ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
К численному решению уравнений или систем уравнений обращаются если аналитическое решение невозможно или чрезвычайно громоздко. Рассмотрим условия сходимости вычислительного процесса и несколько способов численного решения уравнений.
Пусть задана непрерывная функция и требуется найти все корни уравнения
. [22]
Эта задача распадается на несколько задач: надо
исследовать количество и расположение корней;
найти приближенные значения корней;
вычислить корни с требуемой точностью.
Первую и вторую задачи можно решать графически – построить график функции и найти точки его пересечения с осью абсцисс. Это очень наглядно. Когда ищутся только действительные корни, то можно составить таблицу значений . Если в двух соседних узлах таблицы функция имеет разные знаки, то между этими узлами лежит нечетное число корней уравнения [21]. Если эти узлы близки, то, скорее всего, корень между ними только один. Четное число корней таким образом выявить не удастся.
Если в уравнениях присутствуют углы и тригонометрические функции, то при вычислениях рекомендовано использовать естественные единицы измерения углов – радианы.
Дихотомия (метод деления пополам)
Пусть найдены такие точкиt0иt1, что, то есть на отрезке [t0,t1] лежит не менее одного корня уравнения.
Найдем середину отрезка и вычислим. Из двух половин отрезка выберем ту, для которой. Эту половину делим пополам и выбираем ту половину, на концах которой функция имеет разные знаки.
Если требуется найти корень с точностью, то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2. Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью.
Дихотомия проста и очень надежна: к простому корню она сходится для любых непрерывных функций , в том числе недифференцируемых. Дихотомия устойчива к ошибкам округления, скорость сходимости невелика: за одну итерацию точность увеличивается примерно вдвое, то есть уточнение трех цифр требует 10 итераций (210~1000). Но точность результата гарантируется.
Недостатки метода:
Для начала вычислений надо найти отрезок, на котором функция меняет знак;
Если в этом отрезке несколько корней, то неизвестно, к какому из них сойдется процесс;
На системы уравнений дихотомия не обобщается.
Пример. Решить уравнениес точностью до= 0.1.
Построим график функции :
Из графика следует, что уравнение имеет единственный корень вблизи t=2. Поэтому выберем отрезок [1.5,2], на концах которого функция меняет знак.
f(t0)<0,f(t1)>0,t0=1.5,t1=2,t2=(1.5+2)/2=1.75
f(t2)=f(1.75)=-0.308<0;
f(t2)<0,f(t1)>0,t2=1.75,t1=2, длина отрезка 0.25,t3=(1.75+2)/2=1.88
f(t3)=f(1.88)=0.019>0;
f(t3)>0,f(t2)<0,t3=1.88,t2=1.75, длина отрезка 0.13,t4=(1.88+1.75)/2=1.82
0.13<2= 0.2, поэтому с требуемой точностью корень уравнения 1.82.
(С точностью до 4-х знаков после точки корень равен 1.8731).
Метод простых итераций
Название метода происходит от латинского слова iteratio, что означает «повторение» (iter - шаг). Заменим уравнение [22] эквивалентным ему уравнением(канонический вид).
Построим графики обеих частей уравнения. Для левой части это, очевидно, прямаяx = t, являющаяся биссектрисой первого координатного угла. Для правой части график есть некоторая линия с уравнением . Решением уравнения является абсцисса точки пересечения этих графиков. Точек пересечения может быть не одна, а несколько.
Допустим, что каким-либо способом найдено начальное приближение t0. В простейшем методе итераций все дальнейшие приближения строятся по формуле
[23]
Этот процесс называется простой одношаговой итерацией.
Предположим, что значение является точным решением уравнения [22], тогда погрешностидолжны быть малыми и по мере итераций уменьшаться. Найдем зависимость междуи. Очевидно
,
, подставим это в [23], получим
учитывая и пренебрегая высшими производными,
.
Итак, если , тои приближениебудет отстоять от точного решениядальше, чем. В этом случае нет сходимости последовательностик.
если , тои можно ожидать, что последовательность, есливыбрано достаточно близким к, будет сходиться к. Причем, приибудут иметь одинаковые знаки и сходимостькбудет монотонной; приибудут иметь разные знаки исходится к, колеблясь около.
случай требует специального рассмотрения.
- точное решение;
- приближенное решение.
Пример. В небесной механике часто приходится решать уравнение Кеплера вида
, где t – угол.
,
,
- итерационный процесс сходится,
в качестве приближенного решения возьмем ,
Итак, решение =1.1104.
Система 2-х уравнений с двумя неизвестными
предположим, что эту систему можно представить в виде
процесс итераций сходится только в случае, если
Приближенное решение можно найти графически как координаты точки пересечения графиков функцийи. Тогда
и т.д.
Пример. Дана система уравнений
Найти решение.
; ;
; .
Проверим
и
, решение должно сходиться, за исключением точек, где и, это сомнительные точки.
В качестве нулевого приближения выберем решение