Интерполяционнные полиномы Стирлинга, Бесселя, Ньютона

Интерполяционный полином (многочлен) в общем виде:

[12]

На практике редко требуется применять полиномы больше 4-й степени. Вопрос сводится к вычислению коэффициентов . Введем новую независимую переменную –нормированный аргумент :

t	t-3	t-2	t-1	t0	t1	t2	t3
	-3	-2	-1	0	1	2	3

Тогда и [12] можно записать так

[13]

Приравняем значения полинома [13] при соответствующих значениях  и узлов таблицы , тогда

Таблица 4

Уравнения для определения коэффициентов полиномов

t

x(t)

1

2

3

4

t-3 = t0-3h

A0-3A1+9A2-27A3+81A4

1-5/2=A1-5A2+19A3-65A4

t-2 = t0-2h

A0-2A1+4A2-8A3+16A4

2-2=2A2-12A3+50A4

1-3/2=A1-3A2+7A3-15A4

3-3/2=6A3-36A4

t-1 = t0-h

A0-A1+A2-A3+A4

2-1=2A2-6A3+14A4

4-1=24A4

1-1/2=A1-A2+A3-A4

3-1/2=6 A3-12A4

t0

A0

10=A1+A3

20=2A2+2A4

30=6A3

40=24A4

11/2=A1+A2+A3+A4

31/2=6A3+12A4

t1 = t0+h

A0+A1+A2+A3+A4

21=2A2+6A3+14A4

41=24A4

13/2=A1+3A2+7A3+15A4

33/2=6A3+36A4

t2 = t0+2h

A0+2A1+4A2+8A3+16A4

22=2A2+12A3+50A4

15/2=A1+5A2+19A3+65A4

t3 = t0+3h

A0+3A1+9A2+27A3+81A4

Каждая запись может рассматриваться как уравнение для определения коэффициентов A₁, A₂, A₃, A₄. Различные интерполяционные формулы получаются в зависимости от того, какие именно выбираются уравнения для определения этих коэффициентов.

Если использовать только центральные разности, то

,

,

,

,

, отсюда получим ,

,

,

,

.

Поэтому интерполяционный многочлен

,

раскрывая скобки и располагая слагаемые по разностям :

,

. [14]

Это интерполяционный полином Стирлинга.

Пример. Пусть требуется вычислить значение x при t=0.05 по формуле Стирлинга.

h=0.1, примем t₀=0, поэтому ,

Пусть t – промежуточное, то есть не содержащееся в таблице значение аргумента. t₀ – табличное значение аргумента, которое меньше всего отличается от заданного t. Поэтому . Если, то говорят обинтерполяции вперед (от начального значения). Интерполяция в случае называетсяинтерполяцией назад, а в случае имееминтерполяцию на середину.

В таблице 2 возьмем 4 уравнения, расположенные в строке 0-й и 1-й и между ними. Введем обозначения

, .

Для нахождения коэффициентов A₁, A₂, A₃, A₄ используем только разности :,

,

,

,

.

Отсюда получаем ,

,

,

,

.

Подставляя эти коэффициенты в интерполяционный полином [13] и располагая слагаемые по разностям :

,

,

[15]

Это интерполяционный полином Бесселя.

Пример. Пусть требуется вычислить значение x при по формуле Бесселя.

, примем , поэтому ,

В таблице 2 возьмем 4 уравнения, расположенные по нисходящей, а именно . ОпределяяA₁, A₂, A₃, A₄:

,

,

.

Подставляя эти коэффициенты в интерполяционный полином [11]

,

[16]

Это интерполяционный полином Ньютона для интерполирования вперед.

Пример. Требуется вычислить значение x при t=-0.25.

По формуле Бесселя или Стирлинга нужное вычисление провести нельзя, поскольку на краю таблицы невозможно образовать необходимые для этого разности. В начале таблицы можно легко получить разности, используемые в формуле Ньютона для интерполирования вперед.

T	X	разности 1 порядка	разности 2 порядка	разности 3 порядка
t-3= t0=-0.3	x-3= x0=-0.027
		11/2=0.019
t-2= t1=-0.2	x-2= x1=-0.008		21=-0.012
		13/2=0.007		33/2=0.006
t-1= t2=-0.1	x-1= x2=-0.001		22=-0.006
		15/2=0.001		35/2=0.006
t0= t3=0	x0= x3=0		23=0
		17/2=0.001
t1= t4=0.1	x1= x4=0.001

h=0.1, примем t₀=-0,3, поэтому ,

В таблице 2 возьмем 4 уравнения, расположенные по восходящей, а именно . ОпределяяA₁, A₂, A₃, A₄ и проведя совершенно аналогичные преобразования, получим

[17]

Это интерполяционный полином Ньютона для интерполирования назад.

Пример. Требуется вычислить значение x при t=0.29.

h=0.1, примем t₀=0,3, поэтому ,

T	X	разности 1 порядка	разности 2 порядка	разности 3 порядка
t-1= t-4=-0.1	x-1= x-4=-0.001
		1-7/2=0.001
t0= t-3=0	x0= x-3=0		2-3=0
		1-5/2=0.001		3-5/2=0.006
t1= t-2=0.1	x1= x-2=0.001		2-2=0.006
		1-3/2=0.007		3-3/2=0.006
t2= t-1=0.2	x2= x-1=0.008		2-1=0.012
		1-1/2=0.019
t3= t0=0.3	x3= x0=0.027

Замечания о применении интерполяционных формул.

Если заданное значение аргумента находится вблизи начала таблицы, то применять можно только формулу Ньютона для интерполирования вперед, поскольку для других формул потребуется знание узлов таблицы, предшествующих начальному. Аналогично, можно использовать только формулу Ньютона для интерполирования назад, если заданное значение аргумента находится в конце таблицы. Если же заданное значение лежит внутри таблицы, то можно выбрать любую формулу.

Критерием выбора интерполяционной формулы может служить величина коэффициентов при разностях последовательных порядков. при заданном лучше та формула, которая дает меньшие коэффициенты при разностях, так как при этом уменьшаются ошибки округлений в таблице и в разностях. Сравнение коэффициентов при (в других случаях надо выбрать другое начальное значениеt₀) показывает, что всегда коэффициенты формул Ньютона не меньше коэффициентов двух других формул, а иногда и больше них.

Правила применения формул точечной интерполяции:

1. Выбираем начальное значение t₀ так, чтобы и вычисляем.

2. Составляем таблицу разностей и по порядку разностей, остающимися приблизительно постоянными, определяем степень интерполяционного полинома.

3. Вычисляем последовательные члены выбранной формулы до тех пор, пока они влияют на результат. Если в таблице m значащих цифр, то последовательные члены считают с m+1 знаком. Лишний знак учитывается при сложении и отбрасывается после вычисления суммы с округлением.

Интерполяционные формулы могут быть использованы не только для определения значений функции, соответствующих промежуточным аргументам, которые отсутствуют в таблице, но и для нахождения значений функции, соответствующих аргументам за пределами узловых точек, то есть для экстраполяции.

Экстраполяцию обычно проводят с применением формул Лагранжа или Ньютона. Полиномы Бесселя и Стирлинга с центральными разностями предназначены для интерполяции в середине таблице, и поэтому применять их для экстраполяции нецелесообразно.

Экстраполяция дает бóльшие ошибки, чем интерполяция и применять ее надо весьма острожно не выходя далеко за пределы крайних узловых точек.

Нами рассмотрена прямая табличная задача – отыскание значения функции, соответствующих данным значениям аргумента. Между тем иногда приходится встречаться с обратной табличной задачей интерполяции: по таблице функции x отыскать значение аргумента t, которому соответствует данное значение функции.

Задачу обратной интерполяции можно легко решить, поменяв местами аргумент и функцию и сочтя значения функции значениями аргумента, и наоборот. Однако так как разности функции не постоянны, то обратная интерполяция приводит к необходимости построения новой таблицы разностей, новые значения аргумента в которой не являются равноотстоящими.