|
|
|
ˆ |
|
= |
H |
(σ z |
) |
|
|
|
|
|
(17.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ал, спиндік оператордың квадраты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
ˆ 2 |
ˆ 2 ˆ 2 |
ˆ 2 |
|
H |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
=S x +S y |
+S z |
= |
|
|
|
|
ˆ |
) |
|
ˆ |
) |
ˆ |
) |
|
(17.12) |
4 |
[(σ x |
|
+ (σ y |
+ (σ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мұндағы (σ ) − Паули матрицалары
|
(σ x ) = |
0 |
1 |
, (σ y |
|
0 |
|
|
|
) = |
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
Сонда бір электронның спиндік функциясы |
C1 |
|
мынадай екі теңдікті |
C = |
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
қанағаттандыруы қажет: |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
H |
C1 |
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
S |
C = |
|
|
|
|
|
= λ H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
H |
[(σˆ |
|
)2 + (σˆ |
|
)2 |
+ |
(σˆ |
|
)2 |
] |
C |
|
= λ H 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
y |
z |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
(σˆ x )2 = (σˆ y )2 = (σˆ z )2 = I − бірлік матрица екендігін ескерсек,
(17.14)-ші теңдеуден λ2 = 3 4 екендігін көреміз. Ал λ1 − дің мєнін анықтайтын теңдеу төмендегідей екі біртекті алгебралық теңдеуді шешумен пара-пар:
|
1 |
− λ1 |
|
= 0 |
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
+ λ1 |
|
= 0 |
C2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
бұдан электронның спинінің z осінің бойымен бағытталу мүмкіндіктеріне байланысты екі түрлі шешуі алынады:
1)λ |
|
= + |
1 |
, C = 1, C |
|
= 0 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
Спин z осіне параллель бағытталған. |
|
(1/ 2) − меншікті мєнінен сəйкес келетін |
толқындық функция: |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
= |
|
|
|
|
(17.15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
2)λ = + 1 |
, C = 0, C = 1 |
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бұл жағдайда спин z осіне қарсы параллель бағытталған. Ал толқындық функция:
Гелий атомының екі электронының толық спиндік функциясын спиндерінің бағытталуына байланысты єртүрлі болатын спиндік функциялардың суперпозициясы ретінде қарастырайық:
R |
R |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
С(S |
, S |
|
)= a C |
C |
+ a C |
C |
− |
|
+ a C |
− |
C |
+ a C |
C |
(17.17) |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 1 |
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
4 1 |
|
2 |
|
|
С1 (± 1/ 2), С2 (± 1/ 2) |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
1- ші 2- ші электрондардың спиндікфункциялары a1 , a2 , a3 , a4 |
Клебш- |
Жордан коэффициенттері. Енді (17.17) спиндік функция толық спиннің |
|
z осіне про- |
екциясы операторының меншікті функциясы болатындай қылып ai коэффициенттерінің мєндерін анықталық. Нольден өзгеше болатын шешулер үшін λ1 жəне λ2 параметрлерінің мəні төмендегідей болуы қажет:
1)λ2 = 2, a1 =1, a2 = a3 = a4 = 0
λ1 = 1
толық спин бірге тең жєне z спиндік функция
осінің бойымен бағытталған. Бұл жағдайдан толық
R |
|
R |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
R |
|
|
|
Сc (S |
, S |
|
)= C |
|
C |
|
|
, |
S |
|
- - S |
|
|
(17.18) |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)λ2 = 2, a4 = 1, a1 = a2 = a3 = 0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 = -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Спиндік функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
R |
|
R |
|
|
Сc (S |
, S |
|
) |
= C |
|
- |
C |
|
- |
, |
|
|
S |
|
- - S |
|
(17.19) |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Толық спин бірге тең жєне |
z |
|
осіне қарсы бағытталған. Екі электронның спині |
параллель. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3)λ2 |
= 2, a = a = |
1 |
|
, a1 = a4 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бөлшектердің спиндері параллель жєне 2 осіне перпендикуляр болады. Спиндік функция симметриялы болады:
|
|
|
|
|
Сc (S , S |
|
)= 1 C 1 |
C |
- 1 - C |
- 1 C 1 |
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(17.20) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
4)λ2 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 = a2 = a3 |
= |
1 |
|
, a1 = a4 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
толық спин нольге тең. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бөлшектердің спиндері антипараллель. Спиндік функция: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сa (S , S |
)= 1 C 1 C - 1 |
- C - 1 |
C 1 |
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17.21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Нольге тең болмайтындай қыльш Клебш-Жордан коэффициенттерін таңдап алғандықтан, төрт шешуде бірге нормаланған. Толық толқындық функцияға кері көшейік:
R R |
|
a |
|
|
R |
|
Y a = C c (S1 S2 ) |
|
Yn n |
2 |
(r1r2 ) |
(17.22) |
|
|
|
1 |
|
|
|
Мұндай үш шешу болады: (17.18), (17.19), (17.20). Бұлардың ішінде: |
|
R R |
|
|
c |
|
R |
|
Y a = C a (S1 S2 ) Yn n |
(r1r2 ) |
(17.23) |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
бір күй. Мұндағы толқындық функциялардың координаттық бөлігі егер |
n1 ¹ n2 : |
Ya,c = |
1 |
|
(u ±υ) |
(17.24) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Ал, егер екі электронда бір кванттық күйде болса n1 ¹ n2 , онда толқындық теңдеудің координатшқ бөлігінщ симметриялы бір ғана шешуі болады:
R R |
|
Y a1 = C a (S1S2 )× YC |
(17.25) |
ал |
Yc = U = Yn |
(r1 )Yn |
(r2 ) |
|
|
R |
R |
|
1 |
1 |
|
§ 2. Пара жəне ортогелий
Гелий атомының күйін сипаттайтын толқындық функциялардың симметриялы жөне антисимметриялы екі түрі болатындығын дєлелдедік. Күйлердің бір түрі электрондардың спиндерінің қарсы бағытталған жағдайына сəйкес келеді. Гелий атомының бұл типі – парагелий деп аталады (17.1 а) сурет)
-е 0 |
-е 0 |
● +2 е 0 |
+2 е 0 ● |
-е 0 |
-е 0 |
а) парагелий |
б) ортогелий |
|
17.1 сурет |
Бұл жағдайда толқындық функция координаттардың орындарын ауыстыруына симметриялы болады. Күйлердің екінші түрінде екі электронның спиндері параллель бағытталады, ал толқындық функция координаттардың орындарын ауыстыруға антисимметриялы болады. Мұндай гелий атомы ортогелий деп аталады. (17.1 б сурет). Парагелий жєне ортогелий күйлері тұйықталған. Сондықтан олар біріне-бірі ерікті түрде ауыспайды. Екі күйдің бірінен бірінің тұйықталғандығын былай дəлелдеуге болады. Ортогелийден парагелийге дипольдық өтудің моментінің матрицалық элементі:
R |
|
|
*c |
R |
R |
R |
R |
|
|
a |
R |
|
R |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
rc,a = ∫Y |
(r1 |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
(r1 |
, r2 )d |
x1d |
x2 |
|
, r2 )(r1 |
+ r2 )Y |
|
|
|
= -∫Y |
|
R |
R |
R |
R |
|
|
R |
|
R |
|
|
x1d |
|
|
x |
2 |
|
|
*c |
(r1 |
, r2 )(r1 |
+ r2 )Y |
a |
(r1 |
, r2 )d |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫Y |
|
R |
R R |
R |
|
R |
R |
|
x |
2 d |
|
x1 = |
*c |
(r2 |
, r1 )(r1 |
+ r2 )Y |
a |
(r2 |
, r1 )d |
3 |
3 |
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
(17.26)
нольге тең болады, себебі
R |
R |
(17.27) |
rc,a |
= - ra,c |
яғни бір күйден екінші күйге дипольдық өтуге тыйым салынған. Бірақ, гелий атомдарын сырттан түсетін атомдар арқылы атқылау нəтижесінде парагелийден ортогелийге ауыстыруға болады.
Мысалы: Ортогелийді спиндері төмен бағытталған электрондармен атқылайық. Сонда бұл электронның бірі қабықшадағы электрондардың бірінің орнына келіп орналасуы мүмкін. Яғни ортогелийдің орнына парагелий аламыз.
|
|
|
§ 3. Гелий атомының энергиялық спектрі |
|
Гелий |
атомының |
толық моменті L атомға |
кіретін екі электронның |
бүтін |
сандарға |
ие |
болатын |
орбиталық |
моменттерімен |
L1, L2 анықталады. Жеке жағдайда |
L1 = L2 = 1 |
деп алсақ екі электронда |
p − күйде, онда толық момент векторларды қосу |
ережелері бойынша мынадай мєндерге ие болады: L=2, 1, 0.
1) L = 2
2) L = 1. Қосылатын моменттердің векторлары 60° бұрыш жасай орналасқан.
L= L1 + L 2 -1 = 1
3)L = 0. Моменттер антипараллель:
Жалпы жағдайда L1 ³ L 2 болғандықтан L төмендегідей бүтін сан мəндерге ие болады:
L = L1 + L 2 , L1 + L 2 − 1, L1 + L 2 − 2,..., L1 − L 2
Күрделі атомдардың энергиялық деңгейлеріне сєйкес келетін кванттық күйлерді мынадай символдармен белгілейді:
S – күй Р – күй F – күй D – күй
Гелий атомының энергиялық деңгейлерін қарастырайық. Ең төменгі энергиялық деңгейге толық орбиталық моменттің L = 0 мєні сəйкес келеді. Бұл жағдайда екі электрон да (1s 1s) 1S0 электрондардың спиндері қарсы бағытталған болады. Атомның
термин сипаттайтын єріптің сол жақ жоғары бұрышындағы индекс күйлердің мүмкін мєндерін (мультиплеттілігін) көрсетеді.
Келесі термде бір электрон 1s − күйде, ал екінші электрон 2s − күйде орналасады. Бұл жағдайда парагелий де (1s 2s) 1S0 , ортогелий де (1s 2s) 3 S1 о болуы мүмкін.
Ортогелийдің (1s 2s) 3 S1 күйі метастабилді деп аталады, себебі бұл күйден төмен
орналасқан парагелийдің энергиялық деңгейіне ауысуы сұрыптау ережелері бойынша
тиым салынған болып табылады. Парагелийдің деңгейлерінің жиыны синглеттік (спин нольге тең), ал ортогелийдің энергиялық деңгейлерінің жүйесі триплеттік (спин бірге тең) деңгейлер деп аталады.
Гелий атомының энергиялық деңгейлерінің жалпы схемасы 17.2-ші суретте берілген.
|
|
|
|
(1s 2p) |
3 p2 |
|
|
|
|
|
E, эВ |
(1s 2p) |
|
(1s 2p) |
3 p2 |
|
|
2 |
|
(1s 2s) |
|
(1s 2p) |
3 p2 |
|
|
19,77 |
|
|
|
(1s 2s) |
3 p1 |
|
|
|
2058A |
1830A |
1089A |
584A |
|
|
6 |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
парагелий |
|
ортогелий |
17.2 сурет. Гелий атомының энергиялық деңгейлерінің схемасы
ƏДЕБИЕТТЕР
1.Голдин Л.Л., Новикова Г.И. Введение в квантовую физику. - М.:
Наука, 1988. - 328 с.
2.Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. - М.: Высшая школа, 1963. - 620 с.
3.Вихман Э. Квантовая физика. - М.: Наука, 1977. - 416 с.
4.Грашин А.Ф. Квантовая механика. - М.: Просвещение, 1974.- 207 с.
5.Ферми Э. Квантовая механика. - М.: Мир, 1968. - 368 с.
6.Бом Д. Квантовая теория. - М.: Физматгиз, 1961. - 728 с.
7.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Краткий курс теоретической физики. Книга 2. Квантовая механика. - М.: Наука, 1972. - 368 с.
8.Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механиха и атомная физика.- М.: Просвещение, 1970. - 423 с.
9.Давыдов А.С. Квантовая механика. - М.: Наука, 1973. - 704 с.
10.Тарасов Л.В. Основы квантовой механики. - М.: Высшая школа, 1978. - 287 с.
11.Медведев Б.В. Начала теоретической физики. - М.: Наука, 1977. -496 с.
12.Де Бройлъ Л. Соотношение неопределенностей Гейзенберга и вероятностная интерпретация волновой механики. - М., 1986. - 344 с.
13.Друкарев Г.Ф. Квантовая механика. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1988. - 200 с.
14.Липкин Г. Квантовая механика. Новый подход к некоторым проблемам.
-М.: Мир, 1977. - 592 с
15.Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика. - М.: Наука, 1976. - 336 с.
