Интерполирование по таблице с постоянным шагом

Для таблицы с постоянным шагом значения аргумента образуют арифметическую прогрессию , где h – шаг таблицы. Запишем таблицу в виде двух столбцов . Из каждого значения функциивычтем предыдущее и разность запишем в следующем столбце между теми значениями, из которых получена разность (то есть,):

Таблица 3

Таблица обыкновенных и центральных разностей

T	X	разности 1 порядка	разности 2 порядка	разности 3 порядка	разности 4 порядка	разности 5 порядка	разности 6 порядка
t-3	x-3
		1-5/2
t-2	x-2		2-2
		1-3/2		3-3/2
t-1	x-1		21		4-1
		1-1/2		3-1/2		5-1/2
t0	x0	10	20	30	40	50	60
		11/2		31/2		51/2
t1	x1		21		41
		13/2		33/2
t2	x2		22
		15/2
t3	x3

Отметим, что в принятых обозначениях – верхний индекс – порядок разности; нижний индекс – среднее арифметическое индексов функции, из которых разность получена.

В таблице введены центральные разности

, ,.

По величине разностей можно судить о том, какой степени интерполяционный полином необходим для достижения точности значений, соответствующей точности узлов таблицы. Если табличная функция допускает приближение полиномом n-й степени, то в этой таблице разности n-го порядка будут почти постоянными. Разности следующего порядка будут пренебрежимо малы.

Отметим, что свойство постоянства n-х разностей справедливо только для таблиц точных значений полиномов. Если значения в узлах таблицы известны с некоторой точностью и погрешность округления равна половине единицы последнего разряда табличного значения функции, то вспомним, что при вычитании двух приближенных чисел абсолютные погрешности складываются. Отсюда погрешность 1-й разности равна единице последнего разряда; погрешность 2-й разности равна 2-м единицам последнего разряда; погрешность 3-й разности равна 4-м единицам последнего разряда и так далее.

Разности	x	x	x	x	x	x	…	kx
Абсолютная погрешность	1/2	1	2	4	8	16	…	2k-1

Таким образом, из-за неизбежной погрешности округления на практике обычно не следует пользоваться разностями выше 4-5-го порядков.

Будем считать, что разности k-го порядка практически равны нулю, если их сумма и величина каждой из них меньше, чем соответствующая погрешность округления, а знаки стоят в беспорядке или чередуются.

Построение таблицы разностей есть единственный способ выяснить нужную степень интерполяционного полинома, то есть число узлов, необходимое для удовлетворительного приближения.

Проконтролировать вычисление таблицы разностей можно просуммировав сами разности:

Соответственно

и так далее.

Обобщая, имеем: сумма значений в каждом столбце разностей равна разности между последним и первым значениями предыдущего столбца.

Пример построения таблицы обыкновенных и центральных разностей

T	X	разности 1 порядка	разности 2 порядка	разности 3 порядка
t-3=-0.3	x-3=-0.027
		1-5/2=0.019
t-2=-0.2	x-2=-0.008		2-2=-0.012
		1-3/2=0.007		3-3/2=0.006
t-1=-0.1	x-1=-0.001		2-1=-0.006
		1-1/2=0.001		3-1/2=0.006
t0=0	x0=0	10=0.001	20=0	30=0.006
		11/2=0.001		31/2=0.006
t1=0.1	x1=0.001		21=0.006
		13/2=0.007		33/2=0.006
t2=0.2	x2=0.008		22=0.012
		15/2=0.019
t3=0.3	x3=0.027

Пример. Построим таблицу обыкновенных разностей для функции с шагом 1^О на отрезке с точностью до тысячных, определим, какие из них практически равны нулю. Вычисленные разности проконтролируем.

t	x = sin t	разности 1 порядка	разности 2 порядка
1	0.017
		0.018
2	0.035		-0.001
		0.017
3	0.052		0.001
		0.018
4	0.070		-0.001
		0.017
5	0.087		0.001
		0.018
6	0.105		-0.001
		0.017
7	0.122
суммы		0.105	-0.001
Контрольные разности	0.122-0.017=0.105	0.017-0.018=-0.001	-0.001-(-0.001)=0