Глава 3. Геометрические аспекты мкэ

Первый этап конечно-элементной процедуры – декомпозиция исследуемого

объекта (конструкции или ее частей) на конечные элементы, взаимосвязанные в узловых точках, – включает в себя следующие операции:

• выбор типов элементов, совокупность которых аппроксимирует объект;

• задание размеров и, тем самым, количества элементов;

• нумерацию элементов и узлов, и индексацию последних.

Достаточно подробное рассмотрение этих операций составляет содержание данной главы.

Отметим, что первый этап не связан ни с физической природой краевой задачи, ни с версией – вариационной или взвешенных невязок,− используемой при ее решении. Первый этап – это чисто геометрический аспект метода конечных элементов, имеющий своей целью формирование геометрической части таблицы входных данных, необходимой для машинной реализации МКЭ.

3.1 Типы конечных элементов. Базовый каталог элементов

Согласно основной концепции МКЭ каждый элемент рассматривается независимо от остального их ансамбля (см. п. 2.2). Размерность элемента определяется, очевидно, размерностью аппроксимируемой их совокупностью области определения задачи. Для соответствия элемента физической модели исследуемого объекта одномерный элемент может иметь поперечное сечение, площадь которого не обязательно постоянна по длине элемента, а двумерный элемент – единичную толщину, как это показано на рис. 3.1.

Так как каждый элемент рассматривается независимо от остальных, это дает возможность создать каталог (или архив) разнообразных по геометрии и размерности конечных элементов, обладающих различным порядком симметрии. С помощью такого набора элементов можно собрать любую конструкцию, подобно тому, как это

Рис. 3.1 Двумерная область единичной толщины и одно­мерная

область с произвольным сечением

делается с помощью элементной базы детского конструктора. Чем обширнее будет каталог, тем большее разнообразие конструкций может быть реализовано с его помощью.

Краевые задачи теории поля независимо от их физической природы традиционно подразделяют по признаку размерности изучаемого объекта на одно-, двух- и трехмерные. В задачах теплопроводности при наличии сложного (трехкомпонентного) теплообмена на внешних и внутренних поверхностях объекта такое подразделение с физической точки зрения неприемлемо, так как поверхность (внешняя и внутренняя) самого объекта в этих случаях в теплообмене не участвует – последний осуществляется лишь на внешних границах двумерного объекта, получаемых путем искусственно вводимой его единичной толщины, или на поверхности приписываемого одномерному объекту сечения произвольной формы, как это показано на рис. 3.1. В силу сказанного базовый каталог элементов должен содержать только трехмерные элементы.

В целях упрощения математического описания элементов и сохранения наглядности при декомпозиции объекта на элементы, в качестве таковых следует брать ячейки, образованные координатными поверхностями системы с соответствующим объекту порядком симметрии . Узлами элемента будут точки пересечения координатных линий. Для расширения элементной базы можно использовать и элементы, которые лишь частично образованы координатными поверхностями (трансляцией вдоль одного из ортов системы), либо трансляцией точек в направлениях, не совпадающих с ортами.

Базовый каталог конечных элементов с иллюстрацией их геометрической формы, являющийся рабочим инструментом при декомпозиции области, представлен в Приложении 1. В левом столбце каталога указаны:

• номер элемента , присвоенный ему в каталоге, с указанием орта

трансляции;

• порядок симметрии ;

• количество r узлов элемента.

В инженерной практике часто встречаются конструкции, собранные из осесимметричных элементов − цилиндров, конусов и т.д., порядок симметрии которых . Соответственно геометрии объекта задачи теплопроводности с − так называемыеосесимметричные задачи, − в общем случае следует разделить на два типа задач:

• полностью симметричные − граничные условия не зависят от угловой

координаты θ;

• ограниченно симметричные.

Ограниченно симметричные задачи с являются особыми инженерными задачами теплопроводности в силу следующих причин:

• объект представляет собой какую-то часть (по углу или углам)

осесимметричной фигуры;

• распределение тепловых − объемных и (или) поверхностных − нагрузок носит локальный характер (граничные условия не являются осесимметричными в силу особенностей самой конструкции и (или) условий ее функционирования, что присуще, например, всем космическим объектам [32]);

• объект − многосвязная область (например, перфорированные цилиндр, конус, шар и т.д.).

Указанные признаки ограниченной симметрии могут присутствовать в задаче порознь, в любой комбинации или все одновременно. В базовом каталоге конечных элементов даны ограниченные по углу (углам) трехмерные элементы , образованные координатными поверхностями системы. Они легко получаются поворотом на угол ∆θ соответствующих плоских фигур (на рисунке заштрихованы). Элементы с номерами 2, 6, 7 лишь частично образованы координатными линиями: путем трансляции треугольника в направленииили поворотом его на уголвокруг оси. И только третий элемент − тетраэдр – никак не связан с координатной сеткой: он получен трансляцией точек (узлов).

Осесимметричные элементы легко получить поворотом на угол заштрихованных элементообразующих поверхностей (граней).

Включенные в базовый каталог элементы позволяют собрать конструкцию сложной геометрической формы, чем и обусловлено одно из важных преимуществ МКЭ перед другими численными методами.