6____2004
.pdf
|
|
|
|
|
|
Вариант № 12. |
|||||||
1. |
Написать разложение вектора x по векторам p, q, r : |
||||||||||||
x ={6, −1, 7}, p ={1, −2, 0}, q ={−1, 1, 3}, r ={1, 0, 4}. |
|||||||||||||
2. |
Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ? |
||||||||||||
a ={0, 3, −2}, b ={1, −2, 1}, c1 = 5a −2b, c2 = 3a +5b. |
|||||||||||||
3. |
Найти проекцию вектора |
|
на вектор |
|
, где |
||||||||
AB |
AC |
||||||||||||
A(−1, −2, 1), B(−4, −2, 5), C(−8, −2, 2). |
|||||||||||||
4. |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : |
||||||||||||
a = 4p −q, b = p + 2q; |
|
p |
|
= 5, |
|
q |
|
= 4, (p q)=π 4. |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
5. |
Компланарны ли векторы a, b и c ? |
a ={6, 3, 4}, b ={−1, −2, −1}, c ={2, 1, 2}.
6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1, A2 , A3 , A4 и его
высоту, опущенную из вершины A4 на грань A1 A2 A3 , где
A1 (2, −1, 2), A2 (1, 2, −1), A3 (3, 2, 1), A4 (−4, 2, 5).
7. Составить уравнение прямой, параллельной двум прямым 5x + y +3 = 0 , 5x + y −17 = 0 и проходящей посередине между ними.
8. Даны две смежные вершины квадрата А(2; 0) и В(-1; 4). Составить уравнение его сторон.
181
|
|
|
|
|
|
Вариант № 13. |
|
|
|
|
||||||||||
1. |
Написать разложение вектора x по векторам p, q, r : |
|
|
|
|
|||||||||||||||
x ={5, 15, 0}, p ={1, |
0, 5}, |
|
|
q ={−1, |
3, 2}, |
r = |
{0, |
−1, |
1}. |
|||||||||||
2. |
Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ? |
|||||||||||||||||||
a ={−2, 7, −1}, b = |
{−3, 5, 2}, c1 = 2a +3b, c2 = 3a + 2b. |
|||||||||||||||||||
3. |
Найти косинус угла между векторами |
|
и |
|
, где |
|
|
|
|
|||||||||||
AB |
AC |
|
|
|
|
|||||||||||||||
A(6, 2, −3), B(6, 3, −2), C (7, 3, −3). |
|
|
|
|
||||||||||||||||
4. |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : |
|||||||||||||||||||
a = 2p +3q, b = p −2q; |
|
p |
|
= 6, |
|
q |
|
= 7, (p q)=π 3. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5. |
Компланарны ли векторы a, b и c ? |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
a ={7, 3, 4}, b ={−1, −2, −1}, c = |
{4, 2, 4}. |
|
|
|
||||||||||||||||
6. |
Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках |
A1, |
A2 , |
A3 , |
A4 и его |
|||||||||||||||
высоту, опущенную из вершины A4 |
на грань A1 A2 A3 , где |
|
|
|
||||||||||||||||
A1 (1, 1, 2), A2 (−1, 1, 3), A3 (2, −2, 4), A4 (−1, 0, −2). |
|
|||||||||||||||||||
7. |
Составить уравнение прямой, параллельной двум прямым 3x −15y −1 = 0 , |
|||||||||||||||||||
x −5y −2 = 0 и проходящей посередине между ними. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
8. |
Составить геометрическое место точек, равноудаленных от |
|||||||||||||||||||
параллельных прямых 3x − y +7 = 0 и 3x − y −3 = 0 . |
|
|
|
|
182
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 14. |
||||||||
1. |
Написать разложение вектора x по векторам p, q, r : |
||||||||||||||
x ={2, −1, 11}, p ={1, 1, 0}, q ={0, 1, −2}, r ={1, 0, 3}. |
|||||||||||||||
2. |
Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ? |
||||||||||||||
a ={3, 7, 0}, b ={1, −3, 4}, c1 = 4a −2b, c2 = b −2a. |
|||||||||||||||
3. |
Найти проекцию вектора |
|
на вектор |
|
, где |
||||||||||
AB |
AC |
||||||||||||||
A(0, 0, 4), B(−3, |
−6, 1), C(−5, |
−10, −1). |
|||||||||||||
4. |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : |
||||||||||||||
a = 3p −q, b = p + 2q; |
|
p |
|
= 3, |
|
q |
|
= 4, |
|
(p q)=π 3. |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. |
Компланарны ли векторы a, b и c ? |
|
|
|
|||||||||||
a ={2, 3, 2}, b = |
{4, 7, 5}, c ={2, 0, −1}. |
6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1, A2 , A3 , A4 и его
высоту, опущенную из вершины A4 |
на |
грань A1 A2 A3 , где |
A1 (2, 3, 1), A2 (4, 1, −2), A3 |
(6, |
3, 7), A4 (7, 5, −3). |
7. Вычислить угловой коэффициент k прямой, проходящей через две точки
М1(2; -5) и М2(3; 2).
8. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р(2; 3) и отсекает на координатных осях отрезки равной длины, считая каждый отрезок от начала координат.
183
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 15. |
|
|
|
|
||||||||||
1. |
Написать разложение вектора x по векторам p, q, r : |
|
|
|
|||||||||||||||||
x ={11, 5, −3}, |
p ={1, 0, |
2}, |
|
|
q ={−1, 0, 1}, |
r ={2, |
5, |
−3}. |
|||||||||||||
2. |
Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ? |
||||||||||||||||||||
a ={−1, 2, −1}, b ={2, −7, 1}, c1 = 6a −2b, c2 =b −3a. |
|
||||||||||||||||||||
3. |
Найти косинус угла между векторами |
|
и |
|
, где |
|
|
|
|||||||||||||
AB |
AC |
|
|
|
|||||||||||||||||
A(2, −8, −1) |
, B |
(4, −6, 0) |
, C(−2, −5, −1). |
|
|
|
|
||||||||||||||
4. |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : |
||||||||||||||||||||
a = 2p +3q, b = p − 2q; |
|
p |
|
= 2, |
|
q |
|
= 3, |
(p q)=π 4. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5. |
Компланарны ли векторы a, b и c ? |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a ={5, 3, 4}, b ={−1, 0, −1}, c ={4, 2, 4}. |
|
|
|
||||||||||||||||||
6. |
Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках |
A1, A2 , |
A3 , |
A4 и его |
|||||||||||||||||
высоту, опущенную из вершины A4 |
на грань A1 A2 A3 |
, где |
|
|
|||||||||||||||||
A1 (1, 1, −1), A2 (2, 3, 1), A3 |
(3, 2, 1), A4 |
(5, 9, −8). |
|
||||||||||||||||||
7. |
Вычислить угловой коэффициент k прямой, проходящей через две точки |
||||||||||||||||||||
М1(5; -3) и М2(-1; 6). |
|
|
|
место |
точек, |
равноудаленных от |
|||||||||||||||
8. |
Составить |
геометрическое |
параллельных прямых 5x −2 y −6 = 0 и 10x −4 y +3 = 0 .
184
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 16. |
|
||||||||
1. |
Написать разложение вектора x по векторам p, q, r : |
|||||||||||||||
x ={8, 0, 5}, p ={2, 0, 1}, q ={1, 1, 0}, r ={4, 1, 2}. |
||||||||||||||||
2. |
Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ? |
|||||||||||||||
a ={7, 9, −2}, b ={5, 4, 3}, c1 = 4a −b, c2 = 4b −a. |
||||||||||||||||
3. |
Найти проекцию вектора |
|
на вектор |
|
, где |
|||||||||||
AB |
AC |
|||||||||||||||
A(3, −6, |
9), B(0, −3, |
6), C (9, |
−12, 15). |
|||||||||||||
4. |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : |
|||||||||||||||
a = 2p −3q, b = 3p +q; |
|
p |
|
= 4, |
|
q |
|
=1, |
|
(p q) |
=π 6. |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
5. |
Компланарны ли векторы a, b и c ? |
|
|
|
|
|||||||||||
a ={3, 10, |
5}, b ={−2, |
−2, −3}, |
|
c ={2, |
4, 3}. |
6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1, A2 , A3 , A4 и его
высоту, опущенную из вершины A4 на грань A1 A2 |
A3 , где |
A1 (1, 5, −7), A2 (−3, 6, 3), A3 (−2, 7, 3), A4 |
(−4, 8, −12). |
7.Составить уравнение прямых, проходящих через вершины треугольника А(5; -4), В(-1; 3), С(-3; -2) параллельно противоположным сторонам.
8.Установить, лежат ли точка М(1; -3) и начало координат по одну или по разные стороны прямой x −3y −5 = 0 .
185
|
|
|
|
|
Вариант № 17. |
|
||||||||
1. |
Написать разложение вектора x по векторам p, q, r : |
|
||||||||||||
x ={3, 1, 8}, p ={0, 1, 3}, q ={1, 2, −1}, r = |
{2, 0, −1}. |
|||||||||||||
2. |
Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ? |
|||||||||||||
a ={5, 0, −2}, b ={6, 4, 3}, c1 = 5a −3b, c2 = 6b −10a. |
||||||||||||||
3. |
Найти косинус угла между векторами |
|
и |
|
, где |
|
||||||||
AB |
AC |
|
||||||||||||
A(0, 2, −4), B(8, 2, 2), C (6, 2, 4). |
|
|||||||||||||
4. |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : |
|||||||||||||
a =5p +q, b =p −3q; |
|
p |
|
=1, |
|
q |
|
= 2, (p q)=π 3. |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
Компланарны ли векторы a, b и c ? |
|
||||||||||||
a ={−2, −4, −3}, b ={4, 3, 1}, c ={6, 7, 4}. |
|
|||||||||||||
6. |
Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1 |
, A2 , A3 , A4 и его |
высоту, опущенную из вершины A4 на грань A1 A2 A3 , где
A1 (−3, 4, −7), A2 (1, 5, −4), A3 (−5, −2, 0), A4 (2, 5, 4).
7.Даны середины сторон треугольника: М1(2; 1), М2(5; 3) и М3(3; -4). Составить уравнение его сторон.
8.Составить геометрическое место точек, равноудаленных от параллельных прямых x − 2 y +3 = 0 и x − 2 y + 7 = 0 .
186
|
|
Вариант № 18. |
|
|||
1. |
Написать разложение вектора x по векторам p, q, r : |
|
||||
x ={8, 1, 2}, p ={1, 2, −1}, q ={3, 0, 2}, r = |
{−1, 1, 1}. |
|||||
2. |
Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ? |
|||||
a ={8, 3, −1}, b ={4, 1, 3}, c1 = 2a −b, c2 = 2b −4a. |
||||||
3. |
Найти проекцию вектора |
|
на вектор |
|
, где |
|
AB |
AC |
|
||||
A(3, 3, −1), B(5, 1, −2), C (4, 1, 1). |
|
|||||
4. |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : |
|||||
a = 7p −2q, b = p +3q; p =1 2, q = 2, (p q)=π 2. |
|
|||||
5. |
Компланарны ли векторы a, b и c ? |
|
||||
a ={3, 1, −1}, b ={1, 0, −1}, c ={8, 3, −2}. |
|
|||||
6. |
Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1, |
A2 , A3 , A4 и его |
||||
высоту, опущенную из вершины A4 на грань A1 A2 A3 , где |
|
A1 (−1, 2, −3), A2 (4, −1, 0), A3 (2, 1, −2), A4 (3, 4, 5).
7.Составить уравнение прямой, если точка Р(2; 3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.
8.Вычислить величину отклонения δ и расстояние d точки А(1; -2) от прямой x − 2 y −5 = 0 .
187
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 20. |
|
|
|
|
||||||||
1. |
Написать разложение вектора x по векторам p, q, r : |
|
|
|
|
||||||||||||||
x ={−5, 9, −13}, p ={0, 1, −2}, q ={3, −1, 1}, r ={4, 1, 0}. |
|||||||||||||||||||
2. |
Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b ? |
|
|||||||||||||||||
a ={1, −2, 4}, b = |
{7, 3, 5}, c1 = 6a −3b, c2 = b −2a. |
|
|
||||||||||||||||
3. |
Найти проекцию вектора |
|
|
на вектор |
|
, где |
|
|
|
|
|||||||||
AB |
AC |
|
|
|
|
||||||||||||||
A(1, −1, 0), B(−2, −1, 4), C (8, −1, −1). |
|
|
|
|
|||||||||||||||
4. |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : |
||||||||||||||||||
a =10p +q, b = 3p −2q; |
|
p |
|
= 4, |
|
q |
|
=1, |
(p q)=π 6. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5. |
Компланарны |
ли |
|
|
векторы |
|
a, |
b |
и |
c |
? |
||||||||
a={4, 1, 2}, b={9, 2, 5}, c={1, 1, −1}. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6. |
Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках |
A1, |
A2 , A3 , |
A4 |
и его |
высоту, опущенную из вершины A4 на грань A1 A2 A3 , где
A1 (1, −1, 1), A2 (−2, 0, 3), A3 (2, 1, −1), A4 (2, −2, −4).
7.Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами А(3; 2),
В(5; -2), С(1; 0).
8.Вычислить расстояние δ между параллельными прямыми 5x −12 y + 26 = 0
и 5x −12 y −13 = 0 .
189