mathanaliz

Теорема 15. Если xn → ±∞ и yn → ±∞, то

xn + yn → ±∞.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Рассмотрим случай когда

lim xn = +∞ и lim yn = +∞.

Фиксируем произвольное ε > 0.

( N = max{N1, N2} т.ч. n > N : xn + yn > ε) .

Из выделенного синим цветом следует, по определению 30, что xn + yn → +∞. Аналогично доказывается случай когда xn → −∞ и yn → −∞.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 16. Если (xn) ограниченная и (yn) бесконечно большая последовательности, то (xn + yn) - бесконечно большая последовательность.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Фиксируем ε > 0.

( n > N : |xn + yn| = |yn − (−xn)| ≥

≥ ||yn| − | − xn|| > |ε + M − M| = ε) .

Из выделенного синим цветом следует, по определению 29, что xn + yn → ∞.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 17. Если последовательность (xn) отделима от нуля, а последовательность (yn) - бесконечно большая, то последовательность (xn · yn) - бесконечно большая.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Фиксируем ε > 0.

Из выделенного синим цветом следует, по определению 29, что xn · yn → ∞.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Следствие 17.1. Произведение последовательности сходящейся к числу a (a 6= 0) и бесконечно большой последовательности есть бесконечно большая последовательность.

Следствие 17.2. Произведение двух бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

2.2.7.1. О сравнении бесконечно больших числовых последовательностей.

Пусть (xn) и (yn) бесконечно большие числовые последовательности, причём n N, yn 6= 0.

Что можно сказать о пределе последователь-

ности xn ?

yn

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

1. xn = n → +∞, yn = n → +∞,

xn → 1; yn

2. xn = n → +∞, yn = n2 → +∞,

xn = 1 → 0; yn n

3. xn = n2 → +∞, yn = n → +∞,

xn = n → +∞; yn

4. xn = (−1)n−1 · n → ∞, yn = n → +∞,

xn = (−1)n−1 предела не имеет. yn

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

1. xn = n → +∞, yn = n → +∞,

xn → 1; yn

2. xn = n → +∞, yn = n2 → +∞,

xn = 1 → 0; yn n

3. xn = n2 → +∞, yn = n → +∞,

xn = n → +∞; yn

4. xn = (−1)n−1 · n → ∞, yn = n → +∞,

xn = (−1)n−1 предела не имеет. yn

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit