Свойства двойного векторного произведения

1) ;

2) ;

3) .

О размерностях векторных величин

В приложениях математики рассматриваются величины, изображаемые векторами: силы, скорости, моменты сил, которые имеют определенные размерности. Напомним основные правила действий с размерностями:

1) сумма имеет ту же размерность, что и слагаемые, и складывать можно векторные величины одинаковых размерностей;

2) при умножении вектора на скалярную величину их размерности перемножаются;

3) модуль векторной величины имеет ту же размерность что и вектор;

4) скалярное и векторное произведение имеют размерность равную произведению размерностей сомножителей.

Лекция 7

Аналитическая геометрия на плоскости. Алгебраические линии и плоскости. Уравнения прямой на плоскости.

Цель: Изучить понятия алгебраической линии и алгебраической поверхности, виды уравнений прямой на плоскости и их основные характеристики.

Определение. Уравнение называетсяуравнением линии на плоскости (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты () любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линиим. Здесь- геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению.

Определение: Линия называется алгебраической, если в декартовой прямоугольной системе координат она определяется уравнением , где- алгебраический полином,- показатели степени все целые неотрицательные числа,- некоторые постоянные.

Определение: Наибольшая из сумм показателей степеней называется степенью уравнения или порядком алгебраической линии

Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной.

Определение. Линией -го порядка называется алгебраическая линия, определяемая в декартовой прямоугольной системе координат алгебраическим уравнением -ой степени с двумя неизвестными.

Определение: Алгебраической называется множество, которое в какой-либо декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением , где- алгебраический полином,- показатели степени все целые неотрицательные числа,- некоторые постоянные.

Определение: Наибольшая из сумм показателей степеней называется степенью уравнения или порядком алгебраической поверхности.

О пересечении двух линий

Пусть даны две линии и, заданные соответствующими уравнениями:и. Для нахождения всех точек пересеченияиследует решить систему

Уравнение прямой через заданную точку и вектор нормали

Определение: Всякий ненулевой вектор ортогональный прямой, с координатами, называетсянормалью к прямой (рис. 7.1).

Рис. 7.1

Рассмотрим вектор проходящий через заданную точкуи произвольную точку, т.к.то их скалярное произведение равно нулю. Записав его в координатной форме, получимуравнение прямой через точку и вектор нормали

.(7.1)

Общее уравнение прямой

Раскрывая в уравнении (7.1) скобки и обозначив получимобщее уравнение прямой:

(7.2)

Если иопределяют одну и ту же прямую, то существует такое действительное, что,,, т.е. коэффициентыпропорциональны.

Неполные уравнения прямой

Если и, то уравнение называетсяполным, рассмотрим неполные уравнения прямой.

, следовательно, прямая имеет вид: , т.е. прямая проходит через начало координат;

, следовательно, прямая имеет вид: . Откудат.е. получили прямую параллельную оси:;

, следовательно, прямая имеет вид: , Откудат.е. получили прямую параллельную оси:;

, следовательно, прямая имеет вид: и определяет ось;

, следовательно, прямая имеет вид: и определяет ось.

Уравнение прямой в отрезках

Пусть – полное уравнение. Перенесем свободный член вправои, в случае если, поделим на него. В сокращенных уравнениях мы уже ввели обозначения, тогда получим уравнение в отрезках:

(7.3)

Здесь отрезки отсекаемые прямой на соответствующих координатных осях (рис.7.2)

Рис.7.2

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Из общего уравнения , выразимОбозначим, тогда

(7.4)

где - отрезок, отсекаемый данной прямой от оси ординат, а- угловой коэффициент прямой. Уравнение (7.4) называетсяуравнением прямой с заданным угловым коэффициентом .

Рассмотрим вектор , не параллельный оси. из(рис. 7.4) имеем, тогда,, обозначим,получим уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Рис. 5.4

Уравнение прямой через точку и направляющий вектор

Определение: Всякий ненулевой вектор с координатамипараллельный указанной прямой называют направляющим вектором этой прямой (рис. 7.3). Выберем на прямой произвольную точкуи построим вектор. Т.к. векторы, то из условия коллинеарности векторов имеем пропорцию:

(7.4)

Которая дает нам каноническое уравнение прямой.

Рис.7.3

Уравнение прямой проходящей через две точки

Через любые две несовпадающие точки ,можно построить прямую. Пользуясь условием параллельности векторови(рис.7.4), гдеполучаем:

(7.5)

уравнение прямой, проходящей через две точкии.

Рис.7.4.

Параметрическое уравнение прямой

Рассмотрим каноническое уравнение прямой (7.4) Оно описывает пропорциональность координат. Введем коэффициент пропорциональности и распишем два равенства,

. (7.6)

Полученное уравнение называется параметрическим уравнением прямой .

Если - время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то можно считать, что параметрическое уравнение прямой определяет значение движения материальной точки по прямой с постоянной скоростью.

Уравнение прямой через точку с заданным угловым коэффициентом

Из канонического уравнения прямой: , получаем, где отношение координат направляющего вектора дает угловой коэффициент прямой, тогда уравнение

(7.7)

Есть уравнение прямой, проходящей через точку с заданным угловым коэффициентом.

Определение: Угловой коэффициент прямой, есть отношение координат нормального или направляющего векторов и равен тангенсу угла наклона прямой относительно положительного направления оси .

Нормированное уравнение прямой

Пусть - единичная нормаль заданной прямой , т.е.. Возьмем на прямой произвольную точку, координаты ее радиус вектора совпадают с координатами точки. Выразим уравнение прямойчерез уголи радиус вектор(рис. 7.5). Т.к., то его координатами являются направляющие косинусы. Т.к.и, то, и следовательно.

Точка , ее проекция на вектор нормали равна радиус вектору. Но, проекцию точки на вектор можно вычислить через скалярное произведение (формула 5.7). Приравнивая правые части и учитывая, чтополучим.

(7.10)

– нормированное уравнение прямой.

Рис. 7.5

Установим связь между нормированным и общим уравнением прямой.

Если дано :, то,,., поэтому,,, где знак выражения зависит от(противоположный), следовательно, получается нормированное уравнение

Определение. Совокупность лежащих на данной плоскости прямых, проходящих через точку, называютпучком прямых с центром в точке .

Теорема. Если иуравнения двух различных прямых, пресекающихся в некоторой точке, аипроизвольные числа, причем, тогдаесть уравнение прямой, проходящей через точку. Более того, какова бы ни была наперед заданная проходящая через точкупрямая, она определяется выше записанным уравнением при некоторыхи.

Лекция 8

Условия параллельности и ортогональности прямых, угол между прямыми, пучок прямых. Уравнения плоскости в пространстве.

Цель: Изучить условия расположения прямых на плоскости, метод вычисления угла между прямыми. Изучить уравнения плоскости в пространстве и основные характеристики.

Расположение прямых на плоскости определяется по взаимному расположению их направляющих векторов или отношением угловых коэффициентов.

1. Пусть прямые заданы в общем виде. :и:, где,соответствующие им векторы нормали.

Если , тои координаты векторов пропорциональны.

Если , тои значит, скалярное произведение векторов равно нулю. В координатной форме это запишется как.

Если - угол между прямыми, то он равен углу между векторамии тогда

.

2. Пусть прямые заданы каноническим уравнением. :и:, где,соответствующие им направляющие векторы.

Если , тои их соответствующие координаты пропорциональны.

Если , тои их скалярное произведение равно нулю. В координатной форм.

Если - угол между прямымито он равен углу между векторамии тогда

.

3. Пусть уравнения прямых заданы через угловой коэффициент. :и:(или в виде (7.7)). Тогда угол между прямыми, определяется как разность углов наклона прямых к положительному направлению оси:подставляя это в формулу тангенса разности, получим:

(8.1)

Или через угловые коэффициенты прямых

(8.2)

Из соотношения (7.9) легко определяются условия ортогональности и коллинеарности прямых.

Если , то угол между ними равен нулюи, следовательно, что возможно только при обращении в нуль числителя в формуле (7.9)и значит, для параллельных прямых.

Если , то, и следовательноне определен, т.е. знаменатель формулы (7.9) обращается в нуль :. Откуда получаем условие ортогональности прямых:.

Расстояние от точки до прямой

Выразим расстояние от произвольной точки на плоскости до прямой:. Пусть нам известныилежащая на прямой. Тогда, расстояние от точки до прямой можно выразить через проекцию. И по формуле определяем:.

Раскрывая скобки получим:

(8..3)

Если дано нормированное уравнение прямой, то .

Определение. Если в пространстве задана произвольная плоскость и фиксирована произвольная декартова система координат, то плоскостьопределяется в этой системе координат уравнением первой степени (и наоборот: всякое уравнение первой степени с тремя неизвестными определяет плоскость относительно данной системы координат).

Уравнение плоскости проходящей через точку и вектор нормали

Определение: Всякий ненулевой вектор ортогональный плоскости, с координатами, называетсянормалью к плоскости.

Пусть на плоскости задана некоторая точка и вектор нормали. Если вектор, тоортогонален любой прямой этой плоскости (рис. 8.1), следовательно,, тогда их скалярное произведение обращается в ноль. Записывая последнее равенство в координатной форме получим:

(8.4)

где .

Рис. 8.1.

Общее уравнение плоскости

Раскроим скобки в уравнении (8.4) и обозначим константу . Получим уравнение:

(8.5)

– общее уравнение плоскости.

Если иопределяют одну и ту же плоскость, то существует действительное число, такое, что,,,.

Неполные уравнения плоскости

–называется полным, если , рассмотрим различные неполные уравнения плоскости:

1. –плоскость проходит через начало координат

2. –плоскость параллельная оси , так как;

3. –плоскость параллельная оси , так как;

4. –плоскость параллельная оси , так как.

Уравнение плоскости в отрезках

Если дано полное уравнение плоскости , тогда с помощью преобразований аналогичных уравнению прямой можно получитьуравнение плоскости в отрезках (рис.8.2):

. (8.6)

Рис 8.2

где - отрезки, которые отсекает плоскость от координатных осей,исоответственно (рис. 8.2), могут быть меньше нуля.

Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки

Даны три точки: ,,.

Чтобы произвольная точка пространства принадлежала плоскости, т.е., необходимо и достаточно, чтобы

Рис. 8.3

векторы были компланарны (рис. 8.3), следовательно, смешанное произведение векторов должно равняться нулю. Записывая данное равенство в координатной форме получимуравнение плоскости проходящей через три точки:

(8.7)

Уравнение плоскости через точки и направляющие вектора

Определение: Два произвольных неколлинеарных вектора, лежащих в указанной плоскости или параллельных ей, называются направляющими векторами данной плоскости.

Для того, чтобы записать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и два направляющих вектора плоскости ,воспользуемся условием компланарности векторов(рис.8.4), где произвольна точка пространства принадлежащая плоскости.

Рис.8.4

или в координатной форме:

(8.8)

Нормированное уравнение плоскости

Пусть дана – единичная нормаль и расстояние от точкидо начала координат, выразим уравнение плоскостичерез:и углымежду осями и вектором(рис. 8.5).

Рис. 8.5

Координаты вектора , очевиднотогда и только тогда, когда, следовательно, должно выполняться равенство, отсюда получаемнормированное уравнение плоскости .

Чтобы привести полное уравнение к нормированному виду, нужно каждый коэффициент уравнения умножить на нормирующий множитель, знак зависит от. Знак выбираем противоположный, т. к..

Расстояние от произвольной точки пространства до указанной плоскости определяется аналогично расстоянию от точки до прямой :

(8.9)

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую L, называется пучком плоскостей (с центром в L).

Теорема. Если даны две не параллельные плоскости ,и, аи– какие угодно числа неравные нулю одновременно, то

есть уравнение плоскости, проходящей через прямую L.

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через данную точку , называетсясвязкой плоскостей (с центром в ).

Теорема. Уравнение связки с центром в имеет вид , гдеи не равны нулю одновременно.

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности

и перпендикулярности плоскостей

Пусть даны две плоскости: и, где- угол _{между нормальными векторами плоскостей, тогда} .

Если тои.

Если тои.

Лекция 9

Уравнение прямой в пространстве. Прямая и плоскость в пространстве, разные задачи

Цель: изучить уравнения прямой в пространстве и их характеристики, методы определения взаимного расположения прямой и плоскости.

Прямая как пересечение двух плоскостей

Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух непараллельных плоскостей (рис.9.1)

(9.1)

Рис. 9.1

Каноническое уравнение прямой

Ненулевой вектор параллельный заданной прямойбудем называтьнаправляющим вектором этой прямой (рис. 9.2). Выведем уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный направляющий вектор.

Рис. 9.2

Возьмем произвольную точку пространства лежащую на прямой, построенный на точках векторбудет параллелен направляющему вектору. В координатной форме это условие запишется:

(9.2)

Уравнение принято называть каноническим уравнением прямой в пространстве.

Задача. Как от уравнения вида (9.1) перейти к уравнению вида (9.2).

Достаточно найти: 1) хотя бы одну точку , решая систему уравнений (9.1);

2) т. к. и, можно найти, воспользовавшись свойством векторного произведения:.

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки

Пусть даны две точки в пространстве: и .

Произвольная точка тогда и только тогда, когда(рис. 9.3) (или можно воспользоваться каноническим видом (9.2)).

Рис. 9.3

Условие коллинеарности векторов в координатной форме дадут уравнение:

(9.3)

- уравнение прямой, проходящей через две точки.

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Возьмем каноническое уравнение прямой и приравняем его к произвольному параметру : .

Раскрывая пропорции, получим параметрическое уравнение прямой в пространстве

(9.4)

Если принять параметр за время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения определяют закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью(такое движение происходит по инерции).

Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых плоскостей и

Пусть даны две прямые, заданные каноническими уравнениями:

, - направляющий вектор,

, - направляющий вектор.

Тогда .

Прямые параллельны, если, то есть. Прямыеортогональны, еслито,.

Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости

Прямые в пространстве могут быть:

Параллельными Пересекающимися Скрещивающимися

прямые принадлежащие одной плоскости (две прямые, через которые нельзя провести плоскость)

Для того, чтобы прямые принадлежали плоскости, необходимо и достаточно, чтобы,,были компланарны

(рис. 9.4) , т. е. ,.

Рис. 9.4

Чтобы пересекались, должно выполняться еще одно условие, а именно: их направляющие вектора не должны быть коллинеарными.

Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Пусть даны плоскость , и прямая(рис 9.5)– угол между прямой и плоскостью . Определим его значение. Т. к., и. Мы получили, что угол между прямой и плоскостью можно вычислить по формуле:

(9.5)

Рис. 9.5

Подставляя координаты векторов получим выражение .

Если прямая параллельна плоскости, , то и следовательно или.

Если прямая ортогональна плоскости , то и выполняется пропорция .

Для того чтобы прямая принадлежала плоскостинеобходимо, чтобы выполнялись условия:

1) , то есть;

2) (, то есть).

Определение. Совокупность всех прямых, проходящих через данную точку , называетсясвязкой прямых (с центром в точке ).

Уравнение связки прямых: , где(и).

Пример. Дано общее уравнение прямой: , нужно найти каноническое уравнение этой прямой.

Решение. ,,, значит. Найдем точку, принадлежащую, полагая что,следует,,,принадлежит, следовательно,.

Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве.

Задача 1. Найти условие пересечения трех плоскостей в одной и только одной точке.

Чтобы три плоскости пересекались в одной точке необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Задача 2. Записать уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярную данной плоскости(рис. 9.6)

Рис. 9.6

Искомая прямая имеет вид .

Задача 3. Записать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку(рис. 9.7).

Рис. 9.7

1) находим нормальный вектор для нашей плоскости ;

2) используя точку и найденный нормальный вектор, записываем общее уравнение плоскости..

Задача 4. Найти расстояние от точки до плоскости(рис 9.8) .

Поскольку расстояние от точки до плоскости есть проекция вектора соединяющего эту точку и любую точку на плоскости на нормальный вектор плоскости, поэтому ,

.

Рис. 9.8

(9.6)

Задача 5. Найти расстояние от точки до прямой (рис. 9.10).

Пусть прямая имеет вид , поскольку верна формула, т. к. расстояние от точкидо прямой есть высота параллелограмма построенного на векторах , тогда.

Рис. 9.10

Задача 6. Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми (рис. 9.11).

Напомним, что две прямые называются скрещивающимися, если они не принадлежат одной плоскости.

Алгоритм действий при решении данной задачи может быть следующим:

1) проверяем, являются ли прямые скрещивающимися, для этого достаточно проверить будут ли направляющие векторы прямых и вектор, соединяющий две произвольные точки, принадлежащие прямым, компланарны, т.е. . Если смешанное произведение равно нулю, то прямые не являются скрещивающимися и наоборот, если ,тогда прямые скрещивающиеся;

2) расстояние между скрещивающимися прямыми равно высоте параллелепипеда построенного на векторах ,находим тогда расстояние можно вычислить по формуле:.

Рис. 9.11

Лекция 10

Матрицы и действия над ними

Цель: Изучить понятие матрицы, виды матриц, основные понятия, действия над матрицами и их свойства.

Определение: Система действительных или комплексных чисел (или функций) записанная в виде прямоугольной таблицы называется матрицей содержащая некоторое количество строк истолбцов. Числаиназываются порядком матрицы.

Матрицу записывают в виде:

или

Числа - называются элементами матрицы. Индексыи- указывают на место элемента в матрице:- номер строки,- номер столбца. (,).

Для краткости матрицы иногда записывают в виде: ,,.

Определение: Матрица, у которой число строк равно числу столбцов называется квадратной. Для нее вводится понятие главной и побочной диагоналей. Главная диагональ идет из левого верхнего угла в правый нижний угол. Побочная – из верхнего правого угла в левый нижний.

Виды матриц:

1. Треугольные матрицы: все элементы лежащие выше или ниже главной (побочной) диагонали равны нулю.

Нижняя треугольная верхняя треугольная

2. Диагональные матрицы: ненулевые элементы стоят только на главной диагонали. Т.е. для всех

Особое место среди диагональных матриц занимает единичная матрица:

, ее элементы

3. Симметричные матрицы: все ее элементы симметричны относительно главной диагонали.

4. Матрица, все элементы которой равны нулю называется нуль-матрицей и обозначается

Матрица размерности называется матрицей столбцом, просто столбцом или вектор столбцом.

Матрица размерности называется матрицей строкой, просто строкой или вектор строкой.

Матрица столбец - , матрица строка -.

Определение: матрицы называются равными, если они имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы равны: , для любых.

Операции над матрицами:

Определение. Суммой двух матриц иодинаковой размерности называется матрицатой же размерности, каждый элемент которой равен

(10.1)

(), (матричная запись суммы двух матриц).

Из определения суммы матриц видим, что строки можно рассматривать как координаты векторов и соответственно производить операции над матрицами, как над векторами.

Свойства суммы матриц

1) (коммутативность);

2) (ассоциативность).

Определение. Произведением матрицы на число, называется матрица, элементы которой определяются по формуле:

(10.2)

( .).

Свойства умножения матрицы на число

1) дистрибутивность относительно суммы числовых множителей;

2) дистрибутивность относительно суммы матриц;

3)ассоциативность относительно числового множителя;

4) ;

5);

Определение. Матрица , () называетсяпротивоположной матрице , ().

Определение. Произведением матриц и, называется матрица:

(10.3)

размерности ().

Из формулы видно, что матрицы перемножаются только в том случае, когда число столбцов первой матрицы, совпадает с числом строк второй матрицы.

Формулу (10.3) можно рассматривать как совокупность скалярных произведений вектор-строк матрицы на вектор-столбцы матрицы.

Замечание. Каждый элемент матрицы равен сумме произведений соответствующих элементов строки матрицы, на столбец матрицы. Соответственно количество столбцов матрицыдолжно совпадать с количеством строк матрицы.

Свойства произведения матриц

1) (антикоммутативность);

2) дистрибутивность относительно суммы матриц;

3) ;

Замечание: Если матрицы иобладают тем свойством, что, то такие матрицы называются коммутирующими.

Пусть матрица диагональная матрицей , где

, то для любой квадратной матрицы выполняется свойство.

Свойства нулевой и единичной матриц

1) для любой ;

2) для любой ;

3) для любой.

Определение. Если ненулевая матрица, то матрицаназываетсятранспонированной по отношению к матрице ,

.

Если , то-симметрическая матрица.

Если , то-кососимметрическая матрица.

Свойства операции транспонирования матриц

1) ;

2) ;

3) .

Определение. Действительная квадратная матрица , удовлетворяющая условию, называетсяортогональной матрицей, .

Определение. Следом – квадратной матрицыназывается сумма всех её диагональных элементов:.

Лекция 11

Определители: вычисление и свойства

Цель: Изучить основные понятия темя, методы вычисления определителя, знать и уметь применять его свойства.

Всякую квадратную матрицу можно охарактеризовать числом, которое называется определитель или детерминант и может обозначаться одним из следующих символов: ,,,,

Прежде чем вычислять определитель введем в рассмотрение следующие определения.

Определение. Минором произвольного элементаматрицыразмерностиназывается определитель порядка, полученный из основного определителя матрицы путем вычеркивания- ой строки и-го столбца.

Пример: Для матрицы найти миноры,.

Для вычисления минора вычеркиваем из определителя первую строку и первый столбец. Все, что осталось от определителя есть искомый минор:.

Для вычисления минора вычеркиваем из основного определителя строку с номером два и столбец с номером три:.

Определение: Алгебраическим дополнением элементаматрицы размерностиназывается выражение вида:

(11.1)

Другими словами, алгебраическое дополнение есть минор, взятый со своим знаком. Знаки алгебраического дополнения для матрицы третьего порядка можно записать в виде таблицы .

Теорема (о разложении определителя). Каков бы ни был номер столбца , для определителя порядкасправедлива формула:

(11.2)

Разложения по строке , где -алгебраическое дополнение элемента, -минор элемента матрицы.

Каков бы ни был номер строки , для определителя порядкасправедлива формула:

(11.3)

Разложение по столбцу.

Методы вычисления определителя:

При определитель равен самому элементу, т.е..

При =2:==

.

Правила для вычисления определителя 3-го порядка

1. Правило параллельного переноса.

т.е. дописываем первые два столбца определителя матрицы. Далее суммируем произведения элементов главной диагонали и двух параллельных и вычитаем из них произведения элементов побочной диагонали и двух ей параллельных (над верхними элементами диагоналей проставлены соответствующие знаки).

2. Правило треугольника.

В данном правиле берется произведение элементов главной диагонали со знаком «» и произведение элементов двух параллельных ей диагоналей, которые замыкаются треугольником до углового элемента. Из этой суммы вычитаются произведение элементов побочной диагонали и произведения элементов двух параллельных ей диагоналей, которые замыкаются треугольником до угловых элементов.

Определение: Матрица называется вырожденной или особенной, если ее определитель равен нулю.