mathanaliz
.pdfТеорема 7. Для того чтобы последовательность (xn), xn R, сходилась к числу a, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
xn = a + αn, где αn → 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Необходимость.
(x a) =? (x = a + α , где α 0) .
n → n n n →
Разность xn − a, обозначим αn, т.е.
xn − a := αn.
Покажем, что (αn → 0). Фиксируем произвольное ε > 0.
îïð.24
(xn → a) = ( N = N(ε) N т.ч. n > N : |xn − a| < ε) îáîç= .
( n > N : |αn| < ε) .
Из выделенного синим цветом следует, по определению 28, что αn → 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Достаточность.
(xn = a + αn, αn → 0) =?
îïð.24
(xn → a)
( ε > 0 N = N(ε) N т.ч. n > N : |xn − a| < ε) .
Фиксируем произвольное ε > 0 .
(xn = a + αn, αn → 0)
îïð.28
(αn = xn − a, αn → 0) = ( N = N(ε) N т.ч. n > N : |αn| = |xn − a| < ε) .
Из выделенного синим цветом следует, по определению 24, что xn → a.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
2.2.2. Бесконечно большие числовые последовательности.
Определение 29. Последовательность (xn), xn R, стремится к бесконечности, если
ε > 0 N = N(ε) N такое, что n > N :
|xn| > ε.
Тот факт, что (xn), xn R, стремится к бесконечности, будем кратко записывать так: lim xn = ∞ или xn → ∞.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 30. Последовательность (xn), xn R, стремится к “плюс бесконечности”, если ε > 0 N = N(ε) N такое, что
n > N : xn > ε.
Тот факт, что (xn), xn R, стремится к плюс бесконечности, будем кратко записывать так: lim xn = +∞ или xn → +∞.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 31. Последовательность (xn), xn R, стремится к “минус бесконечности”, если ε > 0 N = N(ε) N такое, что
n > N : xn < −ε.
Тот факт, что (xn), xn R, стремится к минус бесконечности, будем кратко записывать так:
lim xn = −∞ или xn → −∞.
Замечание. Если lim xn = ∞ или lim xn = ±∞, то (xn) расходится.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 32. Последовательность (xn), xn R, называется бесконечно большой, если она стремится к ∞ или +∞ или −∞.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 12. Показать, что lim (−1)nn2 = ∞.
Пример 13. Показать, что lim nn = +∞.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
2.2.2.1. И Доказать, по определению, что
последовательность бесконечно большая.
Доказать, что |
|
|
|
|
Доказать, что |
|
Доказать, что |
|||||||||||
lim nk = +∞ |
|
|
|
lim(−1)nnk = ∞ |
|
lim √k |
|
= +∞ |
||||||||||
|
|
|
|
n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Доказать, что |
|
|
Доказать, что |
|
Доказать, что |
|||||||||||||
lim √k |
|
= +∞ |
|
|
|
|
lim n! = +∞ |
|
|
lim an = +∞ |
|
|||||||
ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Доказать, что |
|
Доказать, что |
|
|
|
|
|||||||||||
|
lim nn = + |
|
|
|
|
lim nk + an + b = + |
∞ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
2.2.3. Связь между бесконечно большими и
бесконечно малыми числовыми последовательностями.
Теорема 8. Если последовательность (αn), αn R, бесконечно малая и все её члены отличны от нуля, то последовательность (xn), xn = α1n, бесконечно большая. И наоборот, если (xn), xn R, бесконечно большая и n N : xn 6= 0, то последовательность (αn), αn = x1n, бесконечно малая.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit