mathanaliz

1.4.

Линейные пространства.

Термин "пространство" по существу эквивалентен термину "мно-

жество". Отличие состоит в том, что термин пространство "в чи-

стом виде" употребляется редко, а чаще всего в сочетании с други-

ми терминами, например: топологическое пространство, линейное

пространство, метрическое пространство и т.д. На следующей схе-

ме показаны некоторые из изучаемых в математике пространств.

Стрелки имеют следующий смысл: то пространство на которое

указывает стрелка является частным случаем того, из которого

она "исходит".

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

2. x, y, z L : (x + y) + z = x + (y + z)

(сочетательный или ассоциативный закон сложения);

~

~

3. 0

L такой, что x L : x + 0 = x

( аксиома существования нулевого элемента);

~

4. x L y L такой, что x + y = 0

(y называется противоположным элементом и обозначается (−x));

5. x L : 1 · x = x

(тождественное преобразование);

6. α, β R и x L : α · (β · x) = (α · β) · x;

7. α, β R и x L : (α + β) · x = α · x + β · x;

8. α R и x, y L : α · (x + y) = α · x + α · y.

Определение 4. Множество L с введённой на нём линейной струк-

турой называется линейным пространством, т.е.

< L, линейная структура на L >îáîç= . L.

Элементы линейных пространств называют векторами.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen

•Close •Quit

1.4.2.

Арифметическое пространство.

1. Линейное пространство вещественных чисел.

На множестве R вещественных чисел введём линейную структу-

ру. Для этого нужно на множестве R задать две операции. В

качестве этих операций возьмём известные нам операции сложе-

ния и умножения вещественных чисел. При этом аксиомы 1 - 8 из

определения 3 – это известные нам свойства вещественных чисел.

Линейное пространство вещественных чисел будем обозначать че-

рез R.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 5. Говорят, что задана ось, если заданы:

1. прямая Ï;

2. точка отсчёта O Ï;

3. направление отсчёта [OÅ);

4. единица масштаба |OÅ| = 1.

Геометрической интерпретацией линейного пространства R яв-

ляется ось. (Пространство R одно, а всевозможных интерпретаций

много). Рассуждения, проводимые с элементами пространства R,

удобно иллюстрировать на оси.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen

•Close •Quit

2. Арифметическое пространство.

Пусть n N фиксировано.

Определение 6. Упорядоченной n − êîé называется совокупность

n чисел, в которой указан порядок расположения этих элементов.

Упорядоченные n − êè будем обозначать

x1

x2

1

2

, . . . , x

n

)

T

.

= (x

, x

.

n

x

Элементы x1, x2, . . . , xn называются компонентами упорядоченной

n − êè (x1, x2, . . . , xn)T

. Обозначим множество упорядоченных n −

íîê через Rn:

Rn := (x1, x2, . . . , xn)T | x1, x2, . . . , xn R .

На множестве Rn введём линейную структуру. Для этого нужно

•First

•Prev

•Next

•Last

•Go Back •Full Screen •Close •Quit

определить две операции. Операцию сложения определим так:

(x1, x2, . . . , xn)T , (y1, y2, . . . , yn)T Rn :

опр.

(x1, x2, . . . , xn)T + (y1, y2, . . . , yn)T :=

(x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)T .

Операцию умножения определим следующим образом:

(x1, x2, . . . , xn)T Rn, α R :

α · (x1, x2, . . . , xn)T

опр.

:= (α · x1, α · x2, . . . , α · xn)T .

Легко видеть, что для определённых так операций выполнены ак-

сиомы 1 - 8 из определения 3.

Убедиться в справедливости аксиом 1 - 8 из определения 3, для

определённых выше операций сложения упорядоченных n−ок и

умножения

упорядоченной

ки на число, самостоятельно.

R

n

n−

Итак, на множестве

мы ввели линейную структуру. Получен-

ное линейное пространство мы будем обозначать Rn и называть

арифметическим пространством.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit