Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Дальневосточный федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Konspekt_lektsy.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2015

Размер:

4.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Решение слау размерности

Рассмотрим однородную СЛАУ:

(15.4)

Данная система всегда имеет хотя бы одно решение, например тривиальное .

Теорема: Однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы меньше числаеё неизвестных.

Следствие: Квадратная однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы этой системы равен нулю .

Если ранг матрицы однородной системы равен , то система имеет линейно независимых решений:, называемыхфундаментальной системой решений.

Решения являются линейно независимыми, если ранг матрицы составленной из координатных строк этих векторов равенчислу этих решений.

Теорема: (о структуре решений однородных СЛАУ). Пусть произвольная фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Тогда любое решение системы представляет собой линейную комбинацию решений:

(15.5)

Здесь общее решение однородной системы,- произвольные постоянные, афундаментальная система решений, (частные решения однородной системы), найденная при условии, что свободные неизвестныепо очереди приравниваются, а остальные при этом равны. Неизвестные называются базисныминеизвестными.

Решение неоднородной системы в общем случае определяется следующей теоремой:

Теорема: (о структуре решения неоднородной СЛАУ): Общее решение неоднородной СЛАУ определяется формулой:

(15.6)

где - общее решение соответствующей однородной системы, а- частное решение неоднородной системы.

Для более простого нахождения частного решения, удобно взять свободные неизвестные равными нулю.

Лекция 16.

Понятие линейного оператора. Основные свойства. Собственные числа и собственные векторы. Квадратичные формы.

Цель: Изучить понятия линейного оператора и его собственных чисел и собственных векторов, методы их нахождения.

Определение. Пусть и– линейные пространства размерностиисоответственно,– будем называтьоператором, действующим из и

, или, говорят чтоy – образ элемента x, а x – прообраз y.

Определение. Оператор , действующий извназываетсялинейным, если для ивыполняются соотношения:

Если (комплексная плоскость), то– называютлинейным функционалом. Если совпадает с, то– называютлинейным преобразованием пространства.

Определение. Произведение λ на называется оператор λA определяемый равенством ., гденулевой оператор,

, противоположный оператор.-I – тождественный или единичный оператор.

Определение. Произведением оператора наназывается оператор, для которого верны следующие соотношения:

1);

2);

3);

4);

5).

Определение. Оператор называетсяобратным для если,, обозначают.

Определение. Ядром линейного оператора называется множество всех элементовпространства, для которых: .

Определение. Образом линейного оператора называется множество элементовтаких что:.

Определение. Рангом линейного оператора называется число равное .

Теорема. Пусть и пусть, тогда.

Матричная запись линейных операторов.

Фиксируем в линейном пространстве базис пусть– произвольный элементи(разложениепо базису).

Пусть – линейный оператор. Тогда имеем,

…,.. Пустьобразы базисных векторов, тогда, т. е.,j=1,…,n, .

Рассмотрим матрицу линейного оператора в заданном базисе, это матрица столбцами которой являются координаты базисных векторов. Причем единственный линейный оператор, матрицей которого в заданном базисебудет матрица.

, - оператор.

При этом соотношения ,, с одной стороны связывают образс координатами прообраза, с другой стороны, описывают действие линейного операторазаданного матрицейA. При изменении базиса матрица линейного оператора A также изменится.

Пусть задан базис в пространствеи- новый базис, аU – матрица перехода от базиса , тогда матрица линейного оператора в двух базисах связаны следующим соотношением:, т. к.,и,.

Определение. Число λ называется собственным значением если существует ненулевой вектортакой, что, при этомназываетсясобственным вектором оператора . Т.к.,, тогда чтобы однородная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы. Многочленназываетсяхарактеристическим многочленом .

Чтобы найти собственные числа нужно решить уравнение .

Чтобы найти собственный вектор , соответствующий собственному числунеобходимо решить систему.

Свойства собственных значений и собственных чисел.

1. Каждый линейный оператор имеет собственное значение.

2. Собственные числа и векторы не всегда вещественные.

3. У симметричной матрицы собственные числа всегда вещественны.

4. Собственные векторы соответствующие собственным значениям различные линейно независимы.

5. Если характеристический многочлен n-ой степени оператора имеетn – различных корней, то в некотором базисе матрица оператора A имеет диагональный вид.

6. Для того чтобы матрица A линейного оператора в данном базисебыла диагональной, необходимо и достаточно, чтобы базисные векторыбыли собственными векторами этого оператора.

Определение. Линейный оператор называетсясамосопряженным, если для любых выполняется равенство:.

Свойство самосопряженного линейного оператора

1. Собственные значения самосопряженного оператора вещественны.

2. Если A – самосопряженный оператор, то собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям этого оператора ортогональны.

Определение. Квадратичной формой называется однородный многочлен второй степени относительно n переменных . Квадратичную форму всегда можно представить в виде:, (), где- симметрическая матрица (т.е.).

Если – вещественная симметричная матрица, то форма называетсявещественной, – самосопряженная.

В дальнейшем будем рассматривать вещественные квадратичные формы.

Теорема. Для каждой квадратичной формы существует базис, в котором она имеет канонический вид (т.е. представляет сумму квадратов) или такой вид в котором матрица квадратичной формы имеет диагональный вид.

Лекция 17

Кривые второго порядка

Цель: Изучить канонические уравнения линий второго порядка, их основные характеристики.

Определение. Окружность – это геометрическое место точек равноудаленных от некоторой фиксированной точки называемой центром окружности (рис.17.1).

(17.1)

если центр перенесен в точку с координатами , то

(17.2)

Рис. 17.1

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости , называемых фокусами, есть величина постоянная равная.

Выведем каноническое уравнение эллипса. Возьмем произвольную точку , принадлежащую эллипсу. Отрезки,называются фокальными радиусами точки и обозначаются(Рис17.2). Их постоянную сумму принято обозначать через. Поэтому

(17.3)

Рис. 17.2

Расстояние между фокусами обозначим за и будем называть фокальным расстоянием. При этом,. Т.к., тои следовательно

(17.4)

Для вывода уравнения выразим фокальные радиусы через координаты точек :

Подставим полученные выражения в формулу (17.3)

и избавимся от корней

возводим в квадрат

Сокращаем на , раскрываем скобки

сокращаем на , переносим корень влево

еще раз в квадрат: раскрываем и группируем

;

В полученном выражении введем обозначение

(17.5)

Получим каноническое уравнение эллипса или

(17.6)

Где - большая полуось эллипса,- малая полуось эллипса

Из соотношения (17.5) получим формулу для фокального расстояния эллипса:

(17.7)

Если центр перенесен в точку с координатами , то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

(17.8)

Определение. Отношение расстояний между фокусами эллипса и длиной его большой оси. Называется эксцентриситетом и обозначается

(17.9)

Т.к. для эллипса , то

Сократим равенство (17.9) на и возведя в квадрат выполним следующие преобразования:

или .

Из последних равенств видно, что эксцентриситет определяется отношением осей эллипса и наоборот, следовательно, чем больше эксцентриситет, тем более вытянута форма эллипса, при уменьшении эксцентриситета – эллипс стягивается в окружность.

Для произвольной точки эллипса ,.

Система определяет параметрическое уравнение эллипса.

В полярной системе координат уравнение эллипса имеет вид

Для эллипса вводят две прямые называемые директрисами, их канонический вид: ,.

Определение. Эллипс - геометрическое место точек, для которых отношение фокального радиуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету эллипса (рис. 17.3):

(17.10)

Рис.17.3

Определение. Гипербола – это геометрическое место точек, для каждой из которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости , называемых фокусами, есть величина постоянная равная.

Любая точка принадлежит гиперболе, если разность между ее фокальными радиусами равна(рис.17.3).

(17.11)

Рис.17.4

поступая по аналогии с выводом уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы

(17.12)

Где ,- действительная ось,- мнимая ось,- фокальное расстояние.

Расстояние до фокуса гиперболы будет определятся равенством: (17.13)

Прямые (17.14)

называются асимптотами гиперболы.

Если координаты центра смещены в точку , то каноническое уравнение гиперболы имеет вид(17.15) Прямоугольник, построенный на величинахи– называется основным прямоугольником гиперболы (рис. 17.5).

Эксцентриситет гиперболы определяется как отношение фокального расстояния к действительной оси

, или

т.е. эксцентриситет гиперболы характеризует форму основного прямоугольника, и следовательно форму гиперболы.

Определение. Две прямые, ортогональные той оси гиперболы, которая ее пересекают и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него называются директрисами гиперболы. Обозначаются(рис.17.5).

Рис.17.5

Определение. Парабола – это геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние от некоторой фиксированной точки , называемой фокусом равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой (рис. 17.6):

(17.16)

Расстояние – называется фокальным расстоянием параболы, а параметр- параметром параболы. Т.к. для параболы, то.

Выведем уравнению параболы, используя формулу (17.16) и то обстоятельство, что ,.

Рис. 17.6

, .

Приравниваем и возводим в квадрат:

Избавляемся от корня повторным возведением в квадрат

Приходим к каноническому уравнению параболы

(17.17)

Если вершина параболы смещена в точку , то каноническое уравнение имеет вид:

Лекция 18

Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду.

Рассмотрим общее уравнение кривой 2-го порядка в евклидовом пространстве, с ортонормированным базисом ,,

1) Выделим квадратичную форму ;

Приведем её к каноническому виду, для этого найдем собственные значения

, - вещественные числа

_{следовательно} .

2) Для того чтобы выразить x, y через и, найдем координаты векторов нового базиса. За новый базис необходимо взять ортонормированные собственные векторы квадратичной формы соответственно λ₁ и λ₂, для того чтобы их найти необходимо решить системы.

Матрица перехода от старых координат к новым координатам имеет вид:

, т. е. , где,

Перейдя к новым координатам и выполнив все элементарные преобразования, получим канонический вид (параллельный перенос) кривой 2-го порядка в собственном базисе оператора квадратичной формы.

Пример. Привести кривую второго порядка к каноническому виду.

Решение.1) Найдем собственные числа

, , следовательно

2) Найдем собственные векторы соответствующие собственным значениям и перейдем к новому ортонормированному базису:

а) , соответствующий. ,

б), соответствующий. ,

3) Составим матрицу перехода Q:

Перепишем старые координаты через новые. X=QX’

Перепишем уравнение кривой второго порядка в новых координатах.

выполним параллельный перенос и получим следующее уравнение ,

- уравнение гиперболы.

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка определяются уравнением второй степени. Рассмотрим вращение линий второго порядка вокруг их осей симметрии.

. Поверхность называется плоскостью вращения с осью, если она составлена из окружностей, которые имеют центры на прямойи лежат в плоскостях, перпендикулярных этой прямой.

Эллипсоиды. Рассматриваем поверхности, которые получаются при вращении эллипса вокруг его осей симметрии.

Сжатый вытянутый эллипсоид

В первом и втором случае проекциями будут эллипсы и окружности, в последнем – только эллипсы. Их каноническое уравнение записано в виде:

(18.1)

Конусы. Рассмотрим на плоскости пару пересекающихся прямых.

Поверхность получаемая вращением таких прямых, имеет уравнение:

(18.2)

Или

и называется прямым круговым конусом. При сжатии его к оси прямой конус переходит в конус второго порядка

(18.3)

Сечение конуса второго порядка дает либо эллипсы либо окружности. Минус стоит перед той координатой, вокруг которой конус вращается.

Гиперболоиды. Однополостные гиперболоиды получаются при вращении гиперболы вокруг той оси, которая ее не пересекает.

(18.4)

Минус стоит перед координатой, вокруг которой вращается гипербола. Интересным свойством однополостного гиперболоида является то, что его образующие прямолинейны.

Определение. Образующими называются прямые линии, всеми своими точками лежащие на поверхности.

Через каждую точку однополостного гиперболоида проходит две прямолинейные образующие. Их уравнения записываются в форме:

(18.5)

Если гиперболу вращать вместе с ее асимптотами, то асимптоты дадут нам конус вращения называемый асимптотическим конусом гиперболоида вращения.

Двуполостный гиперболоид вращения – это поверхность вращения гиперболы вокруг той ее оси, которую она пересекает.

Его уравнение записывается в форме

(18.6)

или

Также как и для однополостного асимптотический конус. Здесь двум ветвям гиперболы соответствуют две не связанные полости.

Элиптические параболоиды. При вращении параболы вокруг ее оси мы получаем поверхность с уравнением:

называемую параболоидом вращения. В общем виде его уравнение записывается как

(18.7)

Поверхность называется эллиптическим параболоидом. Его сечениями являются эллипсы и параболы.

Гиперболический параболоид. Поверхность, которая имеет в некоторой системе координат уравнение вида:

(18.8)

Называется гиперболическим параболоидом. Т.е. на гиперболу надета парабола. Гиперболическим параболоид, как и однополостный гиперболоид имеет два семейства прямолинейных образующих. Его проекциями являются параболы и гиперболы.

Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду.

Рассмотрим общее уравнение кривой 2-го порядка в евклидовом пространстве, с ортонормированным базисом ,:

1) Выделим квадратичную формулу ;

Приведем её к каноническому виду, для этого найдем собственные значения

, - вещественные числа

2) Для того чтобы выразить x, y через и. Найдем координаты векторов нового базиса. За новый базис необходимо взять ортонормированные собственные векторы квадратичной формы соответственно λ₁ и λ₂, для того чтобы их найти необходимо решить системы.