- •А.В. Румянцев
- •Содержание
- •Глава 6. Программная реализация метода
- •Глава 1. Краевые задачи теории поля
- •1.1 Уравнение переноса в обобщенной криволинейной системе координат
- •1.2 Краевые условия задачи
- •1.3* Краткая характеристика методов решения краевой задачи
- •Глава 2. Метод конечных элементов в краевых
- •2.1 Методы взвешенных невязок
- •2.2 Основная концепция метода конечных элементов
- •Глава 3. Геометрические аспекты мкэ
- •3.1 Типы конечных элементов. Базовый каталог элементов
- •3.2 Дискретизация области на элементы
- •А) с разными (вид сверху); б) с одинаковыми.
- •Цифры – это номер элемента по каталогу
- •3.3 Нумерация элементов и узлов
- •3.4 Индексация узлов и формирование таблицы входных данных
- •Осесимметричной детали
- •Геометрическая часть таблицы входных данных
- •Глава 4. Математическое описание элемента
- •4.1 Метод Крамера
- •4.2 Метод Лагранжа
- •4.3 Обобщенный метод Крамера-Лагранжа
- •4.4 Эрмитовы элементы
- •4.5 Свойства базисных функций элемента
- •Глава 5. Вычислительные аспекты мкэ
- •5.2 Матричное представление элементного вклада
- •Производные базисных функций
- •5.3 Формирование глобальных матриц для исследуемой области
- •А) Сокращенная
- •5.4 Стандартизация матриц элементов
- •5.5 Естественная система координат
- •5.6 Средние температуры элемента
- •Глава 6. Программная реализация мкэ
- •6.1 Задание краевых условий задачи
- •6.2 Решение системы динамических уравнений
- •Временная циклограмма q(τ)
- •6.З Учет температурной зависимости теплофизических параметров
- •6.4 Радиационный компонент теплообмена
- •6.5 Сходимость, полнота и согласованность, точность
- •Базовый каталог объемных элементов
- •Осесимметричные объемные элементы
- •Базовый каталог одно- и двумерных элементов
4.4 Эрмитовы элементы
Наряду с лагранжевыми элементами могут быть использованы и эрмитовы элементы. Базисные функции для эрмитовых элементов могут быть получены аналогичным образом, но с использованием эрмитовых полиномов вместо лагранжевых. При этом узловой вектор будет включать узловые значения не только функции, но и ее производные.
Для иллюстрации рассмотрим одномерный элемент с r узлами, причем узлы не обязательно расположены равномерно. Пусть у каждого узла имеется две степени свободы – функция u и ее производная du/dx. Следовательно, пробная функция для элемента может быть записана в виде:
(4.4.5)
У базисной функции Nij в этом равенстве первый индекс обозначает порядок дифференцирования по соответствующей узловой переменной, а второй – номер узла. Для того, чтобы в (4.3.5) в узле k давало uk и ∂uk/∂x, функции N0i (x) и N1i(x) должны (при i≠j) удовлетворять соотношениям:
N0i(Xi) = 1, N1i(Xi) = 0, N′0i(Xi) = 0, N′1i(Xi) = 1,
(4.4.6)
N0i(Xj) = 0, N1i(Xj) = 0, N′0i(Xj) = 0, N′1i(Xj) = 0.
Этим равенствам удовлетворяют эрмитовы полиномы:
, ,j ≠ i . (4.4.7)
В качестве конкретного примера рассмотрим случай r=2. Равенство (4.4.5) при этом примет вид:
(4.4.8)
где базисные функции (записанные по индексам i,j) получены из (4.4.7) и (4.4.8):
(4.4.9а))
(4.4.9б))
Для двумерных эрмитовых элементов интерполяция применяется дважды:
первая – в направлении x, а вторая – в направлении y, что дает базисные функции в виде произведения одномерных базисных функций.
4.5 Свойства базисных функций элемента
В общем случае элементные аппроксимирующие функции должны быть непрерывными, а их производные допорядка – непрерывными или постоянными внутри элемента и между элементами (– порядок старшей производной в дифференциальном уравнении краевой задачи). Вследствие того, что по версии МКЭ:
; ,
указанными свойствами должны обладать и базисные функции элемента.
Так как узловые значения функции – это числа с размерностью искомой физической величины, базисные функции элемента должны бытьбезразмерными. В этом нетрудно убедиться, проанализировав формулы предыдущих параграфов этой главы.
Подставив в базисную функцию (4.2.4) координаты -го узла, получим:
Если в выражение (4.2.4) подставить координаты -х узлов, то оно даст. Таким образом, базисная функция должна удовлетворять следующимнеобходимым условиям:
, ,. (4.5.1)
Просуммируем столбцы матрицы (4.1.6), описывающие коэффициенты базисных функций (4.1.7) симплекс-треугольника:
, так как ;
;
.
Из этих равенств вытекает еще одно необходимое условие, которому должны удовлетворять базисные функции произвольного (а не только треугольного) элемента с произвольным количеством узлов:
, , (4.5.2)
которое может быть отнесено к нормировочному.
Нарушение требования (4.5.2) однозначно свидетельствует, что какие-то (или все) базисные функции элемента определены неверно.
Градиент искомой физической величины определяется производными базисных функций и узловыми значениями:
, . (4.5.3)
Согласно (4.2.4) и (4.3.1) первые производные базисных функций элементов каталога будут содержать оставшиеся после дифференцирования текущие переменные и их произведения в первой степени. Такие элементы принято называть мультиплекс-элементами. У этих элементов непрерывными являются и первые производные базисных функций, но только по двум переменным, а вторые производные по этим же переменным постоянны.
У линейного тетраэдра (и треугольника), как видно из (4.1.14), первые производные базисных функций постоянны и равны коэффициентам при текущих переменных. Такие элементы называютсимплекс-элементами (простыми). Как было показано выше, суммы коэффициентов равны нулю. Следовательно, дляпроизвольного симплекс-элемента с узлами имеем:
(4.5.4)
Соотношение (4.5.4) можно считать одним из признаков принадлежности элемента к семейству симплекс-элементов.
Постоянство градиента внутри симплекс-элемента требует использования малых по размерам элементов, чтобы точнее аппроксимировать быстро меняющуюся функцию . Автоматически это обусловливает дискретизацию исследуемой области на большое число элементов со всеми вытекающими отсюда последствиями.
В заключение еще раз заметим, что элементы принято классифицировать на лагранжевы и эрмитовы в зависимости от того, включает ли узловой вектор только значения функции – лагранжевы, или и значения ее производных – эрмитовы элементы [6]. Все элементы базового каталога по этой классификации являются лагранжевыми.
Задание 4
4.1 Найдите базисные функции элементов:
а);; б);;;
в);;;;; г) докажите справедли-
вость найденных выражений для всех базисных функций;
4.2 Покажите, что для симплекс-треугольника Ni(x,y) = 0 в узлах j и k.
4.3 Покажите, что в произвольной точке отрезка. Найдите зна-
чения этой функции, изменяя значения x в пределах от Xi до Xk , и постройте
ее график.
4.4 Покажите, что базисные функции 4-го элемента базового каталога удовле-
творяет критерию (4.5.2).
4.5 Методом Лагранжа найдите базисные функции радиальных двумерных тре-
угольника и четырехугольника, лежащих в основании 4-го и 5-го элементов
каталога.
4.6 Методом Лагранжа найдите базисные функции элементов, порождающих
элементы каталога с номерами 8-10.
4.7 Найдите трансляцией базисные функции 5-го элемента базового каталога.
4.8 Найдите базисные функции для элементов иликаталога. Проверьте
результат по критерию (4.5.2).
4.9 Возможна ли дискретизация 2-мерной области треугольными элементами
разного порядка?