ЭЛЕКТРОНИКА В ПРИБОРОСТРОЕНИИ
.pdfK yu раз. Аналогично рассмотренному осуществляется сброс и в других
схемах интеграторов.
Интеграторы широко применяют при создании генераторов линейно изменяющегося и синусоидального напряжений, точных фазосдвигающих устройств, обеспечивающих получение 90-градусного фазового сдвига напряжения с погрешностями от минут до десятков минут; в качестве фильтров низких частот и пр.
101
ЛЕКЦИЯ 11. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
11.1 Пассивные дифференцирующие цепи
Дифференцирующие цепи используют тогда, когда требуется преобразовать напряжение заданной формы uвх t в сигнал uвых t , изменяющийся по закону
uвых t m dudtвх ,
где m – коэффициент пропорциональности.
Простейшая дифференцирующая RC-цепь аналогична интегрирующей RC-цепи и отличается только тем, что выходное напряжение снимается не с конденсатора, а с активного сопротивления (рисунок 11.1а). Напряжение на ее выходе
|
|
|
|
|
u |
|
t iR RC |
duc |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
вых |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Напряжение на конденсаторе uс uвх |
uвых . Поэтому |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
du |
|
|
||||
|
|
|
|
|
uвых t RC |
вх |
|
|
|
|
вых |
, |
(11.1) |
|||
|
|
|
|
|
dt |
|
dt |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
если |
|
duвх |
<< |
duвых |
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
uвых t RC |
duвх |
|
, |
|
|
(11.2) |
||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
т.е. RC-цепь успешно выполняет дифференцирование только в этом случае.
Оценим приближенно погрешность, вносимую слагаемым duвых dt
в выражение (11.1), для чего продифференцируем выражение (11.2),
считая d 2uвых 0 : dt2
duвых
dt
RC d 2uвх .
dt2
Подставив в (11.1), получим
102
|
|
dU |
вх |
|
d 2U |
вх |
|
|
||
U |
|
t RC |
|
RC |
|
|
. |
(11.3) |
||
вых |
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
dt |
dt |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, для улучшения дифференцирования надо, чтобы
dUвх |
>> RC |
d 2Uвх |
, |
|
|
||
dt |
|
dt2 |
|
т.е. необходимо уменьшать постоянную времени RC-цепи ( =RC). Это требование противоположно требованию к интегрирующей цепи, где для точного интегрирования нужно увеличивать постоянную времени.
б
а
в
г
Рисунок 11.1 – Схема дифференцирующей RC-цепи (а) и диаграммы изменения напряжения на ее отдельных участках (б, в, г)
Выходной сигнал в дифференцирующей цепи, так же как и в интегрирующей, уменьшается при повышении точности выполнения соответствующего преобразования. Действительно, уменьшение постоянной времени τ дифференцирующей цепи приводит к уменьшению
103
слагаемого RC |
d 2uвх |
в выражении (11.3), вызывающего погрешность |
|
dt2 |
|||
|
|
дифференцирования. При этом уровень выходного сигнала снижается пропорционально уменьшению значения .
При дифференцировании наибольшая погрешность получается в течение времени нарастания (или среза) импульса. Это обусловлено тем, что при указанных процессах вторая производная, выражающая скорость изменения крутизны фронта (или среза), имеет наибольшее значение.
Наименьшая погрешность имеет место в те промежутки времени, в которых скорость изменения входного напряжения uвх постоянна.
Выясним возможности и условия дифференцирования RC-цепью синусоидального изменяющегося напряжения uвх Uвх sin t .
При точном дифференцировании этот сигнал должен изменяться по закону
|
|
|
|
uвых m Uвх cos t Uвых sin |
t |
|
, |
|
|||
|
|
2 |
|
где Uвых m Uвых . |
|
|
|
Таким образом, выходное напряжение должно быть сдвинуто по фазе на 90° относительно входного напряжения. В реальной RC-цепи амплитуда и фаза отличаются от соответствующих значений идеальной дифференцирующей цепи. Выходное напряжение
Uвых
а фазовый угол
где tg 1 RC . tg
Uвх R RCU вх ,
|
1 |
2 |
2 |
C |
2 |
R2 |
|
1 R |
|
|
|
2C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 2
Для того чтобы иметь возможность дифференцировать синусоидально изменяющееся напряжение частотой ω , необходимо выполнить условие RC <<0,25. Однако при этом уменьшается и значение выходного сигнала. Поэтому приходится ограничиваться компромиссным решением, при котором выходной сигнал и фазовая погрешность не выходят за пределы допустимых значений.
104
Если, например, принять RC 0,25 , то фазовая погрешность дифференцирования ψ arctg0,25 14. Такие фазовые искажения вы-
ходного сигнала в ряде случаев общего применения можно считать приемлемыми. При этом значение выходного сигнала мало зависит от
|
|
|
|
|
|
величины RC , так как |
1 2 R2C 2 |
1 0,252 1 , поэтому его |
|||
можно считать близким к теоретическому. |
uвх t активная ширина его |
||||
При дифференцировании импульса |
|||||
спектра (полоса частот, в которой сосредоточено 95 % мощности входного сигнала) ограничена частотой fгр . Если неравенство RC <0,25
выполняется при условии 2fгр , то оно будет обязательно выполняться и при условии f < fгр . Это позволяет исходя из активной ширины спектра fгр определить требования к постоянной времени диф-
ференцирующей цепи:
RC 2fгр RC 0,25 .
Для грубой оценки активной ширины спектра при равных дли-
тельностях фронта tф и среза tс |
импульса tф tс |
можно использовать |
||||
приближенное выражение |
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
Kc |
, |
(11.4) |
|
гр |
tф |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
где значение Kc составляет от 0,2 до 0,4 для импульсов, у которых
tф 0,2 , т.е. для наиболее часто встречающихся. tu
Тогда, подставив значение |
fгр (11.4), получим |
||||
RC 0,25 |
tф |
|
0,25 |
tф |
0,1tф . |
2Kc |
|
2 0,4 |
|||
|
|
|
|
||
Таким образом, постоянная времени дифференцирующей RC-цепи общего применения должна быть примерно в десять раз меньше активной длительности фронта дифференцируемого импульса.
При дифференцировании однополярного импульса uвх t
ходе дифференцирующей цепи образуется двухполярный импульс
uвых (t) K |
duвх |
. Следовательно, длительность выходного импульса |
|
dt |
|||
|
|
напряжения одной какой-либо полярности меньше длительности диф-
105
ференцируемого импульса, и рассматриваемая цепь обеспечивает выполнение операции укорочения.
Пусть на входе RC-цепи (см. рисунок 11.1а) действует идеальный прямоугольный импульс, который приходит в момент времени t=0 (см. рисунок 11.1б). При этом конденсатор C начинает заряжаться, и напряжение на нем изменяется по закону
|
|
|
|
|
|
t |
|
u |
c |
U |
1 |
e |
|
RC . |
|
|
|
вх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зарядный ток i , протекающий через сопротивление R, создает на |
||||||
|
|
|
|
e |
t |
|
|
|
iR U |
|
|
|
|
выходе RC-цепи экспоненциальный импульс u |
вых |
вых |
RC |
по- |
||
ложительной полярности, который полностью затухает до окончания действия входного импульса. После окончания входного импульса равновесие, достигнутое в цепи ( Uвх uC ), нарушается. Происходит
разрядка конденсатора через резистор R и источник импульсов. Выходной импульс отрицательной полярности, возникающий при разрядке конденсатора, отличается от рассмотренного только полярностью.
Таким образом, при укорочении прямоугольного импульса на выходе цепи получаются экспоненциальные импульсы напряжения положительной и отрицательной полярности, высота которых равна высоте входных импульсов Uвх tu RC . Длительность выходных импульсов
определяется постоянной времени . Если ее измерять на уровне 0,1Uвых max RC tu , то она определяется из выражения
t 2,3 2,3RC .
u
Иногда активную длительность импульса измеряют на уровне
0,5Uвых max :
t 0,7 0,7RC .
ua
Постоянную времени дифференцирующей цепи при ее использовании для укорочения импульсов выбирают значительно большей, чем при выполнении операции точного дифференцирования. Ее значение находят исходя из требуемой активной длительности импульса, опре-
деленной на уровне 0,5Uвых max . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если t |
ф |
RC 5t |
ф |
, то |
t |
t |
a |
0,8RC . При условии |
RC 5t |
ф |
||
|
|
|
ua |
|
|
|
|
|
||||
активная длительность импульса |
t |
1,5t |
ф |
0,7RC . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
ua |
|
|
|
|
|
|
В реальных случаях приходится учитывать внутреннее сопротивление Rг источника, к которому рассматриваемая цепь подключена
106
(рисунок 11.2а). При этом характер процессов в RC-цепи не меняется. Однако увеличение активного сопротивления цепи ( R Rн Rг ) при-
водит к возрастанию постоянной времени RC Rн Rг C . Это
ограничивает возможность получения коротких импульсов. Кроме того, уменьшаются зарядный и разрядный токи i конденсатора, что приводит к уменьшению выходного напряжения uвых iRн . Максимальное значение выходного напряжения находят из уравнения
Uвыхmax Uвх R Rн R . н г
а
б |
в |
Рисунок 11.2 – Схема RC-цепи, в которой учтено сопротивление источника сигнала (а); схема паразитной емкости нагрузки
и монтажа (б), график, поясняющий влияние паразитной емкости на форму импульса (в)
При необходимости уменьшить длительность импульса при заданном сопротивлении Rг целесообразно уменьшать емкость конден-
сатора С, а не сопротивление Rн . Это вызвано тем, что уменьшение сопротивления Rн приводит к снижению выходного сигнала.
Возможности уменьшения емкости конденсатора С ограничены возрастающей ролью паразитной емкости СП , шунтирующей сопротивление нагрузки Rн (рисунок 11.2б).
107
Паразитная емкость СП играет роль только во время быстрых пе-
реходных процессов, связанных с формированием фронта и среза выходного импульса. В течение времени их протекания напряжение на относительно большой по сравнению с величиной СП емкости С не
успевает значительно измениться, и емкость СП выполняет роль интегрирующего конденсатора в RC-цепи. Наличие ее приводит к тому, что форма импульса Uвых , полученного после укорачивания, сильно
искажается (рисунок 11.2в).
Таким образом, уменьшать постоянную времени RC-цепи за счет уменьшения емкости С можно только в определенных пределах. При этом стремятся, чтобы выполнялось неравенство
C Cmin (3...4)CП .
Это ограничение показывает, что в реальной укорачивающей цепи нельзя получить очень короткий импульс.
В качестве рабочего обычно используют импульс какой-то одной определенной полярности, например, положительной. В этом случае отрицательный импульс является паразитным, и для его устранения параллельно сопротивлению нагрузки включают полупроводниковый диод, имеющий малое сопротивление в прямом направлении.
11.2 Активные дифференцирующие устройства
Недостатки простейших дифференцирующих цепей могут быть частично устранены при использовании операционного усилителя. При этом схема дифференцирующего устройства напоминает интегратор, только места включения резистора и конденсатора изменены (рису-
нок 11.3а).
При идеальном операционном усилителе передаточную функцию дифференцирующего устройства легко найти исходя из следующих рассуждений.
Если на входные зажимы подано напряжение Uвх , то в связи с
малым отличием от нуля потенциала инвертирующего входа идеализированного операционного усилителя оно практически полностью приложено к конденсатору C и вызывает появление тока зарядки ic C dudtвх .
108
а |
б |
в
Рисунок 11.3 – Схема идеализированного дифференцирующего устройства (а); схема дифференцирующего устройства, применяемого на практике (б), и его ЛАЧХ (в)
Так как входное сопротивление операционного усилителя достаточно велико, то весь ток конденсатора C протекает через резистор R , т.е. iR ic 0 , откуда
iR ic C duвх . dt
Выходной сигнал определяют падением напряжения на резисторе
uвых iR RC |
duвх |
. |
(11.5) |
|
|||
|
dt |
|
|
Из уравнения (11.5) можно найти передаточную функцию рассматриваемого устройства в операторном виде
K( p) uвых ( p) pRC . uвх ( p)
На практике такая передаточная функция не может быть реализована из-за ограниченной полосы пропускания и конечного коэффициента усиления операционного усилителя. Кроме того, соответствующий анализ показывает, что простейшая схема дифференцирующего устройства на операционном усилителе может самовозбудиться из-за
109
спада коэффициента усиления реального операционного усилителя на высоких частотах и дополнительных фазовых сдвигов, вносимых цепью обратной связи. Представляет опасность и значительное усиление, свойственное цепи с операционным усилителем при данной схеме включения на достаточно высоких частотах. Это обусловлено тем, что высокочастотные составляющие спектра собственного шума операционного усилителя после значительного усиления накладываются на полезный продифференцированный сигнал и искажают его.
Поэтому на практике применяют модифицированную дифференцирующую схему (рисунок 11.3б), которая дифференцирует сигналы
до частоты 1 |
|
|
1 |
|
, выполняет функции усилителя в диапазоне час- |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
R1C1 |
|
|||
тот от 1 до |
2 |
|
1 |
и является интегратором на частотах выше |
|||
|
|
||||||
R2C2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
2 (рисунок 11.3в).
Для нормальной работы дифференцирующей цепи параметры элементов необходимо выбирать так, чтобы спад усиления операцион-
ного усилителя начинался после частоты 3 |
1 |
в |
. Это позволя- |
|
|
||||
R2C2 |
||||
|
|
|
ет устранить влияние собственной полосы пропускания операционного усилителя на участке частот, где осуществляется интегрирование.
Таким образом, и при применении операционного усилителя точное дифференцирование сигнала затруднено. Реальное дифференцирующее устройство представляет собой пропорциональное интегри- рующее-дифференцирующее звено.
При необходимости обеспечить дифференциальный вход можно использовать устройство (рисунок 11.4а), которое аналогично рассмотренному ранее. У дифференцирующего устройства выходное напряжение будет:
uвых R2C d (uвх 2 uвх1 ) .
dt
Для снижения уровня высокочастотных шумов иногда применяют дифференцирующее устройство, схема которого представлена на рисунке 11.4б. В нем используется интегратор, выполненный на операционном усилителе DA1. Его сигнал вычитается из входного сигнала в операционном усилителе DA2. При резких изменениях напряжения Uвх на выходе операционного усилителя DA2 появится сигнал, про-
порциональный его приращению. В статическом режиме при Uвх const
110