное пространство).
Определение. Множество К называется векторным (линейным) пространством над полем Р, если оно наделено внутренним законом (+) – сложение и внешним законом (·) – умножение на элемент из поля Р, обладающих следующими свойствами:
Сложение на множестве К наделено внутренним законом коммутативной группы. х у и z имеем:
х + у = у + х;
х + (у + z) = (х + у) + z;
е такой, что х + е = е + х = х (нейтральный элемент),
такой что (симметричный элемент).
Внешний закон умножения, таким что х, у и , ,
х + у) = х + у
( х = х х
х) = ( х
х = х,
где есть нейтральный элемент умножения в поле Р.
Элементы из векторного пространства К называются векторами и обычно обозначаются строчными латинскими буквами со стрелками вверху (и т.п.) или же строчными буквами выделенными жирным шрифтом (a, в, x и т.п.). Элементы поля Р чаще всего обозначаются строчными греческими буквами (и т.п.). Нейтральный элемент сложенияе в К называется нулевым вектором и обозначается . Нейтральный элемент сложенияе в Р обозначается 0 (нулем), а умножения – 1 (единица). Элемент симметричныйх называется также противоположным вектору и обозначается, т.е..
Следствия из определения. 1) В векторном пространстве может быть только один нулевой вектор и для каждого вектора только один противоположный. Действительно, допустим, что существуют два нулевых вектора итогда из определения следует, что их сумма должна быть равна каждому из них, т.е., илии, следовательно,Аналогично, если какой-нибудь векторимеет два противоположныхи, то суммадолжна быть равна ии, следовательно=.
2) Если то либо, либо .
3) Равенство выполнено для любых и если. Если же, то, прибавив к обеим частям равенстваполучим,и значит, но, следовательно – и .
4) Равенство выполнено для любыхиесли Если же , то или. Так как , то откуда.