- •Неопределенный интеграл
- •Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла
- •Дополнительно
- •Простейшие правила интегрирования
- •Интегрирование методом замены переменной
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Заключительные замечания
- •Библиографический список
-
Интегрирование по частям
Пусть и - непрерывно дифференцируемые функции от , тогда имеет место формула:
, (6) которая выражает правило интегрирования по частям. С помощью (6) вычисление интеграла сводится к нахождению интеграла , который должен быть проще исходного либо ему подобным.
Порядок вычислений:
1) все подынтегральное выражение разбить на две части: одну обозначить через , другую – через ;
2) вычислить дифференциал от функции по формуле и функцию , интегрируя
3) применить формулу интегрирования по частям;
4) вычислить интеграл и записать окончательный ответ.
Основные типы интегралов, берущихся по частям
1-й тип – интегралы вида: , , , , где - многочлен. В этом случае обозначается через : , а , , или обозначается через .
2-й тип – интегралы вида: , , , где - некоторое (необязательно рациональное) выражение от , а - некоторая функция от .
В этом случае через обозначается выражение вида , , , а - через . Требуется, чтобы интеграл брался в конечном виде. Иногда в этом случае , тогда .
3-й тип – интегралы вида , , , - циклические интегралы. В этом случае, положив, например, или , а выражение или через , проинтегрировав по частям, один из этих интегралов выразим через другой. Применив еще раз формулу интегрирования по частям, полученный интеграл сведем к первоначальному. Таким образом, получаем уравнение относительно исходного интеграла, из которого он и определится. К этому же типу относятся интегралы , .
Примеры
1) . Это интеграл I типа. Поэтому положим . Отсюда , а (при нахождении функции произвольную постоянную во внимание можно не принимать). Применяя формулу интегрирования по частям, получим: .
Иногда формулу интегрирования по частям приходится применять два раза и более.
2)
Интегралы вида или сводятся к интегралам первого типа с помощью формул тригонометрии:
3) .
Первый из интегралов правой части – табличный, второй берется аналогично интегралу из примера 1:
Окончательно получили:
4) Это интеграл 2 типа. Здесь , а . Отсюда , а . Подставляя в формулу (6), имеем:
5)
6) . Этот интеграл относится к 3 типу.
.
Сравнивая левую и правую части равенства, получим уравнение, из которого находим значение искомого интеграла: 0000
По частям также берутся некоторые интегралы, не относящиеся к вышеперечисленным трем типам.
7) .
-
Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется дробь вида , где и - многочлены.
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае дробь называется неправильной.
Простейшими называются правильные дроби вида:
1) , где - целое число и ;
2) , где , т.е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней, - целое число и .
Интегралы от простейших дробей вычисляются по формулам:
1) ;
2) ;
3) вычисляется с помощью подстановки или по формуле: .
4) заменой приводится к виду: , где . (7)
Первый из интегралов легко вычисляется:
. Второй из интегралов вычисляется по рекуррентной формуле: . Эта формула сводит вычисление интеграла к вычислению интеграла с меньшим на единицу номером. При . Например, .
Подставив найденные значения интегралов в формулу (7) и возвратившись к старой переменной по формуле , вычислим интеграл.
Интегрирование любой рациональной дроби сводится к разложению данной дроби на простейшие и интегрированию простейших дробей и многочленов. Порядок вычисления следующий:
1) если дана неправильная дробь, то выделить из нее целую часть, многочлен , и остаток , поделив числитель на знаменатель «уголком»;
2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители [6, с. 58-61]:
, где - действительные корни уравнения ; - квадратные трехчлены, не имеющие действительных корней;
3) правильную рациональную дробь разложить на простейшие:
;
4) вычислить неопределенные коэффициенты , для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях и решить полученную систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Коэффициенты можно также найти, придавая различные числовые значения;
5) проинтегрировать слагаемые многочлена и полученные простейшие дроби.
В результате интеграл от рациональной дроби сумме интеграла от многочлена и интегралов от простейших дробей.
Примеры 1) , здесь , поскольку , подынтегральное выражение представляет собой простейшую дробь. Интеграл вычисляется с помощью подстановки :
2) . Подынтегральное выражение представляет собой правильную дробь, поэтому выделять целую часть не нужно. Разложим знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:
, разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби: , (8)
приведем правую часть равенства (8) к общему знаменателю и отбросим в полученном равенстве знаменатели. В результате будем иметь: .(9)
Подставим в (9) , получим (при второе и третье слагаемые правой части равенства (9) обращаются в нуль), отсюда .
Аналогично подставив в (9) последовательно и , получим: , отсюда ; , отсюда .
Подставив найденные значения в (8) и проинтегрировав, окончательно получим:
3) . Разложим знаменатель на множители. Для этого решим биквадратное уравнение: . Отсюда или . Итак, числитель и знаменатель раскладывается на линейные и квадратичные множители следующим способом: . Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби: , (10)
приведем в равенстве (10) правую часть к общему знаменателю и отбросим его. Получим:
, (11) подставив последовательно и в (11), получим: , откуда и , откуда .
Поскольку в левой части равенства (11) нет коэффициента при , а в правой части коэффициент при равен , поэтому получим: , откуда .
Подставим теперь в (11): , подставим в последнее равенство найденные значения и , получим . Итак,
.
4) .
Поскольку рациональная дробь неправильная, приходится делить многочлен на многочлен «уголком»:
Получим частное и остаток . Следовательно,
. (12)
Разложим знаменатель на множители: . Множителю соответствует сумма дробей , а соответствует . Итак,
(13)
Приведем правую часть равенства (13) к общему знаменателю и отбросим его:
. (14)
Раскроем в правой части равенства (14) скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях : ; ;
;
;
.
Из этой системы последовательно находим: ; подставив найденные значения в (13) и проинтегрировав каждое слагаемое, имеем:
.