2 Математические основы компьютерной графики

2.1 Преобразования на плоскости

Ниже мы рассмотрим лежащие в основе КГ положения математики, необходимые для представления и преобразования точек и линий.

На плоскости точку представляют с помощью двух ее координат. Их значения можно рассматривать как элементы матрицы: вектор - строки  или вектор - столбца. В пространстве каждая точка представляется тремя координатами–аналогичноили.

Таким образом, последовательность точек, образующих объект, может быть представлена в виде матрицы чисел. Положением точек можно управлять путем преобразования матриц. В результате многие физические задачи можно привести к следующей формулировке. Пусть даны матрицы А и В и задана их взаимосвязь: АТ = В; необходимо найти матрицу преобразования Т.

С другой стороны, матрицу Тможно рассматривать как оператор, а умножениеАнаТ- как геометрическое преобразование над системой точек, содержащихся в матрицеА. При этом матрицыАиТдолжны быть известны. Такая интерпретация является основой математических преобразований, используемых в КГ.

Прежде чем перейти к рассмотрению отдельных видов преобразований, вспомним основные положения матричной алгебры.

2.1.1 Матричные операции

Матрица- это прямоугольный массив чисел размером(m- число строк,n- число столбцов). Еслиn=m, то матрица называется квадратной. Размер матрицы называется еепорядком. Элементы матрицыназываютсяглавными диагональными элементами.

Нулевая матрица– матрица, все элементы которой равны 0.

Единичная матрица– элементы главной диагонали равны 1, а остальные - 0.

Сложение и вычитание.Если две матрицыАиВимеют одинаковый порядок, то допустимо их сложение и вычитание. Результирующая матрица будет иметь тот же порядок. Сложение и вычитание матриц осуществляется поэлементно, то есть если , то

. (2.1)

Умножение.Это самая распространенная матричная операция в КГ. Пусть матрицаАимеет размерность, матрицаВ–. Умножение матриц определено только в том случае, если, то есть число столбцов левой матрицы в произведенииравно числу строк правой матрицы. Результирующая матрица будет иметь порядок. Значения элементов матрицыопределяется следующим образом:

. (2.2)

Например, при умножении матрицы Аразмером 43 на матрицуВразмером 32 получим матрицуСразмером 42. Например, элемент матрицыCс номером (3;2) определяется как:

,

то есть как сумма произведений элементов третьей строки матрицы А на соответствующие элементы второго столбца матрицы В.

Важно иметь в виду, что умножение матриц не коммутативно, то есть

.

При этом выполняются левая и правая дистрибутивность относительно сложения А (B +C) = АВ +АС и(А+В) С = АС +ВС

и ассоциативность А (ВС) = (АВ) С = АВС.

  Определитель квадратной матрицы.Определитель квадратной матрицыАобозначается. Например, определитель матрицы 22 будет:

. (2.3)

Определитель матрицы 33

(2.4)

Определитель матрицы

(2.5)

– алгебраическое дополнение матрицыА- это матрица размером, получаемая путем вычеркивания из матрицыАэлементовi-ой строки и элементовj-ого столбца;

- определитель матрицы.

Обращение квадратной матрицы.В матричной алгебре операция деления неопределенна. Поэтому в выражении

АТ = ВматрицаТопределяется как

, (2.6)

в том случае, если А– квадратная матрица.

Матрица называется обратной кА.

Произведение обратных матриц дает единичную матрицу того же порядка:

. (2.7)

Например,

Обратная матрица вычисляется следующим образом

, (2.8)

где – определители алгебраических дополнений, верхний символ“T”означает операцию транспонирования, то есть записи строк столбцами, а столбцов - строками.

Видно, что если , то матрицыне существует. В остальных случаях матрицасуществует и единственна.