5. Кооперативное принятие решений

2.5.1 Содержание темы

Теория благосостояния. Оптимальность по Парето. Эгалитаризм и утилитаризм. Порядки коллективного благосостояния. Функции коллективной полезности. Свойства порядков коллективного благосостояния. Сокращение неравенства.

Кооперативные игры. Представление игр. Понятие характеристической функции. Игры с распределением затрат. C-ядро. Решение игр с трансферабельными выигрышами. Вектор Шепли. N-ядро.

Механизмы коллективного принятия решений. Модель дележа прибыли. Модель распределения затрат. Уровневый налог. Подушный налог. Вектор Шепли и N-ядро при распределении затрат.

Две модели производства. Задача производства общественного продукта. Задача производства продукта личного пользования.

Неманипулируемые механизмы.

Литература: [1, 8, 9].

2.5.2 Методические указания

В данном разделе рассматриваются некоторые вопросы теории благосостояния, теории кооперативных игр, а также некоторые механизмы коллективного принятия решений.

В теории благосостояния рассматриваются следующие функции коллективной полезности (ФКП): эгалитарная ФКП, утилитарная ФКП, ФКП Нэша и диктаторские ФКП (в частности, диктат богатых). Необходимо помнить, что при нахождении решения любая ФКП максимизируется. Если ФКП диктата богатых определяется как полезность самого богатого агента, то решение находится по максимаксному критерию (в отличие от максиминного критерия для эгалитарной ФКП). Внимание! При нахождении любого решения помните о том, что решение должно быть эффективным (оптимальным по Парето)! Это особенно актуально при нахождении эгалитарного решения. Если равенство полезностей для агентов на множестве эффективных решений недостижимо, то в качестве эгалитарного решения выбирается решение из множества эффективных, в котором разность между полезностями самого «бедного» и самого «богатого» агентов является наименьшей.

При проверке заданного свойства порядка коллективного благосостояния (ПКБ) обращайте внимание на то, какой из указанных ПКБ обладает этим свойством, а какой – нет. Если ПКБ обладает указанным свойством, то после изменения функций полезности решение должно остаться прежним. Если ПКБ этим свойством не обладает, то решение может измениться, а может и не измениться.

При сравнении векторов полезностей по любому принципу оптимальности, элементы векторов не упорядочиваются! Исключение составляет сравнение векторов по лексиминному порядку.

Для решения кооперативной игры, прежде всего, необходимо представить игру в форме характеристической функции. Характеристическая функция (х.ф.) коалиции показывает ее максимальный гарантированный выигрыш. Если игра задана в виде словесного описания, х.ф. коалиции можно определить, исходя из того, сколько может максимально заработать коалиция, независимо от действий других игроков.

Любое решение кооперативной игры является дележом или множеством дележей. При проверке дележей на доминирование помните, что доминирование возможно только по промежуточным коалициям! При этом должны выполнять одновременно оба условия доминирования. Доминирование по одиночным коалициям и по максимальной коалиции невозможно.

Внимание! Любое решение игры – это дележ или множество дележей! Получив решение, проверьте, является ли оно дележом! Это необходимо делать в любой задаче, связанной с кооперативным принятием решений, в том числе, и в задачах с распределением затрат, и в задачах, связанных с производством общественного или личного продукта.

В качестве решения кооперативных игр могут выступать с-ядро, вектор Шепли, N-ядро. Если игра не имеет с-ядра, то в качестве решения выступает либо вектор Шепли, либо N-ядро. С-ядро – это выпуклый многоугольник, для определения которого необходимо указать координаты его вершин. Не забывайте при записи решения возвращаться к первоначальным переменным. Для самопроверки: в любом дележе, принадлежащем с-ядру каждый игрок и каждая коалиция должны получать не меньше, чем они могут заработать сами по себе. Кроме того, каждый найденный вами вектор (с-ядро) является дележом, а значит, сумма его элементов должна равняться выигрышу максимальной коалиции. Так как с-ядро описывается координатами вершин многоугольника, то в каждом найденном дележе хотя бы по одному заданному ограничению (может быть по двум) должно выполняться равенство. По остальным ограничениям будет выполняться строгое неравенство. Проверяйте окончательный результат!

В выпуклых играх вектор Шепли, так же как и N-ядро, является центром с-ядра. Значит, в выпуклой игре эти два решения должны совпадать. Если игра не выпукла, вектор Шепли может принадлежать, а может и не принадлежать с-ядру (если оно существует). N-ядро всегда принадлежит с-ядру!

Для игр двух или трех лиц самый простой способ нахождения N-ядра – это определение с-ядра, а затем нахождение его центра. Если игра не имеет с-ядра, то N-ядро является центром «анти» с-ядра (области, в которой не выполняется ни одно ограничение). Для игр четырех и более лиц N-ядро находится по максиминному критерию. Для этого необходимо записать в общем виде вектор сверхдоходов коалиций, обозначив прибыль/затраты отдельных игроков через переменные, а затем применить к нему максиминный критерий. При этом принимается, что «одинаковые» игроки (не различимые с точки зрения смыслового содержания задачи), должны получать одинаковую прибыль (нести одинаковые затраты) при любом разумном дележе. По максиминному критерию максимизируется сверхдоход «беднейшей» коалиции. Под сверхдоходом здесь понимается разница между прибылью, которую дает коалиции дележ, и х.ф. коалиции.

В задачах с распределением затрат в качестве решения могут дополнительно выступать уровневый, подушный и пропорциональный налоги. В задачах такого типа решение должно быть представлено двумя векторами: вектором затрат и вектором прибыли. Проверяйте полученное решение! Сумма затрат и прибыли по каждому агенту должна равняться его доходу. Общая сумма элементов вектора затрат должна равняться заданной величине затрат на коллективный объект. При нахождении N-ядра в задаче с распределением затрат помните, что затраты (прибыль) для каждого агента не должны превышать половины его доходов! Вектор Шепли в задачах с распределением затрат может быть определен двумя способами. Первый способ является стандартным, но требует большого количества вычислений. Для этого необходимо построить х.ф. игры, а затем рассчитывать вектор по обычным формулам (как в любой игре). Второй способ менее трудоемок. Здесь он интерпретируется следующим образом: агенты бегут в банк и получают прибыль в соответствии с заявкой (по принципу «кто первый пришел, тот первый и обслуживается»). Если второй способ для вас затруднителен, то пользуйтесь стандартным первым способом.

В задаче производства общественного продукта, прежде всего необходимо определить характеристическую функцию игры. После того, как определена х.ф., решение игры (с-ядро, вектор Шепли и N-ядро) находятся обычным способом. Решение в задаче с производством общественного продукта необходимо представлять как в виде вектора (векторов) прибыли, так и виде вектора затрат. Для определения векторов затрат сначала определяется общий объем затрат на производство, исходя из функции затрат и объема производства общественного продукта, выпускаемого максимальной коалицией.

Вопросы для самопроверки:

1. Какой принцип оптимальности является единственно бесспорным в теории благосостояния?

2. В чем различие между эгалитаризмом и утилитаризмом?

3. Что такое ПКБ и ФКП?

4. Перечислите основные свойства порядков коллективного благосостояния.

5. Что такое кооперативная игра?

6. Как можно определить принадлежность дележа с-ядру игры?

7. Какие решения кооперативных игр вам известны?

8. Чем отличаются уровневый и подушный налоги в задаче распределения затрат?

9. Что такое с-ядро игры?

10. Всегда ли вектор Шепли принадлежит с-ядру игры?