Кванттык механикагакириспе
.pdfимпульстің басқа компоненттері үшін |
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dPy |
= − |
U ( y) |
= |
|
|
|
|
(5.63) |
||||||
|
Fy |
||||||||||||||
|
dt |
||||||||||||||
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
∂ |
|
= |
|
|
|
|||||
|
dPz |
= − |
U (z) |
(5.64) |
|||||||||||
|
F |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dt |
|
|
|
∂z |
|
|
z |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(5.57- 5.69) жəне (5.62-5.64)-ші өрнектер кванттық механикада Эренфест теоремалары деп аталады. Бұл теоремалар бойынша классикалық қозғалыс теңдеулерінің кванттық баламаларын табу үшін классикалық теңдеулердегі физикалық шаманың орнына оларға сəйкес келетін операторлардың орта мəндерін алса жеткілікті.
6 ТАРАУ
КВАНТТЫҚ МЕХАНИКАДАҒЫ САҚТАЛУ ЗАҢДАРЫ
§1. Стационар күйлер жєне энергияның сақталу заңы
Тұйықталған жүйенің Гамильтон функциясы уақытқа айқын түрде тєуелді болмайды, себебі мұндай физикалық жүйелер үшін барлық уақыт кезеңдері өзара эквивалентті. Кванттық Пуассон жақшаларынан кез келген оператор өзімен-өзі коммутативті болғандықтан, сыртқы өріске орналаспаған жүйе үшін Гамильтон функциясы сақталатын шама болады. Классикалық механикадан сақталатын Гамильтон функциясы тұйықталған жүйе үшін толық энергияға тең болатындығы белгілі.
Кванттық механикадағы энергияның сақталу заңы былай оқылады: "егер берілген кванттық күйде жүйенің энергиясы нақты мəнге ие болатын болса, онда энергияның осы күйдегі мəні уақыт бойынша өзгермейді".
L = H = T + U = const
Энергия нақты мєнге ие болатын кванттық күйлер жүйенің стационар күйлері деп аталады. Стационар күйлерді сипаттайтын функциялар Гамильтон операторының меншікті функциялары болып табылады, Ψ − толқындық функциямен сипатталады жөне
ˆ Ψ = Ψ
H n En n
(6.1)
теңдеуін қанағаттандырады.
Мұнда Еп — энергиянын меншікті мєндері.
ih |
∂Ψn |
= E Ψ |
|
(6.2) |
∂t |
|
|||
|
n |
n |
|
|
|
|
|
бұл теңдеуді уақыт бойынша тікелей интегралдасақ, мынадай өрнек аламыз:
|
|
|
|
− |
i |
Ent |
(6.3) |
Y (q |
|
, t) = Y |
|
|
|||
n |
n |
(q)e h |
|||||
n |
|
|
|
|
|
||
(6.3)-қатынасы стационар толқындық функция мен t -уақыттың арасындағы тəуелділікті тағайындайды. Yn (q) -координатаға байланысты функция. Энергияның
мүмкін мєндерінің ең төменгісі – жүйенің негізгі күйі деп аталады. Кейде стационар күйлердің ішінде энергияның бір меншікті мөніне бірнеше меншікті функциялар сəйкес келетін жағдайлар да кездеседі:
|
Yn -------------------------------- |
m=+1 |
|
1 |
|
En ------------------------------ |
Yn2 -------------------------------- |
m=0 |
|
Yn -------------------------------- |
m=-1 |
|
3 |
|
Мұндай жағдай кванттық механикада энергиялық деңгейлердің "азуы" деп аталады.
§ 2. Импульстің сақталу заңы
Тұйықталған бөлшектер жүйесін қарастырайық. Мұндай жүйелер үшін кеңістіктің барлық нүктелері өзара эквивалентті болғандықтан жүйенің гамильтонианы жүйені кеңістікте кез келген параллель бағытқа орын ауыстырғаннан өзгермеуі кажет. Жүйенің кеңістікте аз шамаға параллель орын ауыстыруын
қарастырайық. Мұндай орын ауыстырулар нөтижесінде əрбір бөлшектің R - радиус-
rn
векторы δr өсімше алуы керек:
|
|
|
|
|
R |
R |
|
R |
R |
……. |
|
|
|
Бұл |
жағдайда |
жүйені |
|
r1 |
+ δr , |
r2 + δr , r3 |
+ δr |
Y(r1 |
, r2 ,...) -мынадай |
||||
сипаттайтын |
толқындық |
|
функция |
||||||||||
|
+ δr , r2 |
+ δr ,...) - функцияға ауысуы қажет, яғни |
|
|
|
R |
R |
||||||
Y(r1 |
|
|
|
|
|
||||||||
R |
R R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R R |
R |
R R |
|
R |
R |
|
|
R |
R R |
|
|
|
Y(r1 |
+ δr , r2 |
+ δr ,...) = Y(r1 , r2 |
,...) + δr ∑ Ña Y(r1 , |
r2 ,...) = |
1 + δr |
∑ Ña Y(r1 , r2 |
,...) |
(6.4) |
||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
мұндағы |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
(6.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 + δr ∑ Ña |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
қатынасын тұйықталған жүйенің кеңістікте параллель орын ауыстыруын іске асатын оператор ретінде қарастыруға болады. Кеңістіктің біртектілік қасиетінен (6,5)- операторының Гамильтон операторымен коммутативті екендігі шығады:
R |
ˆ ˆ |
R |
(6.6) |
(1 + δr ∑ Ña )H - H (1 |
+ δr ∑ Ña )= 0 |
||
a |
|
a |
|
Жақшаларды ашсақ, мынадай қатынасқа келеміз: |
|
||
ˆ |
ˆ |
|
(6.7) |
(∑ Ña )H - H (∑ Ña )= 0 |
|||
a |
a |
|
|
Кванттық Пуассон жақшалары бойынша кез келген оператордың Гамильтон операторымен коммутативтілігі осы оператор арқылы сипатталатын физикалық шаманың сақталатынын көрсетеді. Ал кеңістіктің біртектілігін сипаттайтын физикалық шама жүйенің импульсі, олай болса (6.7)-ші қатынас кванттық механикада
импульстің сақталу заңын сипаттайды. ∑ Ña операторы - тұйықталған жүйенің толық
a
импульсіне сєйкес келеді, ал қосындыға кіретін єрбір мүше Ña - жеке бөлшектердің импульсін сипаттайды.
Шындығында да, |
бұрынғы |
өткен материалдардан жеке бөлшектің импульсі |
||||
операторының |
ˆ |
= -ihÑx |
, |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
Px |
Py = -ihÑ y , Pz = -ihÑz , ал толық импульстің |
P = -ihÑ екендігі |
||||
белгілі. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Импульс моментінің сақталу заңы |
|
|
Кеңістіктің біртектілігімен қатар тағы бір қасиеті бар, ол кеңістіктің
изотроптылық қасиеті. Яғни тұйықталған жүйені кеңістікте кез келген бұрышқа |
|
бұрғаннан гамильтониан H өзгермеуі тиіс. Жүйенің кеңістікте шексіз аз δϕ -бұрышқа |
|
ˆ |
|
бұрылуын қарастырайық. Осы бұрудың |
нєтижесінде радиус-вектордың алатын |
µ сімшесі: |
= [δϕ × ra ] |
δra |
|
R |
R R |
ал əрбір жеке бөлшек үшін радиус вектордың шамасы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
+ δz2 ,... |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
r1 + δr1 , r2 |
|
|
|
||||||
|
Сонда |
кеңістікте |
тұйықталған жүйенің |
шексіз аз |
δϕ |
бұрышына бұрылуы |
||||||||||
нəтижесінде |
осы |
|
жүйені |
сипаттайтын |
|
Y(r1 |
, r2 ,...) - толқындық функциясы |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
|
|
Y(r1 |
+ δr1 |
, r2 |
+ δr2 ,...) функциясына ауысады: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
R |
R |
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R R |
R |
R |
R |
R R |
R S |
R |
R |
|
|
R |
R R |
R |
|||
|
|
|
||||||||||||||
Y(r1 |
+ δr1 |
, r2 |
+ δr2 |
,...., rn |
+ δrn ) = Y(r1 , r2 |
,...) + δϕ |
∑[ra |
Ña ]Y(r1 , |
r2 ,..., rn ) = (1 |
+ δϕ |
∑[ra |
Ña ])Y (6.8) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
Мұнда жүйенің шексіз аз бұрышқа бұрылуын іске асыратын оператор ретінде |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
R |
|
|
|
|
|
|
(6.9) |
|
|
|
|
|
|
|
(1 + δϕ |
∑[ra |
Ña ]) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
қатынас қарастыруға болады.
Бұл оператор, кеңістіктің изотропиялық қасиеті шартынан, гамильтон операторымен коммутативті болады. Сонда:
R |
R |
ˆ ˆ |
R |
R |
(6.10) |
(∑[ra |
Ña |
])H - H (∑[ra |
Ña ])= 0 |
||
a |
|
|
a |
|
|
Кеңістіктің изотропиялық қасиетіне сєйкес келетін физикалық шама жүйенің импульс моменті. Сонда (6.10)- қатынасы кванттық механикада импульс моментінің сақталу заңын сипаттайды.
R |
R |
операторы тұйықталған жүйенің толық импульс моментіне сəйкес келеді. |
(∑[ra |
Ña ])- |
|
a |
|
|
Мұнда қосындыға кіретін єрбір мүше жеке бөлшектердің импульс моментін сипаттайды.
§4. Күйлердің жұптылығы жєне жұптылықтың сақталу заңы
Кеңістіктің біртектілігі жəне изотропиялық қасиетінен басқа Гамильтон операторын өзгеріссіз қалдыратын тағы бір қасиеті бар, ол кеңістіктік инверсия, яғни тұйықталған жүйенің бөлшектерінің координаталарьның таңбаларын қарама-қарсыға аударғанда, Гамильтон функциясының операторы өзгермейді:
Ψ(r ) = Ψ(−r )
Арнайы инверсия операторы ұғымын енгізейік - ˆ . Бұл операторды пайдаланып
P
кеңістіктің инверсиялық қасиетін мынадай түрде жазуға болады:
|
|
ˆ |
R |
|
|
R |
R |
(6.11) |
|
PΨ(r ) = Ψ(−r ) |
= −Ψ(r ) |
||||||
жалпы жағдайда, кез келген сызықтық, өзара түйіндес оператор үшін: |
|
|||||||
|
|
ˆ |
R |
|
|
R |
|
(6.12) |
|
PΨ(r ) = PΨ(r ) |
|
||||||
Мұндағы Р- P операторының меншікті мөні. Бұл меншікті мєнді анықтау үшін (6.12)- |
||||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ші теңдеуге тағы бір рет P — операторымен єсер етелік, сонда (6.11)- ші қатынасты |
||||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ескерсек: |
|
|
R |
|
|
R |
R |
|
ˆ |
2 |
|
|
2 |
(6.13) |
|||
P |
|
Ψ(r ) = P |
|
Ψ(r ) |
= Ψ(r ) |
|||
Бұдан |
P 2 |
=1 |
немесе P = ±1 |
(6.14) |
||||
Сонымен ˆ - операторының єсері нəтижесінде тұйықталған жүйені сипаттайтын Ψ -
P (r )
толқындық функциясы таңбасын не өзгертеді, не өзгертпейді. Егер толқьндық функция таңбасын өзгертпесе онда ол жұп функция деп, ал таңбасын қарама қарсыға өзгертсе тақ функция деп аталады.
Гамильтон операторының кеңістіктік инверсия операторымен коммутативтілігі жұптылықтың сақталу заңы деп аталады. Ол былай оқылады: "Егер тұйықталған бөлшектер жүйесінің белгілі бір жұптылығы болса, онда осы жұптылық уақыт бойынша өзгермейді".
7 ТАРАУ. БІР ӨЛШЕМДІ ҚОЗҒАЛЫСТЫҢ ЖАЛПЫ ҚАСИЕТТЕРІ
1. Потенциялық шұнқырдағы бөлшек қозғалысы жайындағы есеп
Бөлшектің энергиясының дискретті мəндерге ие болатындығын көрсететін қарапайым мысалы ретінде шексіз терең потенциал шұңқырдағы микробөлшектің қозғалысын қарастыралық.
Шұңқырдағы бөлшектің энергиясы Е болсын. Бұл бөлшектің кинетикалық энергиясы потенциялық энергиядан кем болатындықтанT < U (x) , потенциялық
энергияның нольге тең болатын мєнін потенциялық шұңқырдың түбінен алалық. 7.1- ші суретте көрсетілген потенциялық өріс үшін кеңістікті мынадай үш облысқа бөлуге болады:
U (x)
|
|
|
|
|
|
U 0 |
егер |
х < 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
U 01 |
Ψ |
|
|
|
U (x)= 0 |
егер |
0 ≤ х ≤ 1 |
(7.1) |
|
|
|
|
|
|
U |
егер |
х > 1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
U 0 |
|
|
|
|
I |
II |
|
III |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
i |
|
|
|
||||
7.1- сурет. Потенциялық шұңқыр
Біздің мақсатымыз: бір өлшемді қозғалыс үшін 7.1- ші суретте берілген потенциялық облыстарға сөйкес келетін Шредингердің стационар теңдеулерін шешу. Бірінші жəне үшінді облыстар үшін:
Ñ2 YI ,III |
(x) + |
2m0 |
[E -U (x)]YI ,III (x) = 0 |
(7.2) |
|||||
h2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2-ші облыста U (x) = 0 болғандықтан (7.2)-ші теңдеу мынадай түрде жазылады: |
|
||||||||
Ñ2 Y (x) + |
2m0 |
|
EY (x) = 0 |
(7.3) |
|||||
|
|||||||||
|
2 |
|
|
h 2 |
2 |
|
|
||
Белгілеу енгізейік, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
к2 = |
2m0 |
E |
(7.4) |
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
h 2 |
|
||
Сонда екінші облыс үшін жазылған Шредингер теңдеуі мынадай түрге келеді:
d 2 Y(x) |
+ K 2 Y (x) = 0 |
(7.5) |
|
||
dx 2 |
2 |
|
|
|
Классикалық механика заңдылықтарымен сипатталатын бөлшек үшін (7.5)-ші теңдеудің шешулерін гармоникалық тербелістер түрінде жазуға болады:
Y2 (x) @ cos kx, sin kx
1-ші жөне 3-ші облыстар үшін U = U 0 > E , сондықтан төмендегідей белгілеу енгізсек,
η2 = |
2m |
0 |
(U |
0 - E) |
(7.6) |
2 |
|
||||
|
H |
|
|
|
|
(7.2)- ші теңдеу мынадай түрге келеді:
d 2 Y |
|
(7.7) |
|
1,3 |
+η2 Y1,3 = 0 |
||
dx 2 |
|||
|
|
Ал, бұл теңдеудің шешуі экспоненттер түрінде беріледі:
Y (x) @ e±ηx |
(7.8) |
1,3 |
|
Шредингер теңдеуі стандарт шарттарды канағаттандыруы үшін x -тің мєндері
шексіз өскенде теңдеудің шешуі шексіз кемуі қажет. Сондықтан 1- ші облыста, яғни X < 0 болғанда (7.8)-ші теңдеуде жоғарғы таңбаны, ал 3-ші облыста (Х>0) төменгі таңбаны алу қажет.
Y |
(x) = B |
e |
−ηx + A e+ηx |
(7.9) |
1,3 |
1,3 |
|
1,3 |
|
2- ші облыс үшін |
|
|
|
(7.10) |
Y2 (x) = B2 cos kx + A2 sin kx |
||||
Сонымен біз 7.1-ші суретте көрсетілген єрбір үш облыс үшін Шредингер теңдеулерінің шешулерін тағайындадық. Қарастырылып отырған есепті жеңілдету үшін потенциялық шұңқыр шексіз терең (U 0 ® ¥)деп алалық. Онда (7.6)-шы
қатынастан η мєндері де шексіздікке ұмтылады. Бұл жағдайда (7.9)-шы теңдеуден Y1 = Y3 = 0 болатындығын көреміз. Егер толқындық функция нольге тең болса, онда
бұл функциялар сипаттайтын кеңістіктің бөліктерінде бөлшектің жоқ болғаны. Сондықтан бұдан былай 1- ші жөне 3-ші облыстарды қарастырмауға болады. Енді 2-ші облысқа оралайық. Потенциялық шұңқырдың ішінде (7.10)-шы теңдеудің шешулері үшін шекаралық шарттар:
X = 0 болғанда |
Y2 (x) |
|
x = 0 = 0 |
(7.11) |
|
жєне
|
|
X = l болғанда |
Ψ2 (х) |
|
х = l = 0 |
|
|
(7.12) |
||
|
|
|
|
|
||||||
Бұлардан |
(7.11)- |
ші |
шарт |
орындалуы |
|
үшін |
В2=0, |
ал |
энергияның |
|
меншікті |
мєндері |
үшін |
к = |
пπ , |
мұндағы |
|
п = |
1, 2, |
3, |
т.б. п = 0 |
мəнінде толқындық функция нольге тең болғандықтан, алға карай бұл мєнді
қарастырмаймыз. Сонда k 2 = |
2m0 |
En |
= |
|
n2π 2 |
|
|
бұдан, |
H 2 |
|
l 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
En |
= |
π 2 H 2 |
n 2 |
(7.13) |
||
|
|
2m0 l 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Энергияның осы меншікті мєндеріне сєйкес келетін меншікті функциялар:
Ψ (х) = A sin |
nπ |
x |
(7.14) |
|
|
||||
n |
2 |
l |
|
|
|
|
|
|
|
А2 коэффициентін толқындық функцияны нормалау шартынан анықтауға болады:
l
∫ A2 sin kx 2 dx = 1
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бұдан: |
A2 |
= |
|
2 |
|
|
|
||||
l |
|||||
|
|
|
|
Сонымен потенциялық шұңқырдағы микробөлшектің қозғалысын сипаттайтын толқындық функция
Ψ |
(x) = |
|
2 |
|
sin πn x |
(7.15) |
|
||||||
|
n |
l |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
||
Энергияның меншікті мєндерімен, меншікті функцияларының кейбір мəндерін жазалық:
n = 1 |
E |
|
|
= |
π 2 H 2 |
|
|
, |
Ψ = |
|
2 |
|
|
sin π x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
2m0l 2 |
|
1 |
|
l |
l |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2π |
x |
||||||||
n = 2 |
E |
|
|
|
= 4E , |
|
|
|
Ψ = |
|
2 |
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
l |
|
l |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
3π |
x |
||||||||||
n = 3 |
E |
|
|
= 9E |
, |
|
Ψ = |
|
|
2 |
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
l |
|
l |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
,,, |
|
,,, |
|
|
|
|
,,, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Сонымен, егер бөлшектің қозғалысы потенциялық шұңқыр ішімен ғана шектелген болса, онда оның энергиясы тек дискретті мєндерге ие болады.
§ 2. Бөлшектің еркін қозғалысы
Кванттық механиканың өте қарапайым, бірақ көрнекті есептерінің бірібөлшектің бүкіл кеңістікте (− ∞ < x < +∞) еркін қозғалысы. Бөлшекке єсер ететін күш жоқ болғандықтан, потенциялық энергия тұрақты болады жөне оны нольге тең деп қабылдай аламыз, U = 0 . Классикалық механикада бұл жағдайда Гамильтон функциясы кинетикалық энергияға тең болады:
H = T = |
p 2 |
(7.16) |
|
2m0 |
|||
|
|
Қозғалыс бір өлшемді болғандықтан импульс операторының орнына оның берілген
ось бойынша құраушыларын алуға болады |
|
Px |
= P, |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
= -iH |
|
∂ |
|
|
|
|
|
(7.17) |
||
ал Гамильтон операторы |
|
|
Px |
¶x |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
1 |
|
ˆ 2 |
|
|
H 2 |
2 |
(7.18) |
||
|
|
|
|
|
|
|
H |
= |
|
2m0 |
|
Px |
= - |
2m0 |
Ñx |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Бұл жағдайда Шредингер теңдеуі: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
- |
H 2 |
|
|
d 2 |
Y(x) = EY(x) |
|
|
(7.19) |
||||||||
|
|
2m0 dx 2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
егер |
2m |
0 |
E = k 2 деп белгілесек, |
(7.19)-шы тендеудің дербес шешуі мынадай болады: |
||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
» e±ikx |
|
|
(7.20) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бөлшектің энергиясы оң мєнді болғанда Е > 0, (7.20)-шы шешу бүкіл кеңістікте үзіліссіз жєне шектелген болады. Яғни, микробөлшек бүкіл кеңістікте еркін қозғалғанда оның энергиясының меншікті мєндерінің спектрі үзіліссіз болады.
Егер Y1 жєне Y2 функцияларын (7.19)- шы Шредингер теңдеуіне қойсақ, онда
осы екі меншікті функцияларға энергияның бір меншікті Е мєні сєйкес келетіндігін көреміз. Ол бұл энергиялық деңгейдің "азған" екендігін көрсетеді жəне осы жағдайда азғындық реті екіге тең болады.
Азғандықтың физикалық мағынасын түсіну үшін энергияның меншікті функцияларының импульс операторының да меншікті функциялары бола ала ма, жоқ па соны қарастыралық. Кинетикалық энергия мен импульстің арасындағы байланыс
2m0 E = P
Енді (7.17)- ші қатынасты пайдалансақ,
|
¶Y |
|
|
d |
|
|
|
|
i |
Px x |
|
- iH |
= -iH |
|
|
|
|
|
= PY |
||||
1 |
|
|
e H |
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
¶x |
|
|
dx |
1 |
||||||
|
|
|
|
||||||||
¶Y |
|
d |
|
|
i |
Px x |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
- iH |
2 |
= -iH |
|
e H |
= -PY |
||||||
|
|
||||||||||
|
¶x |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Бұл қатынастар шындығында да энергия операторының меншікті функцияларының импульс операторының да меншікті функциялары болатындығын көрсетеді жəне бір меншікті функцияға импульстің +р меншікті мєні, екіншісіне -р меншікті мєні сєйкес келеді. Сонымен, энергияның меншікті функцияларының азғындығы еркін қозғалыстағы бөлшектің түзу сызықты қозғалысының бағытының анықталмағандығына байланысты болады. Мєндері үзіліссіз спектр болатын меншікті
функциялардың тағы бір қасиетін қарастырайық. |
|
iPx |
x функциясы х -айнымалы − ∞ пен |
e h |
|||
+ ∞ -ке дейін өзгергенде шектелген болғанмен |
|
де, оның модулінің квадратынан |
|
алынған интеграл (нормалау шарты бойьшша) жинақталмайды:
+∞ |
Y |
* |
+∞ i |
Px |
x −i |
Px |
x |
+∞ |
|
|
|||||||
∫ |
|
Ydx = ∫ e h e h dx = ∫ |
||||||
−∞ |
|
|
−∞ |
−∞ |
||||
dx ® ¥ |
(7.21) |
яғни, бұл функцияларда бүрыннан белгілі əдістермен нормалау мүмкін емес. Жалпы оператордың меншікті мəндері үзіліссіз болған жағдайдың бєрінде де меншікті функциялардың осы қасиеті сақталады. Дискретті жəне үзіліссіз спектрлердің арасындағы осы айырмашылықтарға єрдайым көңіл бөлу қажет. Спектр дискретті
болғанда, Y1 , Y2 , Y3 т.б. меншікті функцияларға λ1 , λ2 , λ3 ... т.б. дискретті меншікті мєндер сєйкес келеді, ал үзіліссіз спектр жағдайында Ψ(x, λ) меншікті функциясының мєні үзіліссіз болатын λ параметріне тєуелді болады. Мүндай функцияларды нормалау мүмкіндіктерінің бірін М. Борн ұсынды. Борн бойынша Ψ(x) толқындық
функцияға шекаралық шарттың орнына, мерзімділік шарт қойылады: |
(7.22) |
Ψ(x) = Ψ(x) + L |
Мұнда параметр L - мерзімділік ұзындығы деп аталады. L кез келген үлкен шамаға ( L → ∞ ) ие бола алады. Себебі, бұл параметр есептеулердің соңғы нєтижелеріне айқын түрде енбейді. (7.22)- ші шарт бойынша
бұданeikx =1, яғни |
|
eikx = eik ( x+L) |
(7.23) |
|||||||
|
|
|
2πn |
|
|
|
||||
|
|
|
K = |
|
|
(7.24) |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|||
мұндаn = 0,±1,±2,±3,.... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
екінші жағынан k 2 = |
2m0 |
E болғандықтан, энергияның меншікті мєндері |
|
|||||||
h2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
En |
= |
h 2 k 2 |
= |
2π 2 h2 n2 |
|
(7.25) |
||
|
|
2m0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
m0 L2 |
|
|||
L -дің бүкіл мəнінде Ψ периодты функция болғандықтан, нормалау шартын былай жазуға болады:
|
|
|
|
|
|
|
L / 2 |
Y* Ydx =1 |
|
|
|
|
|
|
|
(7.26) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−L / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Бұл теңдеуге Y = Aeikx мєнін қойсақ, онда |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.27) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сонда нормаланған шешу мынадай түрде жазылады: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
i |
2πn |
x |
|
|
(7.28) |
||
|
|
|
|
|
|
Y (x) = L2 eikx = L2 e L |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.28)-ші |
функциялар |
|
нормалануы |
|
|
|
мен |
|
|
|
|
|
қатар |
ортогонал |
функция- |
|||||||||||||
лар екендігін де көрсетуге болады: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L ¹ L¢ |
|
|||||||
|
L / 2 |
* |
1 L / 2 |
− |
2πn |
( L′−L) |
|
|
|
|
sin |
π |
(L¢ |
- |
L) |
0 егер |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.29) |
||||||
|
∫ YL′YL dx = |
|
∫ |
e |
L |
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
L = L¢ |
||||||
|
|
|
π (L¢ - L) |
|||||||||||||||||||||||||
|
−L / 2 |
|
L −L / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1егер |
|
|||||||||||||||
Сонымен, жасанды |
түрде |
мерзімділік |
ұзындығы L |
ұғымын енгізу |
арқылы, |
|||||||||||||||||||||||
үзіліссіз спектрді қалай дискретті спектрге айналдыруға бо-латындығын, Борн үсынған
єдіспен көрсеттік. Шектік жағдайда, L |
шексіздікке ұмтылғанда, керісінше үзіліссіз |
||||
спектрге ауысамыз. Шындығында да |
K = |
P |
= |
m0 v |
екендігін ескерсек көршілес |
h |
|
||||
|
|
|
h |
||
орналасқан деңгейлердің энергияларының ара қашықтықтарын анықтай аламыз:
DE = |
h2 k |
× |
2π |
= v |
2πh |
(7.30) |
|
|
|
||||
|
m0 L |
|
L |
|
||
Бұдан, L → ∞ болғанда E → ∞, яғни энергия үзіліссіз мəндерге ие бо-лады. Бөлшектің бір өлшемді еркін қозғалысындағы үзіліссіз спектрді нормалаудың
тағы бір мүмкіндігі δ - функцияны пайдалану. Егер Ψ меншікті функциясын мынадай түрде алсақ,
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
||
Ψ( p) = Ae |
|
Px |
, |
|
|
|
|
|
|
|
Ψ* ( p) = Ae |
|
Px |
(7.31) |
|||||
h |
|
|
|
|
|
h |
|||||||||||||
онда δ -функцияны пайдаланып осы нормалау шартын былай жазуға болады: |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
P |
− |
P′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ Ψ* ( p′)Ψ( p)dx = A2 |
+∞ |
ix |
|
|
|
|
= A2 2πhδ ( p − p′) = δ ( p − p′) |
(7.32) |
|||||||||||
∫ dxe |
h |
|
h |
||||||||||||||||
бұдан |
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.33) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2πh |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
меншікті функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ψ( p) = |
1 |
|
i |
p |
x |
(7.34) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e h |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2πh |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Толқындық функцияларды қарапайым нормалау шарты мен δ -функция арқылы нормалауды салыстырайық. Ол үшін қарапайым нормалауды (Борн өдісі) мынадай түрде жазалық:
1, |
егер мына аралықта n1 < n2 орналасқан |
n2 |
болса. |
∑ ∫ Ψn*′ Ψn dx = |
|
n′=n1 |
|
0, егер n′ − n1 > n2 аралығының сыртында жатса
δ - функцияға нормаланған толқындық функциялар үшін
|
1, |
егер p′ − p1 |
< p2 мына аралығының ішінде |
p2 |
dp′∫ Ψ* ( p′)Ψ( p)dx = |
орналасса. |
|
∫ |
|
||
p1 |
0, егер p′ − p1 |
< p2 аралығының сыртында |
|
|
|||
|
|
орналасқан болса |
|
Сонымен, микробөлшектің потенциялық шұңқырдағы (шектелген) жєне кеңістіктегі еркін (шектелмеген) қозғалыстарын қарастыру нəтижесінде, кеңістіктің U > E нүктелерінің барлығында спектр үзіліссіз болады деген қортындыға келеміз.
§ 3. Квазиклассикалық жуықтау (ВКБ — тєсіл)
Алдыңғы тарауда |
біз h → 0 болғанда |
кванттық |
теңдеулердің толығынан |
||
классикалық қозғалыс теңдеулерінде ауысатындығын |
көргенбіз. Яғни, S єсер |
||||
функциясы арқылы жазылған Шредингер теңдеуі |
|
||||
1 |
(gradS )2 + U - E - ih |
1 |
Ñ2 S = 0 |
(7.35) |
|
|
2m0 |
2m0 |
|||
|
|
|
|
||
Планк түрақтысы нольге тең болғанда классикалық механиканың Гамильтон-Якоби теңдеуімен эквивалентті болады.
Бір өлшемді қозғалыс жағдайында (7.35)- ші теңдеу мынадай түрде жазылады:
ihS ¢¢(x) + S ¢2 (x) + 2m0 (E -U ) = 0 |
(7.36) |
||||
(7.36)-шы теңдеудің шешуін шамасы аз H параметрі арқылы іздестіреміз |
(7.37) |
||||
S (x) = S0 (x) + hS1 (x) + h2 S2 (x) + ... |
|||||
(7.37)-ші қатардың тек алғашқы екі мүшесімен шектеліп, |
(7.38) |
||||
S (x) = S0 (x) + hS1 (x) |
|
|
|||
оны (7.36)- шы теңдеуге қойсақ, мынадай өрнек аламыз: |
|
||||
2m |
(E -U ) - S ¢2 |
+ h(iS ¢¢ - 2S ¢ |
× S ¢) = 0 |
(7.39) |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
Соңғы теңдеуде тепетендік шарты орындалуы үшін h параметрі жоқ мүшелер нольге тең болуы керек
2m |
0 |
(E -U ) - S ¢2 |
= 0 |
(7.40) |
||
|
|
0 |
|
|
|
|
iS0′′ - 2S0′ × S1′ = 0 |
|
|
(7.41) |
|||
(7.40)- шы шарттан 2m0 (E -U ) = p екендігін ескерсек: |
|
|||||
S0¢ = ± |
|
= ± p |
(7.42) |
|||
2m0 (E -U ) |
||||||
бұдан |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
(7.43) |
S0 = ± ∫ dx ×p |
|
|
||||
|
|
x0 |
|
|
|
|
мұнда х0 – қозғалыс жүретін түзу сызықтың бойынан алынған, бекітілген нүкте. (7.41)- ші теңдеуден S1 (x) - ті табуға болады:
S1 |
= |
i |
|
S |
0′′ |
- |
i |
ln(ln S ¢) |
|
|
S |
0¢ |
|
||||
|
2 |
|
2 |
|
||||
бұл теңдеуді интегралдасақ
|
|
|
S1 (x) = |
i |
ln S |
0 = |
i |
ln p = i ln |
|
|
|
|
(7.44) |
|||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Енді |
(7.41)-ші |
жөне |
|
|
(7.42)-ші |
|
нєтижелерді |
(7.38)- |
ші |
жуықтап |
||||||||||||||||
алынған теңдеуге қойсақ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.45) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
S (x) = ± ∫ dx × p + ih ln |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Толқындық функция Ψ мен S - əсер функциясының арасындағы байланысты альш |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
S ( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.46) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Y(x) = e h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ондағы S(х) функциясының орнына (7.45)- ші теңдеуді қойсақ мынадай қатынасқа |
||||||||||||||||||||||||||
келеміз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y(x)= |
|
1 |
i |
Spdx |
|
|
|
i |
Spdx |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
C1e h |
+ C2 e h |
|
|
|
(7.47) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Шредингер теңдеуінің шешуі жуықтап алынған (7.47)-ші толқындық функциямен сипатталуы Вентцель-Крамерс-Бриллюэннің жуықтау тəсілі деп, қысқаша ВКБ - тєсілі деп аталады.
Енді микробөлшектің кез келген формалы, бір өлшемді потенциялық шұңқырдағы қозғалысын қарастырайық (7.2-сурет). E F U min - белгілі бір стационар күйдің энергиясы болсын.