- •Неопределенный интеграл
- •Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла
- •Дополнительно
- •Простейшие правила интегрирования
- •Интегрирование методом замены переменной
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Заключительные замечания
- •Библиографический список
-
Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида , где - рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных дробей с помощью следующих подстановок:
1) универсальная тригонометрическая подстановка . Она часто приводит к громоздким вычислениям. Поэтому в ряде случаев применяют более удобные подстановки:
2) , если , т.е. подынтегральная функция нечетная относительно ;
3) , если , т.е. подынтегральная функция нечетная относительно ;
4) , если , т.е. подынтегральная функция четная относительно и .
Для удобства сведем эти подстановки в табл. 2.
Таблица 2
Таблица тригонометрических подстановок
Интегралы вида при нечетных или вычисляется с помощью подстановки 2 или 3. Если и четны, то можно воспользоваться подстановкой 4. Однако, если и неотрицательны, то эта подстановка приводит к громоздким вычислениям. В этом случае применяются следующие формулы понижения степени:
; (15) ; (16) ; (17)
; (18) ; (19)
. (20)
Формулы (18)-(20) используются также для интегрирования произведений тригонометрических функций с различными аргументами.
Примеры
1) . Подынтегральная функция рационально зависит от и , поэтому
применим подстановку . Выражения для , и через возьмем из табл. 2.
.
2) . Перепишем подынтегральное выражение следующим образом: . Легко увидеть, что подынтегральное выражение нечетное относительно . Поэтому применяем подстановку :
.
3) . Здесь - нечетное число, поэтому далее делаем подстановку :
.
4) . Подынтегральное выражение четно как относительно , так и , поэтому применяем подстановку :
.
5) . Здесь - четные неотрицательные числа. Воспользуемся формулами понижения степени и (15)-(17) за счет удвоения угла:
.
6) . Воспользуемся формулой (4).
.
-
Интегрирование иррациональных функций
Интегралы вида , где означает рациональную функцию от двух аргументов; - натуральные числа; - постоянные. Указанный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции заменой или , откуда и .
Интегралы вида где - рациональная функция; - целые числа. Указанный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции с помощью подстановки , где - наименьшее общее кратное чисел (общий знаменатель дробей ), отсюда .
Интегралы вида , где - рациональная функция. Подстановка преобразует интеграл к одному из следующих трех типов (см. табл.3).
Таблица 3
Таблица иррациональных подстановок
Вид подынтегрального выражения |
|
|
|
|
|
||
|
|||
Подстановками из табл. 3 эти интегралы соответственно приводятся к интегралам вида .
О других способах вычисления интегралов данного вида см. в [2] и [3].
Интегралы от биномиальных дифференциалов имеют вид: , где - любые постоянные, не равные нулю; - рациональные числа; - несократимые дроби. Интеграл выражается через элементарные функции только в трех случаях, сведенных в табл. 4.
Таблица 4
Таблица интегрирования биномиальных дифференциалов
Характеристика случая |
Замена |
t |
dx |
|
целое |
, где |
|
|
|
целое |
|
|
||
целое |
|
Примеры
1) . К цели приводит замена . Продифференцируем замену , отсюда . Подставляем:
.
2) . Подынтегральная функция является рациональной относительно . Здесь . Наименьшее общее кратное . Следовательно, нужно сделать подстановку :
Поделив числитель на знаменатель «уголком»
,
получаем:
.
3) . Сделаем замену: : . Произведем теперь замену: ; .
4) . Это интеграл от биномиального дифференциала. Здесь Поскольку - целое число, сделаем замену: . Таким образом, .
5) . Это интеграл от биномиального дифференциала. Здесь . Поскольку - целое число, сделаем замену: ; получим: . Интеграл
вычислим как интеграл от рациональной дроби. Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби, предварительно разложив на множители знаменатель:
. Имеем: , приведем правую часть к общему знаменателю и, отбросив его, получим:
. (21)
Полагая в (21) последовательно и , получим: , откуда . Приравнивая в (21) коэффициенты при , получаем: , подставив в последнее равенство найденные значения и , имеем: . Итак, получаем:
.
6) . Хотя интеграл не подпадает ни под один из п. 1-4, тем не менее, он сводится к сумме интегралов из п. 2:
. Имеем:
.
Аналогично вычисляется и второй интеграл. Просуммировав их, окончательно получим:
.