6____2004

Аксиомы нормы 1) и 2) проверяются тривиально. Неравенство треугольника (аксиома 3)), известное из курса линейной алгебры, будет доказано позже в более общем случае.

Полученное нормированное пространство в линейной алгебре известно как евклидово пространство и обозначается E m (см. тему 12).

этом неравенстве слева к max по i, получим неравенство треугольника.

11.3. Пространство непрерывных функций C[a, b]

Рассмотрим линейное пространство всех непрерывных на [a, b] функций. Норму введем так:

||x|| = max |x (t)|.

[a, b]

Аксиомы 1) и 2) нормы проверяются тривиально. Проверим аксиому 3). По свойству модуля для любого t [a, b] имеем

|x (t) + y (t)| ≤ |x (t)| + |y (t)| ≤ max | x (t)| + max |y (t)|.

131

[a, b] [a, b]

Следовательно, |x (t) + y (t)| ≤ ||x|| + ||y||. Неравенство сохранится, если взять максимум в левой его части. В результате получаем неравенство треугольника для нормы C[a, b]; для полученного нормированного пространства мы сохраним прежнее обозначение.

11.4. Предел последовательности

Рассмотрим в нормированном пространстве E последовательность элементов {x n }. Элемент x 0 E называется пределом последовательности

окрестностью точки x 0 любой открытый шар S r ( x 0 ).

2)предел x 0 единствен;

3)любая подпоследовательность последовательности {x n } сходится к x 0 ;

6) Пользуясь неравенством (11.1) п. 11.1, доказать, что если x n → x, n→ ∞,

то ||x n || → ||x ||, n → ∞ .

Множество M E назовем ограниченным, если его можно заключить в некоторый шар. Точнее, M ограничено, если существует такое число С > 0, что для всех x M выполняется неравенство ||x|| ≤ С.

132

Тема 12. Евклидовы пространства

Вещественное линейное пространство E называется евклидовым, если каждой паре его элементов x и y поставлено в соответствие вещественное число, обозначаемое (x, y) и называемое скалярным произведением, так что выполнены следующие аксиомы:

1)(x, x) ≥0, (x, x) = 0 в том и только в том случае, когда x=0;

2)(x, y) = (y, x);

3)(λ x, y) = λ(x, y);

4)(x + y, z) = (x, z) + (y, z).

Понятие скалярного произведения естественным образом обобщает понятие скалярного произведения векторов. Всякое евклидово пространство можно превратить в нормированное пространство, определив в нем норму по формуле

Для проверки аксиомы треугольника – 3-й аксиомы нормы – мы воспользуемся следующим неравенством:

известным как неравенство Коши–Буняковского, которое получается из следующих элементарных соображений: согласно первому свойству скалярного произведения для любого вещественного λ имеем

(x - λ y, x - λ y) ≥ 0.

Раскрывая левую часть последнего неравенства, по свойствам скалярного произведения 2), 3) и 4) получим

(x, x) - 2λ (x, y) + λ2 ( y, y) ≥ 0.

Квадратный трехчлен неотрицателен при любых λ. Отсюда следует, что его дискриминант неположителен:

(x, y) 2 - (x, x) ( y, y) ≤ 0.

Это неравенство равносильно (12.2).

133

Докажем теперь аксиому треугольника. Имеем

||x + y|| 2 = (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + ( y, y) ≤

≤ ||x|| 2 + 2 ||x|| || y|| +||y|| 2 = (||x|| + || y||) 2 .

Извлекая корень, получим неравенство треугольника.

Пример 1.

Евклидово пространство E m . Введем в вещественном линейном пространстве E m скалярное произведение по формуле

и представляет собою в этом виде частный случай неравенства Минковского.

Условие ортогональности элементов x = (ξk )mk =1 и y = (ηk )mk =1 имеет вид

m

∑ξkηk = 0.

k =1

Пример 2.

Пространство l2. В линейном пространстве вещественных последовательностей

произведение по формуле

∞

(x, y) = ∑ξkηk. .

k =1

∞

Докажите, что ряд ∑ζkηk сходится и что выполнены аксиомы скалярного

k =1

произведения.

Элементы x и y называются ортогональными, если (x, y) = 0 .

В любом евклидовом пространстве можно найти так называемый ортогональный базис, т. е. базис из попарно ортогональных векторов. Если каждый элемент ортогонального базиса отнормировать, т. е.

134

базис, причем норма всех его элементов будет равна 1. Такой базис называется ортонормированным. Если в ортонормированном базисе

Элементы e1 , e2 , e3 , e4 попарно ортогональны, значит, по теореме о линейной

независимости ортогональных элементов эти четыре элемента линейно независимы. Так как размерность нашего пространства равна четырем, то e1 , e2 , e3 , e4 образуют

его базис. Заметим, что задача имеет бесконечное множество решений.

135

Пример 4.

136

Тема 13. Топологические пространства

13.1. Топология

Говорят, что в множестве Х определена топологическая структура, или просто топология, если в Х отмечен класс подмножеств, содержащий вместе с каждым набором множеств их объединение и вместе с каждым конечным набором множеств – их пересечение, пустое множество и само множество Х. Множество, снабженное топологической структурой, называется

топологическим пространством, его элементы – точками, а множества отмеченного класса – открытыми множествами.

Примерами топологических структур могут служить тривиальная топология, в которой открыты только пустое множество и множество X, и дискретная топология, в которой открыты все подмножества множества X. Если Х содержит более одного элемента, то имеются и другие топологии. Например, множество X, состоящее из двух элементов а, b, допускает кроме двух указанных еще две топологизации: при одной открытыми будут множества { , а, X}, при другой – множества { , b, X}. Таким образом, мы видим, что топология данного множества не единственна.

Подмножество топологического пространства называется замкнутым, если его дополнение открыто. Класс замкнутых множеств содержит вместе с каждым набором множеств их пересечение и вместе с каждым конечным набором множеств – их объединение, и для всякого класса подмножеств множества X, обладающего этими свойствами, в Х существует единственная топология, по отношению к которой он является классом всех замкнутых множеств.

Окрестностью точки топологического пространства называется всякое открытое множество, содержащее эту точку.

Окрестностью подмножества топологического пространства называется всякое открытое множество, содержащее это подмножество.

Среди открытых множеств, содержащихся в заданном подмножестве А топологического пространства X, есть наибольшее: это объединение всех таких множеств. Оно называется внутренней частью или внутренностью множества A и обозначается через Int A. Подобным же образом среди всех замкнутых множеств, содержащих A, есть наименьшее: пересечение всех таких множеств. Оно называется замыканием множества A и обозначается

через A . Разность A \ Int A может быть представлена как пересечение

137

замкнутых множеств A и Х\ Int A и потому замкнута. Она называется границей множества A и обозначается через ∂A . Заметим, что Х \ Int A =

X \ A и что множества A и Х \ А имеют одну и ту же границу. По отношению к множеству A точки множеств Int A, A , ∂A и X \ A = Int(X \ A)

называются, соответственно, внутренними точками, точками прикосновения, граничными точками и внешними точками. Более непосредственно они описываются на языке окрестностей. Точка называется внутренней, если она обладает окрестностью, целиком лежащей в A; точкой прикосновения, если всякая ее окрестность пересекается с A; граничной, если всякая ее окрестность пересекается как с A, так и с X \ А; внешней, если она обладает окрестностью, не пересекающейся с A.

Ясно, что множество открыто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренней частью, т.е. состоит из одних внутренних точек, и замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием, т.е. содержит все свои граничные точки.

Множество M называется связным, если его нельзя представить в виде объединения двух открытых непересекающихся множеств.

Подмножество A топологического пространства X называется плотным в Х или всюду плотным, если A = X. Множество A называется нигде не плотным, если множество X \ A всюду плотно.

Топологическое пространство Х называется сепарабельным, если существует счетное всюду плотное множество A X .

Семейство B множеств называется базой топологии τ множества Х, если В содержится в τ и для каждой точки x X и любой ее окрестности U существует такой элемент V B , что x V U.

Теорема. Пространство, топология которого обладает счетной базой, сепарабельно.

Доказательство.

Выберем по одной точке из каждого элемента базы. Получим в результате некоторое счетное множество А (так как база счетна). Рассмотрим его

замыкание A . Дополнение к этому замыканию открыто и не пересекается с А, потому что не содержит никакого элемента нашей базы и, значит, пусто.

138

Последовательность {xn} элементов топологического пространства Х называется сходящейся к элементу a X , если для любой окрестности U точки a существует номер N, такой, что n ≥ N имеем xn U (a) .

13.2. Топология метрических пространств

Шаром с центром x0 X и радиусом r > 0 в метрическом пространстве Х называется множество тех x X , у которых ρ(x0 , x)≤ r . Если вместо “ ≤”

написать “ <”, то получится определение открытого шара, а если написать “=”, то получится определение сферы. Единичный шар и единичная сфера пространства R n , т.е. шар и сфера с центром (0, ..., 0) и радиусом 1, называются просто п-мерным шаром и (п–1)-мерной сферой и обозначаются

Диаметром множества A называется число diam A= sup ρ(x,y) . Множества

x, y A

конечного диаметра называются ограниченными.

Неравенство треугольника показывает, что если открытый шар с центром x0

ирадиусом r содержит точку x1 , то он содержит открытый шар с центром x1

ирадиусом r − ρ(x0 , x1 ) . Следовательно, в любом метрическом пространстве

пересечение двух открытых шаров содержит вместе с каждой точкой некоторый открытый шар с центром в этой точке. Так как, кроме того, открытые шары покрывают пространство, то тем самым метрическое пространство делается топологическим.

Описанная топология называется метрической. В дальнейшем мы без всяких оговорок будем рассматривать метрические пространства как топологические, имея в виду метрическую топологию. В частности, это относится к пространствам n и l 2 .

Топологическое пространство, топология которого является метрической по отношению к некоторой метрике, называется метризуемым.

Открытые шары метрического пространства, составляют, очевидно, базу в этой точке. Часть этой базы, составленная из шаров радиусов 1/n (n = 1, 2, …), также является базой.

139

Метрической окрестностью радиуса r > 0 множества А в метрическом пространстве Х называется множество точек х Х с ρ(A, x) < r. Так как это – объединение открытых шаров радиуса r с центрами в точках множества А, то это – открытое множество, т.е. действительно окрестность множества А.

13.3. Непрерывные отображения

Отображения топологического пространства Х в топологическое пространство Y называется непрерывным, если прообраз любого открытого подмножества пространства Y является открытым подмножеством пространства Х. Равносильное условие: прообразы замкнутых множеств замкнуты.

Непрерывное отображение называется открытым, если образы открытых множеств открыты, и замкнутым, если образы замкнутых множеств замкнуты.

Очевидно, композиция открытых отображений открыта, а композиция замкнутых отображений замкнута.

Отображение f : X → Y называется непрерывным в точке х Х, если для всякой окрестности V точки f (x) существует такая окрестность U точки х, что f(U) V.

В случае, когда X и Y - метрические пространства, то отображение

f : X→Y непрерывно в точке х Х, если для всякого положительного ε существует такое положительное δ, что образ любой точки х' Х, удаленной от х менее, чем на δ, удален от f (x) менее, чем на ε.

Утверждение. Отображение f : X → Y непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке.

Доказательство.

Если отображение f непрерывно и V - окрестность точки f (x), то f −1 (V) есть окрестность точки x и f (f −1 (V)) V.

Если отображение f непрерывно в каждой точке и V - открытое множество в Y, то каждая точка множества f −1 (V) является внутренней, так как обладает окрестностью, отображающейся в V.

Обратимое отображение f, такое что оба отображения f и f –1 непрерывные,

называется гомеоморфизм.

Если существует гомеоморфизм X →Y , то говорят, что пространство Y

гомеоморфно пространству Х.

140