Пример: Столбцы

,

являются линейно зависимыми, т.к. существуют такие числа, и, при которых линейная комбинация данных векторов обращается в нуль:

Свойства линейно зависимых строк и столбцов:

1. Система, содержащая нулевой столбец (строку), является линейно зависимой.

2. Система из столбцов (строк) линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из столбцов (строк) раскладывается в линейную комбинацию остальных столбцов (строк) системы.

3. Если система столбцов (строк) содержит линейно зависимую подсистему, то она также линейно зависима.

4. Любая подсистема линейно независимых столбцов (строк) также линейно независима.

Ранг матрицы

Определение. В матрице , минор порядканазывается базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры больших порядков,равны нулю или их вообще нет, т.есовпадает с наименьшим из чиселили.

В матрице может быть несколько базисных миноров, но все они одного порядка.

Определение. Столбцы и строки стоящие на пересечении в базисном миноре называются базисными строками и базисными столбцами.

Определение. Рангом матрицы (обозначается ) называется порядок базисного минора, или самый большой порядок для которого существует отличный от нуля минор.

Следствие. Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля имеет ранг равный ее размерности.

Вычисление ранга.

Метод окаймляющих миноров.

Суть метода заключается в последовательном вычислении миноров по возрастанию их порядка.

Пример: Вычислить ранг матрицы

Решение: Вычислим минор порядка , стоящий на пересечении первых двух строк и столбцов:.

Данный минор равен нулю, выбираем следующий минор порядка ..

Рассмотрим окаймляющие его миноры:

;

При вычислении данного минора, было использовано следствием из свойства определителя: определитель, имеющий пропорциональные столбцы (и), равен нулю.

.

Т.к. является наименьшей из размерностей матрицы. То больше нет необходимости вычислять окаймляющие миноры..

Метод окаймляющих миноров является самым трудоемким методом.

Метод элементарных преобразований матрицы.

Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Доказательство:

1. При умножении строки на число базисный минор либо не измениться, либо умножится на число. Ни один минор равный нулю при умножении на число не сделается отличным от нулю.

2. Если все миноры порядка равны нулю, то сложение строк не сделает их отличными от нуля, значит ранг матрицы не повысится. Он не сможет и понизиться, т.к. в противном случае, при обратном преобразовании (вычитании строк) он бы понизился.

3. при перестановке строк, минор может изменить свой знак, или замениться на минор, не больше чем знаком отличающийся от другого минора той же матрицы, или вообще не измениться.. Ясно, что порядок останется тот же.

4. Неизменность ранга при преобразовании столбцов доказывается аналогично.

Напомним, что к элементарным преобразованиям относятся:

1) умножение строки (столбца) на число отличное от нуля;

2) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца);

3) перестановка строк (столбцов).

Элементарными преобразованиями строк заданную матрицу приводят к треугольному виду. Количество ненулевых строк (хотя бы один элемент отличен от нуля) в полученной эквивалентной матрице, дает нам ее ранг.

Метод нулей и единиц

Элементарными преобразованиями матрицу можно привести к виду, когда ее строки будут содержать нули и не более одной единицы. Т.е. часть строк и столбцов представляют собой единичную матрицу (остальные содержат только нули). Тогда ранг матрицы равен количеству единиц.

В данных преобразованиях (. и.) Ненулевые строки и столбцы есть базисные строки и столбцы. Минор построенный на данных строках и столбцах является базисным минором.

Свойства ранга матрицы.

1. Ранг произведения двух матриц не превосходит ранга сомножителей:

.

2. При умножении произвольной матрицы слева или справа на невырожденную матрицу еёранг не изменяется. Другими словами, если, то.

Теорема: (о базисном миноре) В произвольной матрице каждый столбец является линейной комбинацией базисных столбцов, а каждая стока – линейной комбинацией базисных строк.

Следствие: Если квадратная матрица и, то по крайней мере один из столбцов является линейной комбинацией остальных столбцов, а так же одна из строк является линейной комбинацией остальных строк.

Теорема: (о ранге матрицы) Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк и столбцов в этой матрице.

Следствие: Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов в этой матрице.

Лекция 13

Линейные пространства.

Цель: ознакомится с понятие пространства, базиса, размерности, преобразованием координат.

Определение. Множество элементовx, y, z,.,.. любой природы называется линейным пространством, если выполнены следующие два правила: 1) существует правило, по которому любым , ставится в соответствие ,(сумма);

2) существует правило, по которому любому и для любого - вещественного числа, ставится в соответствие,.

Указанные 2-е операции подчинены следующим аксиомам (- любой):

1. , для ;

2. , для ;

3. Существует нулевой элемент ,, для;

4. для , существует () противоположный, принадлежащий;

5. , где ;

6. , для ;

7. , для ;

8. , ;

9. , .

Примеры конкретных линейных пространств.

1. –-мерное координатное пространство или совокупность строк содержащих– вещественных чисел. Операция сложения и умножения на число определены следующим образом:

а);

б).

Аксиомы 1-8 проверяются элементарно.

2. Множество всех положительных вещественных чисел. Под суммой [x+y]=x*y (будем понимать произведение), а под умножением [λ*x]=x^λ, тогда нулевым элементом множества будет являться 1, а противоположным x, , тогда аксиомы 1-8 легко проверяются.

3. Множество всех положительных вещественных чисел , где сумма и умножение на число определяются стандартным образом [x+y]=x+y, [λx]= λx не является линейным пространством.

4. Аналогично множество всех многочленов степени не является линейным пространством, т. к. сумма может оказаться степени <.

Определение. Линейной комбинацией элементов пространстваназываются выражения вида, где, говорят что-линейно зависимы, если , такие что, а.

- неявляющиеся линейно зависимыми называют линейно независимыми.

Определение. Совокупность линейно независимых элементов пространстваназываетсябазисом этого пространства, если для существуют(вещественные числа), такие, что справедливо равенство, где-координаты (коэффициенты) в базисепространства.

Теорема. При сложении любых двух элементов линейного пространства их координаты (относительно любого базиса) складываются; при умножении произвольного элемента на любые числа α все координаты этого элемента умножаются на α.

Доказательство. Пусть базис ,

и -два элемента.

Тогда в силу аксиом 1-8 ,

.

Определение. Линейное пространство называетсяn-мерным, если в нем существует n-линейно независимых элементов, а любые () элементы уже являются линейно зависимыми,– называютразмерностью и обозначают. Линейное пространствоназываютбесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых элементов.

Теорема. Если , то любые- линейно независимых элементов этого пространства образуют базис.

Если линейное пространство имеет базис, состоящий изэлементов, следовательно,.

Определение (понятие линейного подпространства). Подмножество и удовлетворяющее условиям:

1. если , то;

2. если ;

называется линейным подпространством (или просто подпространством) пространства R.

Определение. Линейной оболочкой элементовназывается совокупность всех линейных комбинаций этих элементов, т. е. множество элементов вида, где(любые действительные числа), линейную оболочку принято обозначать как, ясно, что.равна максимальному числу линейно независимых элементов(которые составляют базис линейной оболочки).

Определение (новое определение ранга матрицы). Ранг произвольной матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (или столбцов) этой матрицы.

Преобразование координат при преобразовании базиса n-мерного линейного пространства

Пусть и- два произвольных базиса-мерного пространстваR, тогда может быть разложен по базису, т. е.

или ,

Умножим каждое уравнение системы на алгебраические дополнения элементовj-го столбца определителя и сложим все уравнения, в результате получаем:

, , для,

, где коэффициенты представляют матрицу равную , т.е. переход от одного к другому базису осуществляется с помощью обратной матрицы ,если .

Утверждение. Если переход от одного базиса к другому осуществляется с помощью невырожденной матрицы , то переход от координат произведения элемента относительно первого базиса к координатам этого элемента относительно второго базиса осуществляется с помощью матрицы.

Евклидово пространство.

Введенные нами линейные пространства существенно отличаются от множества векторов обычного геометрического тем, что в линейном пространстве не определены понятия длины вектора и угла между ними.

Введем понятия длины и угла с помощью скалярного произведения.

Определение. Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного произведения: любым двум векторам ,сопоставлено вещественное число обозначаемоеи удолетворяет условиям:

1. ;

2. ;

3. ;

4. , если .

Следствием из этих аксиом являются:

1) ,;

2) Последовательно применяя аксиомы легко доказать, что для любых векторов и чисел

; .

3) Каков бы ни был вектор , имеем. Действительно, положим Назовем длиной вектораи обозначимчисло

Углом между векторами ,назовем каждое число, удовлетворяющее условию:.

В силу аксиомы длина вектора вещественное неотрицательное число.

С определением величины угла дело обстоит сложнее. Нам предстоит доказать, что выражение в правой части равенства не превосходит единицы т.к. максимальное значение , тоотсюда.

Если известно, что , тогда- неравенство Коши-Буняковсного.

Пусть ,- любые векторы принадлежащие. Для любыхимеем

. Положим ,, то получим, откуда и вытекает требуемое неравенство треугольника

.

Векторы будем называть ортогональными, если для любых,.

Ортонормированный базис.

Определение. Систему векторов в евклидовом пространстве назовем ортонормированной, есликаковы бы ни были номера.

Утверждение. Ортонормированная система векторов линейно независима.

Док-во. Пусть нам дана ортонормированная система векторов. Рассмотрим ее линейную комбинацию: . Из которой вытекает, чтопри произвольном. В самом деле умножим обе части равенства скалярно на. Все слагаемые, кроме-го обратятся в, и мы получим.

Т.о. каждая равная нулю линейная комбинация векторов необходимо тривиальна.

В -мерном евклидовом пространстве существует ортонормированная система извекторов, и эта система является ортонормированным базисом.

Процесс ортогонализации линейно независимых элементов выглядит следующим образом:

,где

,где

где .

Лекция 14.

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Цель: Изучить основные понятия СЛАУ, методы определения количества решений и нахождения последних.

Систему уравнений вида

(14.1)

называют системой m линейных алгебраических уравнений с неизвестными. Коэффициентыназываются коэффициентами системы и записываются в виде матрицы:

(14.2)

числа, стоящие в правых частях уравнений (14.1), образуют матрицу вектор– столбец

(14.3)

называемую столбцом свободных членов.

Матрица системы, дополненная столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы и обозначается (в данной главе)

(14.4)

Если все свободные члены системы тождественно равны нулю, то система называется однородной, в противном случае – неоднородной.

Определение. Решением СЛАУ называется такая совокупность -чиселкоторая при подстановке в систему вместообращает все уравнения системы в тождества.

Прежде чем переходит к решению системы, запишем её в матричном виде. Мы уже вводили матрицу коэффициентов и матрицу – столбец свободных членов, введем матрицу –столбец неизвестных

(14.5)

Найдем произведение матрицы на столбец неизвестных:

по правилу умножения матриц данное произведение представляет собой столбец, состоящий из элементов, которые равны соответствующим левым частям уравнений системы. Из определения равенства двух столбцов следует, что системаравносильна одному равенству между столбцамии. Таким образом, в матричной записи системаравносильна равенству.

Системы называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной если она имеет по крайней мере два различных решения. Приведем пример неопределенной системы.

Данная система является совместной и неопределенной, поскольку у нее имеется, по крайней мере, два различных решения:

1. ;

2. .

СЛАУ называется однородной, если правые части всех уравнений равны нулю, то есть :

Если в СЛАУ хотя бы один из свободных членов отличен от нуля: , то система называетсянеоднородной.

Система называется квадратной, если число уравнений равно числу неизвестных: .

Определение. Решением СЛАУ называется такая совокупность -чиселкоторая при подстановке в систему вместо неизвестныхобращает все уравнения системы в тождества.

СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

СЛАУ называется несовместной, если у нее не существует ни одного решения.

Определение: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора, или число линейно независимых строк (столбцов) матрицы. Обозначается .

Теорема. (Кронекера-Капелли) Для того чтобы СЛАУ являлась совместной (т.е. имела решение) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу основной матрицы системы, т. е. . Причем:

1) если система имеет единственное решение;

2) если система имеет бесконечное множество решений зависящих отсвободных неизвестных.

Следствие. Если , то система несовместна (нет решений).