Кванттык механикагакириспе
.pdf
U |
|
|
Бір |
өлшемді |
қозғалыстың |
жалпы |
|||||
|
|
|
қасиеттері |
бойынша |
энергияның |
||||||
|
|
|
мəндері |
дискретті |
спектрге |
жатады |
|||||
|
|
|
жəне |
осы мєндерге |
сєйкес |
келетін |
|||||
|
|
|
энергиялық деңгей азбаған болады. Бұл |
||||||||
|
|
|
деңгейдің |
потенциялық |
қисықпен |
||||||
|
|
|
қиылысу |
нүктелері |
x = a |
жєне |
x = b |
||||
|
|
|
классикалық |
бұрылыс |
нүктелеріне |
||||||
|
|
E |
сəйкес |
келеді, |
бұл |
нүктелерде |
|||||
І |
ІІ |
ІІІ |
кинетикалық энергия нольге тең болады, |
||||||||
|
|
|
классикалық |
микробөлшек |
|
шүңқыр |
|||||
|
x=a |
x=b |
қабырғаларына |
соқтығысып, |
|
кері |
|||||
|
|
(7.2 сурет) |
серпіледі. Ал, кванттық |
механикада |
|||||||
бөлшектердің классикалық физикада өтуге мүмкін емес бірінші ( x P a ) жєне үшінші |
|||||||||||
( x F b ) обылыстарға да өту ыктималдығының нольге тең болмайтындығы белгілі. |
|
||||||||||
|
Кеңістіктің єртүрлі нүктелеріндегі бөлшектің қозғалысын ВКБ— тєсілін |
||||||||||
пайдаланып қарастырайық. Шүңқырдың ішінде, яғни екінші обылыста (а < х < b ) |
|||||||||||
энергия Е F U |
жєне импульс р-ның мєні нақты. Сондықтан (7.47)-ші жалпы шешу |
||||||||||
мынадай түрде беріледі: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ψ11 |
= |
С |
|
|
|
|
|
|
sin |
||
|
|
|
|||
|
p |
||||
|
|
|
|
|
|
x
∫
a
|
(7.48а) |
pds + θ |
|
|
|
немесе
|
С′ |
d |
||
Ψ = |
sin ∫ |
|||
|
||||
11 |
|
|
x |
|
|
p |
|
||
|
|
|||
′
pds + θ (7.48б)
Классикалық шұңқырдағы бөлшек енуі мүмкін емес обылыстар |
(I, III) үшін энергия |
||||||||||||||||||||||||||
Е < U, ал импульс р жорымал мєндерге ие болады. Бұл жағдайда (7.47)-ші жалпы |
|||||||||||||||||||||||||||
шешу |
|
A′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
||||||
Ψ = |
|
|
|
e |
|
∫ |
|
p |
|
dx + |
|
|
|
e |
|
∫ |
|
p |
|
dx |
(7.49) |
||||||
|
|
|
h |
h |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
мұнда | p | нақты сан |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.50) |
||||||||||
|
p |
|
|
2m0 (U − E ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x → ∞ болғанда толқындық функцияның шектелген болуы қажет деген стандарт
шартты қанағаттандыру үшін (7.49)-шы өрнектегі екінші мүшенің алдындағы коэффициент В-ты нольге теңестіреміз. Сонда I-ші облыс үшін (х<а) жалпы шешу былай жазылады:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||
ΨI = |
|
A |
|
i |
∫ |
|
p |
|
|
dξ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
h |
(7.51) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
a |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ал үшінші обылыс (x > b) үшін |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i b |
|
|
|
dξ |
|
|||
ΨIII | |
= |
B |
|
e |
|
x∫ |
|
p |
|
(7.52) |
||||||||||||
|
h |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
p |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бірақ ВКБ-тєсілімен алынған үш шешуде (7.48), (7.51), (7.52)- бөлшектің бұрылыс нүктелерінен алыс болғанда ғана дұрыс болады. Себебі х = а жєне х = b нүктелерінде
Е = U болады. Ал импульс р бұрылыс нүктелерінде нольге тең жəне 1 |
|
шексіздікке |
|
||
|
p |
|
ұмтылады. Сондықтан келесі мєселе: х = а жєне х = b нүктелерінде осцилляциялық жөне экспоненциалдық шешулерді Шредингер теңдеуін қанағаттандыратын қылып біріктіру (тігу) қажет. Бұл мєселе толығынан єдебиетте қарастырылған жəне мынадай нєтиже алынған. Егер бөлшек потенциялық шұңқырдың сыртында, I-ші облыста болса, онда толқындық функция (7.51)-ші өрнекпен сипатталады, ал бөлшек потенциялық шұңқырдың ішінде, II-ші облыста болса, толқындық функция:
|
|
2 A |
|
|
1 x |
π |
|
||
ΨII |
= |
|
|
|
sin |
|
∫ pdξ + |
|
(7.53) |
|
|
|
|
||||||
|
p |
||||||||
|
|
|
|
h a |
4 |
|
|||
Ал, егерде бөлшек х осінен оңға қозғалып, III-ші облыста (х > b) болса, онда толқындық функция (7.52)-ші өрнекпен беріледі де, IIші облыста
|
|
2B |
|
|
1 x |
π |
|
||
ΨII |
= |
|
|
|
sin |
|
∫ pdξ + |
|
(7.54) |
|
|
|
|
||||||
|
p |
||||||||
|
|
|
|
h a |
4 |
|
|||
толкындық функциямен сипатталады.
Алынған қатынастарды түсіну үшін гармоникалық осциллятор үшін жазылған Шредингер теңдеуінің бесінші энергиялық деңгей үшін табылған дєл шешуі мен ВКБ-тəсілі арқылы жуықтап алынған шешулердің нєтижелерін салыстырайық (7.3, 7.4-суреттер).
а) |
6) |
7.3— сурет. Шредингер теңцеуінің дəл шешіпуі мен квазикласси-калық ВКБ— тəсілімен жуықгап алынған шешуді салыстыру.
а) Сызықтық гармоникалық осциллятордың п = 5 энергиялық деңгей үшін Шредингер функциясы
б) Осы жағдай үшін ВКБ жуықтауы.
Суреттерден классикалық бақылауға мүмкін облыста ВКБ-жуықтаудың кванттық шешуді аппроксимациялайтындығын көреміз. Ал, осы облыстың шекарасында квазиклассикалық жуықтау классикалық шешуге ауысады. ВКБтəсілімен алынған толқындық, функция бөлшек I-ші облыстан II-ші облысқа жəне II-
ші облыстан ІІІ-ші облысқа ауысқанда үзіліссіз болуы үшін (7.51) жəне (7.54)-ші функциялар бірдей болуы қажет:
|
1 x |
π |
|
1 b |
π |
(7.55) |
||
Asin |
|
∫ pdξ + |
|
= B sin |
|
∫ pdξ + |
|
|
|
|
|||||||
h a |
4 |
h x |
4 |
|
||||
а) |
б) |
7.4-сурет. а) Шредингер шешуін классикалық үлестіру сызығымен салыстыру. б) Осы жағдай үшін квазиклассикалық жуықтау
Бұл теңдік орындалуы үшін фазалардың қосындысы π −ге пропорционал болуы керек:
|
1 x |
π |
|
|
|
|
∫ pdξ + |
|
+ |
|
||||
h a |
4 |
|
||
мұнда A = (−1)n B шы қатынастан
b
∫ p(x)dx
a
|
1 b |
π |
= π(n +1) |
||||
|
|
∫ pdξ + |
|
|
|
||
|
|
||||||
h x |
|
4 |
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= whπ n + |
|
|
|
|
|||
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
мұндағы
b |
pdx = |
1 |
∫ pdx |
|
∫ |
||||
|
||||
a |
2 |
|
||
екендігін ескерсек (7.57)-ші теңдік мынадай түрге келеді
|
1 |
|
∫ p(x)dx = 2πwH n + |
|
|
|
||
|
2 |
|
(7.56)
(7.57)
(7.58)
Бұл қатынас ВКБ-жуықтауында микробөлшектің стационар күйлерін анықтайды. Ол жалпы физика курсынан белгілі Бор – Зоммерфельд кванттау ережесіне сєйкес келеді. Айырмашылығы – кванттық сан n емес, n +1/ 2 болуында. (7.58)- ші кванттық
теорияда гармоникалық осциллятордың нольдік тербелісі энергиясының E = 1 wh
2
болатындығын көрсетеді, ал Бор – Зоммерфильд теориясында п=0 болғанда гармоникалық осциллятордың энергиясы нольге тең болатын. ВКБ – жуықтау тєсілін пайдаланып кванттық механиканың көптеген мəселелерін шешуге болады. Солардың біріне микробөлшектердің потенциялық тосқауылдан тікелей өтуі — туннельдік эффект жатады. ВКБ – тєсіліне сүйене отырып дифференциалық теңдеулерді зерттеудің жаңа єдістері де тағайындалған.
§ 4. Бөлшектің потенциялық тосқауыл арқылы тікелей өтуі. Туннельдік эффект
Классикалық механика бойынша бөлшек кеңістіктің тек толық энергия потенциалық энергиядан артық, болатын нүктелерінде ғана бола алады. Себебі - бөлшектің кинетикалық энергиясы əр уақытта да нольден үлкен шама:
P |
= E − U (x) > 0 |
(7.59) |
|
2m0
Егер U(х)<Е болса, онда (7.59)- шы теңдеуден импульс жорымал мəндерге ие болатындығын көреміз. Бұл классикалық механика бойынша мүмкін емес жағдай. Сондықтан кеңістіктің U>Е жəне Е >U болатын облыстары потенциялық тосқауылмен шектелгенде бөлшектің бір облыстан екінші облысқа тікелей өтуі классикалық механика бойынша мүмкін емес жағдай. Ал кванттық механикада импульстің жорымал мєндері (ВКБ-тəсілі) координатаға экспоненциалды түрде тəуелді толқындық функциямен анықталады. Сондықтан, потенциялық тосқауыл ішіндегі бөлшектің қозғалысын сипаттайтын толқындық функция нольден өзгеше болады, яғни бөлшектің потенциялық тосқауылдан тікелей өтуінің ықтималдылығы да нольге тең болмайды. Ал микробөлшектер үшін бұл кұбылыс тєжірибеде бақылауға болатындай дєрежеде болады. Бөлшектердің потенциялық тосқауыл арқылы тікелей өту құбылысы туннельдік эффект деп аталады. Туннельдік эффект тек кванттық механикаға тєн құбылыс жєне оның классикалық физикада ешқандай баламасы жоқ.
U(x)
U 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
егер |
х < 0 |
||
түскен толқындар |
|
|
E |
U (x) = |
U |
0 |
егер |
0 ≤ х ≤ 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х > 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
егер |
||
шашыраған |
|
|
|
өткен |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
толқындар |
1 |
0 |
2 3 |
толқындар |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7.5-сурет. Бөлшектердің потенциялық тосқауылдан өтуі.
Бөлшек оң бағытта х осінің бойымен қозғалып I-ші облыста ( ∞ < x < 0 ) таралу жолында x=0 нүктесінде Е < U(х) потенциялық тосқауылға ( 0 ≤ x ≤ l ) жолығып, одан өткеннен кейін кері Е > U(х) болатын III-ші облысқа (х > l) µ тсін (7.5-сурет). Потенциялық тосқауылдың бастапқы жєне соңғы нүктелері
U(х) = Е
шартынан анықталады. Осы бөлшектің қозғалысына сєйкес келетін де Бройль толқындарының кейбірі потенциялық тосқауылдан кері шашырайды, ал бір бөлігі тосқауылдан тікелей өтіп, III-ші облысқа шығады да əрі қарай таралады. Бөлшектердің потенциялық тосқауылдан тікелей өтуінің ықтималдылығын анықтау үшін осы үш облыста таралатын толқындар үшін Шредингердің стационар теңдеулерін жазалық:
|
|
|
|
|
d |
2 Ψ (x) |
+ k |
2 Ψ (x) = 0 |
(7.60) |
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
dx 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
d 2 Ψ (x) |
+ k 2 n2 Ψ (x) = 0 |
(7.61) |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
dx 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
d |
2 Ψ (x) |
+ k |
2 Ψ (x) = 0 |
(7.62) |
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
dx 2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
мұндағы |
k 2 = |
2m0 |
E , |
|
n 2 = |
E − U m |
|
|
||||
h2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|||
Uт- потенциялық тосқауылдың биіктігі. Егер Е > Uт болса параметр п нақты мєндерге ие болады, ал Е < Uт жағдайда n -нің мəні жорымал: . (7.60)- (7.62)-ші тендеулердің шешуін төмендегідей түрде іздейміз:
Ψ (x) = A eikx + B eikx |
(7.63) |
||||
1 |
1 |
1 |
e−iknx |
|
|
Ψ (x) = A eiknx + B |
(7.64) |
||||
2 |
2 |
|
2 |
|
|
Ψ (x) = A eikx + B |
e −ikx |
(7.65) |
|||
3 |
3 |
3 |
|
|
|
мұнда A1eikx - I-ші облысқа түскен толқындарды, B1eikx -I-ші облыстан шашыраған толқындарды, A3eikx - ІІІ-і облысқа өткен толқындарды сипаттайды.
III-ші облыста шашырайтын толқындар жоқ болғандықтан коэффициент В3=0 деп қабылдаймыз. Толқындық функциялардың үзіліссіздігінен шекаралық шарттарды мынадай түрде жазуға болады:
Ψ1 (x) |
|
|
|
x = 0 =Ψ2 (x) |
|
x = 0 |
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
Ψ2 (x) |
|
x = l |
=Ψ3 (x) |
|
x = l |
(7.66) |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
жəне толқындық функциялардың бірінші туындыларының үзіліссіздігінен |
|
|||||||||||||||||
|
dΨ1 |
|
|
|
|
x = 0 |
= |
dΨ2 |
|
|
x = 0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
dΨ2 |
|
x = l = |
dΨ3 |
|
|
|
|
x = l |
(7.67) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Егер (7.66)-шы жєне (7.67)-ші қатынастарға толқындық функциялардың мєндерін қойсақ, онда
|
|
|
|
|
|
A1 + B1 = A2 + B2 |
|
(7.68а) |
||||
|
|
|
|
|
|
A2 eiknl + B2 e−iknl = A3eikl |
(7.68б) |
|||||
|
|
|
|
|
|
A1 − B1 = n( A2 − B2 ) |
|
(7.68в) |
||||
|
|
|
|
|
|
n( A2 eiknl − B2 e −iknl ) = A3eikl |
(7.68г) |
|||||
Сонымен біз |
A1 , A2 , B1 , B2 , A3 − бес белгісіз коэффициенттері бар (7.68 а,7.68 г) төрт |
|||||||||||
теңдеу алдық. |
A1 коэффициенті арқылы қалған |
A2 , B1 , B2 , A3 |
коэффициенттерін |
|||||||||
сипаттайық. |
|
|
|
|
|
2(n − 1)eiknl |
|
|
||||
|
|
= |
|
|
|
|
(7.69) |
|||||
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|||
|
(1 + n)2 e−iknl |
|
|
|||||||||
|
|
|
− (1 − n)2 eiknl |
|
|
|||||||
|
|
= |
|
|
|
2(n + 1)e−iknl |
|
(7.70) |
||||
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
||
|
(1 |
+ n)2 e−iknl |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
− (1 − n)2 eiknl |
|
|
|||||||
|
|
= |
|
|
|
(1 − n)2 (e |
−iknl − eiknl ) |
|
(7.71) |
|||
|
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
||
|
(1 |
+ n)2 e−iknl |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
− (1 − n)2 eiknl |
|
|
|||||||
|
|
= |
|
|
|
4ne−ikl |
|
(7.72) |
||||
|
A3 |
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
||
|
(1 |
+ n)2 e−iknl |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
− (1 − n)2 eiknl |
|
|
|||||||
Микробөлшектердің потенциялық тосқауылда шашырау коэффициенті ұғымын енгізейік. Шашырау коэффициенті деп тосқауыл бетінен шашыраған толқындар ағынының потенциалдық тосқауыл бетіне түскен толқындар ағынына қатынасына тең шаманы түсінеміз:
R = |
jшашыр |
|
(7.73) |
||
jт‰ |
скен |
||||
|
|
||||
Сонымен қатар потенциялык тосқауылдың "мөлдірлік" коэффициенті үғымын да енгізелік:
D = |
jµ |
ткен |
|
(7.74) |
|
jт‰ |
скен |
||||
|
|
||||
Бұл коэффициент тосқауыл бетіне түскен толқындардың қандай бөлігі одан тікелей өтіп шығатындығын көрсетеді. Толқындар ағынының шамасын есептеу үшін бұрыннан белгілі (5.19) өрнегін пайдаланамыз:
|
ihk |
|
¶Y |
- Y |
¶Y |
(7.75) |
j = |
|
Y |
|
|
||
|
|
|||||
|
2m0 |
|
¶x |
|
|
|
|
|
|
¶x |
|
Бүл өрнекке (7.63)-(7.65)-ші қатынастардың керекті бөліктерін қойсақ, түскен толқындар ағыны үшін:
j |
т‰ |
скен |
= |
ihk |
|
A |
|
2 |
(7.76) |
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
m0 |
|
|
|
|
|
осы сияқгы түскен толқындардың шашыраған жєне өткен бөліктері:
j |
шашыр |
= - |
|
ihk |
|
|
B |
|
2 |
(7.77) |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m0 |
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
ihk |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
j |
ткен |
= |
|
|
A |
|
2 |
|
|
(7.78) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
µ |
|
|
|
m0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Енді де Бройль толқындарының потенциялық тосқауылдан шашырау жєне |
||||||||||||||||||||||||
мөлдірлік коэффициенттерін анықтасақ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
B |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.79) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
R = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
A |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
A |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.80) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
D = |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
A |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Классикалық теория бойынша, егер бөлшектің энергиясы Е потенциялық энергиядан артық болса, Е > Uт онда
R = 0 |
жєне |
D = 1 |
ал, кванттық теория бойынша |
||
R ¹ 0 |
жєне |
D ¹ 1 |
Керісінше, |
бөлшектің толық энергиясы Е потенциялық тосқауыл биіктігінен кем |
|
Е < Uт болса, онда классикалық теория бойьшша |
||
R = 1 |
жєне |
D = 0 |
ал, кванттық теория бойынша |
||
R ¹ 1 |
жєне |
D ¹ 0 |
Е > Uт болғанда кванттық механика бойынша мөлдірлік коэффициенттерінің нольге болмайтындығын дєлелдейік. Қарастырып отырған жағдайымызда параметрn = i n , ал
мөлдірлік коэффициенті D = |
|
|
|
|
A |
|
|
|
2 |
мұндағы |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
2 |
= A |
|
|
|
× A |
= |
16 |
|
n |
|
2 e−2k |
|
n |
|
1 |
|
|
A |
|
2 |
(7.81) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(1 + |
|
|
|
2 )2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
осы қатынасты (7.80)-ші өрнектегі D - ның орнына қойып, түрлендірулер жасасақ
16 |
|
|
n |
|
2 |
|
e−2k |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
D = |
(1 + |
|
|
|
n |
|
|
|
2 )2 |
|
n |
|
1 |
(7.82) |
||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
x∫2 |
2m0 (U m −E ) |
dx |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
D = D e H x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.82)-ші өрнекке мынадай белгілеулер енгізсек
16 n 2
D0 = (1 + n 2 )2
жєне
n |
|
= |
1 |
2m0 (U m − E ) |
|
||||
|
H |
|||
|
|
|
|
екендігін ескерсек, потенциялық тосқауылдың мөлдірлік коэффициенті
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2m0 |
(U m |
−E )l |
|||
|
|
|
||||
D = D e h |
|
(7.83) |
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
мұнда l - потенциялық тосқауылдың ені. Егер потенциялық тосқауылдың формасы кез келген болса (7.83)-ші өрнек мынадай түрге келеді:
|
2 |
ч∫2 |
|
(U m |
−E )dx |
|
2m0 |
||||
|
|
||||
D = D0 e h ч1 |
|
|
(7.84) |
||
Планк тұрақтысының мєні h → 0 болғанда мөлдірлік коэффициенті нольге тең болады, яғни бөлшектің потенциялық тосқауылдан тікелей өтуі мүмкін емес. Бүл классикалық шектік жағдай.
Микробөлшектердің потенциялық тосқауыл арқылы тікелей өту құбылысы бөлшектердің толқындық қасиеті бар екендігінің тікелей салдары болып табылады.
§ 5. Электрондардың металл бетінен салқын эмиссиясы
Туннельдік эффект теориясы металдар теориясында, ядролық физикада жөне физиканың басқа тарауларындағы классикалық физика түсіндіре алмаған құбылыстарды түсіндіре алады. Солардың ішіндегі ең маңыздыларының біріэлектрондардың металл бетінен салқын эмиссиясы яғни, сыртқы электр өрісінің єсерінен электрондардың металл бетінен ұшып шығуы. Фотоэффект құбылысынан металлдағы электрондардың сырттан түскен фотонның hw энергиясының бір бөлігін жұтып алатындығы белгілі. Осы құбылыстың нєтижесінде электрон металл бетінен
1 |
m0 v 2 = hw − A |
(7.85) |
|
2 |
|||
|
|
кинетикалық энергиямен ұшып шығады (Эйнштейн теңдеуі). Бұл теңдеуден электрондардың металл бетінен ұшып шығу жұмысының электрондардың энергиясының потенциялық тосқауыл энергиясынан артық қылуға жеткілікті минимум энергияның мөлшері екендігін көреміз. Егер металлдағы электрондардың (электрондық газдың) температурасы абсолюттік нольден жоғары болса, электрондардың бір бөлігі Ферми деңгейінен жоғары энергиялық деңгейлерге орналасады. Электрондық газдың кинетикалық энергиясын металды қыздыру нєтижесінде арттырса онда кейбір электрондардың энергиясы потенциялық тосқауыл энергиясынан артық болып, олар металл бетіне ұшып шығады, металда электр тогы
пайда болады. Мұндай құбылыс термоэлектрондық эмиссия деп аталып, оның электрондық лампаларда пайдаланылатындығы белгілі. Металда электр тогы сонымен қатар төменгі температураларда сыртқы электр өрісінің єсерінен де пайда болуы мүмкін.
Металл бетіне х осіне қарсы бағытталған, кернеулігі E электр өрісін түсірелік. Өріс түсірілгеннен кейінгі потенциялық энергия
U (x)= U 0 - e0 Ex |
(7.86) |
Потенциялық энергияның графигінен (7.6-сурет) – сыртқы электр өрісінің єсерінен екі жағынан шектелген потенциялық тосқауылдың пайда болатындығын көреміз. Туннельдік эффектінің салдарынан электрондардың осы потенциялық тосқауылдан тікелей өтіп, металл бетіне шығуының мөлдірлік коэффициенті
|
U (x) |
вакуум |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
∫ |
2m0 |
(U (x )−E )dx |
|
|
|
U |
|
өріс жоқ кездегі потенциал |
D = D e |
h |
(7.87) |
|||||
0 |
|
t |
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
Мұндағы интегралдың шегі |
x1 -дің |
|||||
мєні мынадай шарттардан анықталады:
өріс түсірілген жағдайда
0 x0 x1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
7.6 - сурет.Электрондардың |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
салқын эмиссиясы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U 0 - e0 Ex1 = E |
бұдан |
|
|
|
U 0 E |
(7.88) |
||||
|
|
|
x1 |
|
|
|||||
|
e0ε |
|||||||||
Сонда интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x1 |
U (x)- Edx = |
2 |
|
|
|
|||
|
|
3 / 2 |
(7.89) |
|||||||
|
|
|||||||||
|
2m0 ∫ |
|
|
|
2m0 e0ε × x1 |
|||||
|
3 |
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
(7.88) жөне (7.89) қатынастарын пайдаланғанда, потенциялық тосқауылдың мөлдірлік коэффициенті былай жазылады:
3 |
|
|
|
(U 0 - E ) |
|
ε0 |
(7.90) |
|||
D = D |
|
|
2m |
|
= D |
e ε |
||||
4 |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
e0 hε |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
мұндағыε0 - электрондардың металл бетіне шығу жұмысына тєуелді шама. Салқын эмиссия тогының тығыздығы мөлдірлік коэффициентіне пропорционал шама:
ε0 |
(7.91) |
j = j0 D = j 0'e ε |
Бұл өрнектен салқын эмиссия құбылысын бақылау үшін қажетті сыртқы электр өрісінің кернеулігінің ε −106 в / cм болуы керек екендігін есептеп шығаруға болады. Бұл шама тєжірибелік деректерге сєйкес келеді.
8 ТАРАУ. СЫЗЫҚТЪІҚ ГАРМОНИКАЛЬІҚ ОСЦИЛЛЯТОР
§ 1. Классикалық жєне Бор теорияларындағы гармоникалық осциллятор
Гармоникалық осциллятор жайындағы есеп теориялық физиканың негізгі тарауларына жатады. Гармоникалық осциллятор теориясын пайдаланып карапайым тербелістер теориясын құруға болады жєне оны механикада, классикалық электродинамикада, радиофизикада, физиканың басқа да тарауларында пайдаланады. Көптеген жағдайда жүйенің күрделі қозғалысын қарапайым тербелістерге жіктеуге болады.
Алдымен классикалық теориядағы гармоникалық осцилляторды қарастырайық.
Массасы m0 , заряды e0 материалдық нүктеге |
|
|
|
F = −kx |
∂ 2u |
(8.1) |
|
серпімді күш єсер етсін, k − серпімділік коэффициенті, k = |
|
x = 0 |
|
|
|||
|
∂x 2 |
|
|
|
|
|
|
Сонда гармоникалық осциллятордың қозғалыс теңдеуін мынадай түрде жаза аламыз:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m0 x − kx |
|
|
|
|
|
(8.2) |
|||||||||||
ал, оның шешуі |
|
|
x = a cos wt |
|
|
|
|
(8.3) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
мұнда w = |
k |
− дµ ңгелек жиілік. Классикалық |
электродинамикадан |
зарядталған |
|||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
m0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
бөлшектің сєуле шығару қарқындылығы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
W k л = |
2e02 |
|
|
|
|
= |
e02 a 2 |
|
8.4) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 2 |
w4 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3c3 |
|
3c3 |
|||||||||||||||||||||
Потенциялық энергия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
U (x) = −∫ F (x)dx = kx |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
a |
2 |
cos2 wt |
(8.5) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
= m0 w |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
Кинетикалық энергия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
& |
2 |
|
|
|
|
m0 a |
2 |
w |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
T = |
m0 x |
|
|
= |
|
|
sin 2 wt |
|
(8.6) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Сонда, толық энергия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
E = T = U (x) |
= |
|
m |
a 2 w2 |
|
|
|
|
|
|
(8.7) |
||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Сонымен, классикалық теорияда гармоникалық осциллятор энергияны үзіліссіз шығарады, сəуле шығару жиілігі механикалық тербеліс жиілігіне тең немесе пропорционал болады. Жартылай кванттық Бор теориясы да гармоникалық осциллятор теориясына кейбір жаңа моментгер қосады. Бұл теория бойынша адиабаттық инварианта:
∫ Px dx = nh
мұнда п = 1, 2, 3,... кванттық сан.
& |
dx |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
Px dx = m0 x |
|
= m0 a |
w |
|
sin |
|
wtdt |
dt |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Сонда
2 2
E = m0 a w
2
екендігін ескерсек
2π
∫ Px dx = nh = En w
бұдан Бор теориясындағы гармоникалық осциллятордың толық энергиясы
En = nhw
мұнда n = 1,2,3,... Егер n = 0 , энергия EБор = 0.
(8.8)
(8.9)
(8.10)
(8.11)
Сонымен, жартылай кванттық Бор теориясы бойынша гармоникалық осциллятордың энергиясы дискретті мəндерге ие болады, электромагниттік сєулелер осциллятор бірінші, жоғары энергиялық деңгейден екінші, төмен энергиялық деңгейге ауысқанда бөлініп шығады.
§ 2. Гармоникалық осциллятор энергиясының меншікті мəндері мен меншікті функциялары
Енді кванттық теориядағы гармоникалық осцилляторды қарастырайық. Ол үшін потенциялық энергияның X-ке тєуелділігін қарастырайық. Графиктен, потенциялық тосқауылдың сыртында толқындық функцияның өсетін де, кемитін да шешулері болатындығын көреміз.
U (x)
Ψµ сет |
Ψµ сет |
Ψкем |
Ψкем |
0
E < U (x) 
Біздің мақсатымыз, толқындық функцияның
өсетін мєндерінен құтылып, бір өлшемді қозғалыс үшін Шредингер теңдеуін
шешіп, энергияның меншікті мəндері мен оларға сєйкес келетін меншікті функцияларды анықтау. Гармоникалық осциллятор үшін Шредингер теңдеуі:
8.1-сурет. Энергияның кез келген мєніне сєйкестендірілген толқындық функция.