3. Разветвленные цепи.

ПРАВИЛА КИРХГОФА

Расчет любой разветвленной цепи можно произвести, пользуясь двумя правилами Кирхгофа. Первое из них относится к узлам цепи. Узлом называется точка, в которой сходятся более чем два проводника (рис. 12). Считается, что ток, текущий к узлу, имеет один знак («плюс» или «минус»), а ток, текущий от узла, – другой знак («минус» или «плюс»). Первое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

. (71)

Второе правило относится к любому выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру (рассмотрим, например, контур АВСDА, представленный на рис. 13). Если мысленно обойти контур в некотором направлении (например, по ходу часовой стрелки, как показано на рис. 13), то получим соотношение, определяющее второе правило Кирхгофа:

(72)

т. е. алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения (с учетом падения напряжения на внутренних сопротивлениях источников) в этом же контуре.

Рис. 12 Рис. 13

При решении задач на расчет разветвленной цепи необходимо:

1) произвольно выбрать и указать стрелкой направление тока на каждом участке цепи;

2) если в цепи N узлов, записать первое правило Кирхгофа для Z (Z = N – 1) узлов (например, если узла два, то записывают первое правило только для одного произвольно выбранного узла);

3) мысленно выделить М независимых замкнутых контуров в цепи (контур – это любая замкнутая часть электрической цепи, не имеющая самопересечений; число независимых контуров M = P – N + 1, где Р – общее число ветвей в цепи, N – число узлов); произвольно выбрать направление обхода каждого из этих замкнутых контуров (по ходу часовой стрелки или против);

4) для каждого контура применить второе правило Кирхгофа, выполняя следующие требования: если направление тока совпадает с направлением обхода контура, то падение напряжения записывают со знаком «плюс», если не совпадает – со знаком «минус»; ЭДС, которые повышают потенциал в направлении обхода контура (в направлении от отрицательного полюса к положительному внутри источника), принимают со знаком «плюс»; ЭДС, которые понижают потенциал в направлении обхода контура (в направлении от положительного полюса к отрицательному внутри источника),  со знаком «минус»;

5) определить число независимых уравнений, которые могут быть составлены на основе первого и второго правил Кирхгофа, это число находится сложением чисел Z и M: , т. е. равно числу ветвей цепи или числу различных токов в рассматриваемой электрической цепи.

Полученная система уравнений имеет решение, если число независимых уравнений будет равно числу неизвестных; решить систему можно методом Гаусса либо методом Крамера.

Если в полученном ответе сила тока на каком-то участке цепи будет отрицательной, то это означает, что в действительности ток течет на этом участке в противоположном направлении.

3.1. Пример решения задачи

Задача 6. Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов и трех сопротивлений (рис. 14). В этой цепи R₁ = 100 Ом; R₂ = 50 Ом; R₃ = 20 Ом; ₁ = 2 В; ₂ = 4 В. Определить силу тока во всех участках цепи. Сопротивлением гальванометра и внутренним сопротивлением элементов пренебречь.

Дано: R1 = 100 Ом; R2 = 50 Ом; R3 = 20 Ом; 1 = 2 В; 2 = 4 В
Найти: I1, I2, I3

Решение.

Для расчета разветвленных цепей применим правила Кирхгофа. В каждом контуре (см. рис. 14) выберем (произвольно) и укажем направление тока. Условимся обходить контуры по ходу часовой стрелки. В цепи есть два узла – F и D (т. е. N = 2). Значит, первое правило Кирхгофа можно записать только для одного из них (т. е. ).По первому правилу Кирхгофа для узла D имеем:

I₁  I₂  I₃ = 0, (73)

где ток I₁ взят со знаком «плюс», поскольку течет к узлу D, a токи I₂ и I₃ – со знаком «минус», так как они текут от узла.

Так как в цепи всего три ветви: FABCD (первая), DMKF (вторая), FD (третья) (т. е. Р = 3), а в решении записано всего одно уравнение, то необходимо записать еще два уравнения.

По второму правилу Кирхгофа для контура ABCDFA имеем:

I₁R₁  I₂R₂ = ₁; (74)

для контура FDMKF –

I₁R₁ + I₃R₃ = ₂. (75)

Подставим данные задачи в уравнения (74), (75), получим систему линейных уравнений:

I₁  I₂  I₃ = 0;

100I₁ – 50I₂ = 2; (76)

100I₁ – 50I₃ = 4.

Упростим систему (76):

I₁  I₂  I₃ = 0;

50I₁ + 25I₂ = –1; (77)

25I₁ + 5I₃ = 1.

Решим систему (77) методом Крамера. Составим и вычислим определитель  системы (77):

Составим и вычислим определители при неизвестных ₁, ₂, ₃:

Найдем численные значения токов:

I₁ = ₁/; I₁ = 310^2 А;

I₂ = ₂/; I₂ = –210^2 А;

I₃ = ₃/; I₃ = 510^2 А.

Проверим решение задачи. По первому правилу Кирхгофа

I₁  I₂  I₃ = 0; (78)

Подставим в уравнение (78) численные значения:

310^2 = –210^2 + 510^2.

Равенство справедливо.

Ответ: I₁ = 310^2 А; I₂ = –210^2 А; I₃ = 510^2 А.