6____2004

T1 . Для любых двух различных точек а, b существует окрестность точки а, не содержащая b. Равносильные формулировки: точка есть замкнутое множество; конечные множества замкнуты.

T2 . Любые две различные точки обладают непересекающимися

окрестностями.

T3 . У любой точки и любого не содержащего ее замкнутого множества

есть непересекающиеся окрестности. Равносильная формулировка: любая окрестность любой точки содержит замыкание некоторой окрестности этой точки.

T4 . У любых двух непересекающихся замкнутых множеств есть непересекающиеся окрестности. Равносильная формулировка: каждая окрестность замкнутого множества содержит замыкание некоторой окрестности этого множества. Другая равносильная формулировка: для любого конечного набора попарно непересекающихся замкнутых множеств существуют окрестности этих множеств с попарно непересекающимися замыканиями.

Аксиома T1 следует из аксиомы T2 , но не следует, как показывают очевидные примеры, из аксиом T3 и T4 .

Пространства, для которых выполнена аксиома T2 , называются хаусдорфовыми; пространства, для которых выполнены аксиомы T1 и T3 , – регулярными, а пространства, для которых выполнены аксиомы T1 и T4 , – нормальными. Из нормальности следует регулярность, из регулярности – хаусдорфовость.

Ясно, что подпространство хаусдорфова пространства хаусдорфово, что подпространство регулярного пространства регулярно и что замкнутое подпространство нормального пространства нормально.

13.5. Компактность

Топологическое пространство называется компактным, если всякое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие. Например, конечное множество, наделенное произвольной топологией, компактно, а бесконечное множество, наделенное дискретной топологией, не компактно.

Ясно, что подпространство топологического пространства Х компактно в том и только том случае, если всякое его открытое покрытие в Х содержит конечное подпокрытие.

142

Если А — компактное подмножество T1 -пространства X, то всякое

счетное фундаментальное покрытие пространства Х содержит конечное подпокрытие множества А.

Образ компактного пространства при непрерывном отображении компактен.

непрерывному отображению f : X →Y , если существует такое непрерывное

также, что F есть гомотопия отображения f.

Путем в топологическом пространстве X называется непрерывное отображение отрезка I в X. Точки s(0) и s(1) называются началом и концом пути s. Если s(0) = s(1) , то путь s называется замкнутым. Замкнутые пути

называются иначе петлями.

Топологическое пространство называется связным, если любые две его точки могут быть соединены путем.

13.7. Примеры

Пример 6.

Привести пример T1 -пространства, в котором никакое одноточечное подмножество не замкнуто.

Пример 7.

Пусть X – бесконечное множество и Fk ={A X : X \ A конечно или A = } . Условимся называть Fk конечной топологией на X .

Доказать, что

a)Fk – топология на X ;

b)(X , Fk ) – T2-пространство;

143

c)если (X , F) – топологическое пространство, удовлетворяющее T1-аксиоме отделимости, то Fk F ;

d)любые два непустых открытых в ( X , Fk ) множества пересекаются;

e) каждая точка x X является предельной для любого бесконечного множества A X ;

f)для любого бесконечного подмножества A множества X , [A] = X (иными

словами, всякое бесконечное подмножество множества X всюду плотно в X );

g)X компактно и сепарабельно.

Докажем e). Любое открытое в X множество U содержит все точки множества X , за исключением, быть может, конечного числа. Значит, U содержит и все точки множества A , кроме, быть может, конечного числа их. Так как A бесконечно, можно заключить, что U содержит бесконечно много точек из A . Сказанное относится, в частности, к любой окрестности точки x .

Пример 8.

Пусть X – топологическое пространство и A – лежащее в нем множество. Доказать равносильность следующих утверждений:

a)у каждой точки x A существует окрестность Ox в X такая, что A ∩Ox замкнуто в Ox ;

b)[A] \ A – замкнутое множество;

c)A является пересечением замкнутого множества с открытым.

c) a). Пусть A = Φ ∩U , где Φ замкнуто в X , а U открыто в X . Тогда A замкнуто в U в силу определения топологии подпространства. Значит, Ox =U удовлетворяет a) для всех x A .

b) c). Положим U = X \ ([A] \ A) . В силу b) множество U открыто. Очевидно,

U∩[A] = A .

c)b). Пусть A = Φ ∩U , где Φ замкнуто в X , а открыто U в X . Множество A

открыто в Φ. Поэтому [A]Φ \ A = [ A]Φ ∩(Φ \ A) – замкнутое в Φ множество. Но [A]Φ = [A] , ибо Φ замкнуто в X . Итак, [A] \ A замкнуто.

144

Тема 14. Элементы дифференциальной геометрии

Пространственной кривой называется образ отрезка в пространстве при непрерывном отображении.

Плоской кривой называется образ отрезка на плоскости при непрерывном отображении.

Пространственную кривую можно задать параметрическими уравнениями x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) или векторным уравнением

r = x (t )i + y (t ) j + z (t ) k .

Если мы рассматриваем плоскую кривую, надо положить z(t) ≡ 0 .

Кривая, заданная уравнением r = r (t) , называется годографом векторфункции r .

Производная вектор-функции r (t) определяется формулой

может быть вычислена по формуле

r ' (t ) = {x' (t ), y ' (t ), z ' (t )} .

Производная ddtr определяет вектор, направленный по касательной к годографу вектора r в сторону возрастания параметра t .

Правила дифференцирования вектор-функции

145

14.1. Вычисление кривизны кривой

Кривизна показывает быстроту поворота касательной, т.е. насколько быстро данная кривая меняет направление.

Формулы для вычисления кривизны плоской кривой

1.Кривая задана уравнением y = f (x) . Тогда кривизна вычисляется по формуле

2.Кривая задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t) . Тогда кривизна вычисляется по формуле

(x&2 + y&2 )3 / 2

где x& и y& означают производные по t .

3.Кривая задана в полярных координатах уравнением ρ = ρ(θ) . Тогда кривизна вычисляется по формуле

где ρ' означает производную по θ .

Радиусом кривизны называется величина, обратная кривизне: R = k1 .

146

Замечание. Кривизна окружности – величина постоянная во всех ее точках и равна обратной величине радиуса: k =1/ r . Отсюда радиус кривизны равен радиусу самой окружности: R = r .

Пример 2.

Найти кривизну циклоиды x = a(t −sin t), y = a(1 −cos t) в произвольной точке. Кривая задана параметрическими уравнениями, поэтому нужно применить формулу

147

14.2. Естественный трехгранник пространственной кривой

Пусть кривая задана уравнением r = r (t) . В каждой точке M этой кривой

можно задать три взаимно перпендикулярных единичных вектора:

τ = ddsr = | rr ''((tt)) | –

–единичный вектор касательной;

ν= | ddττ // dsds | –

–единичный вектор главной нормали, перпендикулярен вектору касательной;

β=[τ, ν] – единичный вектор

бинормали, перпендикулярен плоскости касательной и главной нормали.

Плоскость, содержащая векторы

τ и ν, называется соприкасающейся

плоскостью, содержащая векторы β

и ν – нормальной плоскостью, содержащая векторы τ и β –

спрямляющей плоскостью.

Трехгранник с вершиной в точке M , образованный соприкасающейся, нормальной и спрямляющей

плоскостями, называется рис. 14.2

естественным трехгранником Френе

(см. рис. 14.2).

14.3. Вычисление кручения кривой

Пусть γ – произвольная кривая, P и Q –

точки на этой кривой, θ – угол между соприкасающимися плоскостями в точках P и Q , ∆s – расстояние между P и Q . Угол

между бинормалями в этих точках также будет равен θ (рис. 14.3). Кручением кривой в точке M называется предел отношения

рис. 14.3

148

угла θ к расстоянию ∆s при неограниченном приближении точки Q к P :

σ = lim θ .

∆s→0 ∆s

Кручение характеризует, насколько данная кривая отличается от плоской кривой на участке PQ .

Формула для вычисления кручения:

= r ' (t) r ' ' (t) r ' ' ' (t) σ [r ' (t), r ' ' (t)] 2 .

Пример 4.

Найти кручение кривой x = 6t , y = 3t 2 , z = t 3 в точке t =1. Вектор-функция r (t) имеет вид {6 t , 3t 2 , t 3 } . Найдем ее производные:

149