2.1. Примеры решения задач

Задача 3. Напряжение на шинах электростанции равно 10 кВ, расстояние до потребителя составляет 400 км. Станция должна передать потребителю мощность 100 кВт. Потери напряжения в проводах не должны превышать четырех процентов. Вычислить массу медных проводов на участке «электростанция – потребитель» (рис. 9).

Дано:	Решение. Массу m проводов можно рассчитать, зная плотность меди  и объем V проводов: т = V. (40) Считая, что провода имеют цилиндрическую форму с пло-щадью сеченияS, а также что их длина вдвое больше расстояния ℓ, найдем объем проводов:
U0 = 104 В; ℓ = 4105 м; Р = 105 Вт; = 0,04;  = 8900 кг/м3; е = 1,7108 Омм
Найти: m

V = 2ℓS. (41)

Площадь S можно будет определить, если известно сопротивление проводов R, которое рассчитывается по формуле:

R = _е (42)

Решив совместно уравнения (40) – (42), найдем массу проводов:

m = (43)

В уравнении (43) все величины, кроме сопротивления R проводов, известны, поэтому дальнейшее решение сводится к его определению. Как видно из рис. 9, провода и нагрузка включены последовательно, и сила тока в них всюду одинакова, поэтому напряжение на шинах определяется по уравнению:

U₀ = U + U_н, (44)

где U и U_н – напряжение на проводах и нагрузке.

Используя закон Ома и условие, что потери напряжения не должны превышать п процентов, для напряжения на проводах можно записать:

U = RI; (45)

U = nU₀. (46)

Получаемая потребителем мощность

Р = IU_н. (47)

Подставив уравнения (44) и (46) в формулу (47), найдем:

R = (48)

Определим массу проводов, решая совместно уравнения (48) и (43):

m = (49)

Произведем численные расчеты по формуле (49) и получим:

m = 2,52210⁶ кг.

Ответ: m = 2,52210⁶ кг.

Задача 4. Спираль электрического чайника разделена на две секции, одна из которых имеет сопротивление 10 Ом. Найти сопротивление второй секции, если при параллельном включении секций в сеть вода вскипает в четыре раза быстрее, чем при последовательном. Начальную температуру воды считать одинаковой.

Дано:

R1 = 10 Ом; n = 4

Найти: R2

Решение.

Если начальная температура воды в секциях одинаковая, то для того чтобы довести воду до кипения (независимо от числа нагревателей и способов их включения) необходимо затратить количество теплоты:

. (50)

При переключении секций нагревателя сила тока в них меняется, но остается неизменным напряжение, подаваемое на прибор (если внутренним сопротивлением источника и подводящих проводов пренебречь). Для расчета теплового действия тока воспользуемся законом Джоуля-Ленца. При последовательном соединении секций за время ₁ выделится количество теплоты Q, необходимое для нагревания воды до кипения:

Q = (51)

При параллельном соединении секций их общее сопротивление рассчитаем по формуле:

(52)

такое же количество теплоты выделится за время ₂ 

Q = (53)

По условию задачи при параллельном включении секций вода закипит в n раз быстрее, чем при последовательном, т.е.

₁ = п₂. (54)

Разделим уравнение (51) на формулу (53) и с учетом выражения (54) получим:

(55)

Преобразовав уравнение (55), запишем квадратное уравнение относительно R₂:

–(п – 2)R₁+ =0. (56)

Решим уравнение (56):

R₂ = R₁ (57)

Подставим данные задачи в формулу (77), получим:

R₂ = R₁ = 10 Ом.

Ответ: R₂ = 10 Ом.

Задача 5. В сеть из медного провода сечением 5 мм² требуется включить свинцовый предохранитель. Какого сечения необходимо взять предохранитель, чтобы при нагревании сети более чем на 10°С он расплавился? Начальная температура свинца равна 27°С, температура плавления свинца – 327°С. Считать, что вся электрическая энергия идет на нагревание проводов.

Дано:

S1 = 5106 м2; T1 = 10 K; T0 = 300 K; T = 600 K; е1 = 1,7108 Омм; е2 = 21108 Омм; c1 = 400 Дж/(кгК); c2 = 140 Дж/(кгК); 1 = 8900 кг/м3; 2 = 11350 кг/м3;  = 24,3103 Дж/(кгК); ℓ = 1 м

Найти: S2

Решение.

Плавкие предохранители включаются в сеть последовательно, и сила тока в них такая же, как и в проводах сети. Размеры предохранителя следует подобрать так, чтобы он расплавился и разомкнул цепь, как только сила тока в проводах превысит допустимую. Основным расчетным соотношением служит закон Джоуля-Ленца.

Допустим, по проводам идет ток силой I, сопротивление медной проволоки равно R₁ и за время  проволока нагревается на T₁ градусов, тогда на наг-ревание проводов будет израсходована электрическая энергия, которая рассчитывается по формуле:

= I²R₁. (58)

Внутренняя энергия проводов возрастает при этом на величину

= с₁m₁T₁, (59)

где с₁  удельная теплоемкость меди; m₁ – масса проводов.

По закону сохранения энергии = , т. е.

I²R₁ = с₁m₁T₁. (60)

Массу и сопротивление проводов рассчитаем через плотность меди ₁, длину проводов ℓ, сечение S₁ и удельное сопротивление ₁:

m₁ = ₁S₁ℓ; (61)

R₁ = _е1. (62)

Подставив выражения (61) и (62) в формулу (60), получим:

= ₁с₁S₁T₁. (63)

Рассмотрим теперь предохранитель массой т₂ и сопротивлением R₂, по которому течет ток силой I. За то же время  предохранитель нагреется на Т₂ и в нем выделится количество теплоты

= I²R₂, (64)

которая идет на нагревание и плавление предохранителя:

= с₂m₂T₂ + m₂, (65)

где с₂ и  – удельные теплоемкость и теплота плавления свинца; T₂ = (T – Т₀).

Если пренебречь потерями энергии, то = , т. е.

I²R₂ = с₂m₂T₂ + m₂. (66)

Если плотность свинца равна ₂, удельное сопротивление составляет _е2, длина предохранителя равна ℓ₂ и сечение равно S₂, то масса и сопротивление предохранителя вычисляются по формулам:

m₂ = ₂S₂ℓ₂; (67)

R₂ = _е2. (68)

Подставим выражения (67) и (68) в уравнение (66) и после сокращения на ℓ₂ получим:

= ₁S₁(с₂T₂ +). (69)

Разделим уравнение (66) на формулу (60) и после несложных преобразований имеем:

S₂ = S₁ (70)

Подставим данные задачи в уравнение (70), получим:

S₂ = 3,8210^6 м².

Ответ: S₂ = 3,8210^6 м² = 3,82 мм².