mathanaliz
.pdf
Доказательство. Необходимость.
? |
|
1 |
1 |
2 |
2 |
k |
k |
|
(xn → x0) = ξn → ξ0 |
, ξn |
→ ξ0 |
, . . . , ξn |
→ ξ0 . |
||||
Фиксируем |
ε > 0 |
и |
j |
|
{1, 2, . . . , k}. |
|||
îïð.18
(xn → x0) =
(2.1)
( N = N(ε) N такое, что n > N : d(x0; xn) < ε) =
n > N :
max |
i |
− |
i |
< ε |
|
|
|
|
|
|
|||||
ξn |
|
ξ0 |
|
= |
|||
1 i |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
≤ ≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
− |
|
j |
|
|
|
|
ξ |
|
|
< ε . |
||
|
n > N : |
ξn |
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Из выделенного синим цветом следует, по определению 18, что ξnj → ξ0j.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Достаточность.
|
1 1 |
2 2 |
k k |
|
? |
ξn → ξ0 |
, ξn → ξ0 |
, . . . , ξn → ξ0 = (xn → x0). |
|||
Фиксируем произвольное ε > 0.
(ξn1 → ξ01) (ξn2 → ξ02)
(ξnk → ξ0k)
îïð.18
=
îïð.18
=
îïð.18
=
|
N1 |
= N1(ε) |
|
N такое, что |
|
n > N1 |
|
N2 |
= N2(ε) |
N такое, что |
n > N2 |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
................................... |
||||||
|
Nk = Nk(ε) |
|
N такое, что |
|
n > Nk |
|
|
|
|
|
|
||
: |
|
ξn1 |
|
ξ01 |
|
|
< √εk |
|
||||||
|
| |
2 |
− |
2 |
| |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ε |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
ξn |
|
ξ0 |
|
|
< |
|
|
|
|
(2.2) |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
√k |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
− |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
ε |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
ξ |
n |
|
ξ |
0 |
|
< |
√ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
| − |
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( N = max{N1,N2,...,Nk} такое, что n > N : d(x0;xn) < ε).
Из выделенного синим цветом следует, по определению 18, что xn → x0. 
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Из теоремы |
5 |
следует, |
|
что нахо- |
|||
ждение |
|
предела |
k |
последовательности |
|||
(xn), xn = |
1 |
2 |
R |
k |
сводится к |
||
ξn, ξn, . . . , ξn |
|
||||||
нахождению пределов k числовых последовательностей ξni ! , ξni R, i = 1, 2, . . . , k.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
2.2.Числовые последовательности.
Напомним, что если x, y R, то
d(x; y) = |x − y|.
Определение 24. Последовательность (xn), xn R, сходится к числу a, если ε > 0 N =
N(ε) N такое, что n > N : |xn − a| < ε.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 25. Последовательность (xn), xn R, сходится к числу a, если
Uε(a) N = N(ε) N такое, что n > N : xn Uε(a).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 26. Последовательность (xn), xn R, сходится к числу a, если вне любой
Uε(a) находится лишь конечное число точек последовательности (xn).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 6. Показать, что последовательность
xn = |
|
1 |
|
сходится к числу 0. |
5 |
+4n+1 |
|||
|
n |
|
||
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение.
Что нужно показать?
|
|
1 |
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
n + 4n + 1 |
|||||
lim |
5 |
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε > 0 N = N(ε) N такое, что n > N :
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< ε. |
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
n |
|
+ 4n + 1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фиксируем произвольное ε0 > 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение задачи состоит в том, что нужно указать число N0 = N(ε0) N такое, что
n > N0 : 5 1 < ε0.
n +4n+1
Это означает, что нужно построить интервал (N0, +∞) , все натуральные числа которого яв-
ляются решениями неравенства |
|
1 |
|
< ε0. |
5 |
+4n+1 |
|||
|
n |
|
||
При этом число N0 может изначально выбрано сколь угодно большим.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Следует обратить внимание на то, что мы не решаем неравенство < ε0, т.е. не находим множества всех тех и только тех значений n N, для которых оно верно. Нас интересует только существование подмножества решений неравенства < ε0, для которого бесконечно удалённая точка является предельной. Построение же этого подмножества решений значительно проще чем нахождение всех решение неравенства.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit