6____2004

Лемма 1. Любое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Доказательство.

Пусть X – бесконечное множество. Возьмем какой-либо его элемент и обозначим x1. В силу того, что X – бесконечное множество, в нем заведомо имеется хоть один элемент, отличный от элемента x1. Выберем какой-либо из таких элементов и обозначим x2.

Пусть в множестве X уже выбраны элементы x1,…,xn. Поскольку X – бесконечное множество, то в нем заведомо есть и другие элементы; выберем какой-либо из оставшихся элементов и обозначим его через xn и т.д. В

результате мы получим элементы xn X, n=1, 2,…, которые образуют счетное подмножество множества X.

В качестве упражнения читателю предлагается доказать самостоятельно следующую лемму:

Лемма 2. Любое бесконечное подмножество счетного множества счетно.

Следующая теорема дает интересный пример счетного множества.

Теорема 1. Рациональные числа образуют счетное множество.

Доказательство.

Расположим рациональные числа в таблицу следующим способом. В первую строчку поместим все целые числа в порядке возрастания их абсолютной величины и так, что за каждым натуральным числом поставлено ему противоположное: 0, 1, -1, 2, -2, …, n, -n, … , n N.

Во вторую строчку поместим все несократимые рациональные дроби со знаменателем 2, упорядоченные по их абсолютной величине, причем снова за каждым положительным числом поставим ему противоположное:

1/2, -1/2, 3/2, -3/2, …

Вообще, в n-ю строчку поместим все несократимые рациональные дроби со знаменателем n, упорядочив их по абсолютной величине и так, что за каждым положительным следует ему противоположное. В результате получим таблицу с бесконечным числом строк и столбцов:

………………………………

1/n -1/n……………………..

………………………………

121

Очевидно, что каждое рациональное число попадает на какое-то место в этой таблице.

Занумеруем теперь элементы получившейся таблицы согласно следующей схеме (в кружочках стоят номера соответствующих элементов):

В результате все рациональные числа оказываются занумерованными, т.е. множество Q рациональных чисел счетно.

Важнейший пример несчетных множеств устанавливается следующей теоремой, которую мы приводим без доказательства.

Теорема 2 (Кантор). Множество действительных чисел несчетно.

122

Тема 9. Линейные пространства

9.1. Определение линейного пространства

Множество E элементов x, y, z, … называется линейным пространством, если в нем определены две операции:

I. Каждым двум элементам x, y E поставлен в соответствие определенный элемент x+ y E, называемый их суммой.

II. Каждому элементу x E и каждому числу (скаляру) λ поставлен в соответствие определенный элемент λ x E – произведение элемента x на скаляр λ – так, что выполнены следующие свойства (аксиомы) для любых элементов x, y, z E и любых скаляров λ , µ :

1)x + y = y + x;

2)x + ( y + z) = (x + y ) + z;

3)существует элемент 0 E такой, что x + 0 = x;

4)λ ( µ x) = ( λ µ ) x;

5)1· x = x , 0 · x = 0 (слева 0 - скаляр, а справа элемент множества E) ;

6)λ (x + y) = λ x + λ y;

7)( λ µ )x = λ x + µ x.

В качестве числовых множителей (скаляров) λ , µ , … в линейном пространстве берутся вещественные или комплексные числа. В первом случае E называется вещественным (действительным) линейным пространством, во втором – комплексным линейным пространством.

Во всяком линейном пространстве E для всякого элемента x E можно определить противоположный элемент – x , а значит, и операцию вычитания элементов y - x. Положим по определению – x = (–1) x. Тогда, согласно аксиомам 5) и 7),

x + (– x) = 1· x + (–1) · x = 0 · x = 0.

Далее под разностью x - y будем понимать выражение x - y = x + (– y).

Приведем некоторые простые следствия, вытекающие из определения линейного пространства.

Нулевой элемент – единственный.

123

Пример 1.

Проверить, что матрицы с действительными элементами размеров [2 ×2] образуют

действительное линейное пространство. Найти размерность этого пространства и указать какой-нибудь его базис.

125

Пример 2.

представляется самому проверить, что это действительно линейное пространство) и найти координаты многочлена p = 23x в этом базисе.

Из теоремы, приведенной в решении предыдущего примера, следует, что размерность нашего линейного пространства равна 3 (многочлены 1, x, x2 линейно независимы,

является линейной комбинацией этих многочленов). Поэтому, чтобы доказать, что

Как известно, координаты элемента линейного пространства в некотором базисе – это

126

Тема 10. Метрические пространства

Множество X называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов x и y поставлено в соответствие некоторое неотрицательное действительное число ρ(x,y), удовлетворяющее следующим условиям:

1.ρ(x,y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y (аксиома тождества).

2.ρ(x,y) = ρ(y,x) (аксиома симметрии).

3.ρ(x,y)≤ ρ(x,z) + ρ(y,z) (аксиома треугольника).

10.1.Примеры метрических пространств

1.Числовая прямая. Пусть X = R. Если x, y R , то полагаем

ρ(x, y) = x − y .

2.Евклидово пространство. Пусть Xn — арифметическое n–мерное пространство, т.е. множество всех упорядоченных систем из действительных

чисел. Если x = (ξ1, ξ2,…ξn) и y = (η1,η2,… ηn), то

ρ( x, y ) = ∑n (ξi −ηi )2 .

i=1

3.Пространство непрерывных функций с равномерной метрикой.

Пусть X — множество непрерывных функций, заданных на отрезке [−1, 1] .

Введем метрику, полагая

ρ(x, y) = max |x(t)− y(t)|.

t [−1,1]

Проверим выполнение аксиом метрики. Очевидно, что ρ (x, y)≥ 0, причем ρ (x, y) = 0 лишь если x(t) = y(t), аксиома симметрии тоже выполняется. Остается проверить аксиому треугольника. Для любого t [−1, 1] имеем

127

множеству вместе с некоторой своей окрестностью. Множество M

называется замкнутым, если M = M. Множество M называется открытым, если его дополнение X \ M замкнуто. Можно показать, что множество M открыто тогда и только тогда, когда все его точки – внутренние. Множество

M называется всюду плотным в X, если M = X.

129

Тема 11. Нормированные пространства

11.1. Определение нормированного пространства

Линейное пространство E называется нормированным пространством, если каждому x E поставлено в соответствие неотрицательное число x

аксиома 1) называется условием невырожденности нормы, аксиома 2) –

условием однородности нормы, а аксиома 3) – неравенством треугольника.

В случае векторов аксиома 3) означает, что длина стороны в треугольнике не превышает суммы длин двух других его сторон. Как следствие отсюда имеем: длина любой стороны треугольника больше или равна разности длин двух других его сторон. Соответствующее неравенство для нормы имеет вид

Докажем это неравенство. По неравенству треугольника имеем

x = (x − y) + y ≤ x − y + y ,

откуда x − y ≥ x − y ; меняя ролями x и y, получим x − y ≥ y − x .

Оба последних неравенства в совокупности дают неравенство (11.1).

В нормированном пространстве можно ввести расстояние между любыми двумя его элементами по формуле

ρ(x, y) = x − y .

11.2. Примеры нормированных пространств

Пример 1.

В вещественном линейном пространстве m - мерных столбцов R m введем норму

130