- •1.1. Нормальный закон распределения наработки до отказа объектов.
- •1.2 Гамма - распределения наработки до отказа объектов.
- •1.3 Экспоненциальный закон распределения наработки до отказа объектов.
- •2. Определение оптимальных по условиям безотказности режимов работы объекта
- •2.1 Расчет и анализ измерения относительного параметра потока отказа.
- •Определение вероятности отказов объектов с недетерминированными рабочими свойствами и нагрузкой
- •Прогнозирование изменения показателей надежности на перспективу
- •3.1 Прогнозирование изменения параметра потока отказа.
- •Прогнозирование усиления ремонтной базы по неплановому ремонту.
- •4. Надежность систем
- •4.1. Определение исходных параметров.
- •4.2 Расчет безотказности блока (элемента системы), подсистемы, системы с общим и раздельным резервированием.
- •4.3. Определение количества объектов, достигающих установленной наработки.
- •4.4. Оценка структурной надежности систем.
- •4.5. Влияние вида отказа на работоспособность системы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА И ФОРМУЛЫ ЗАКОНА
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАРАБОТКИ ДО ОТКАЗА
1.1. Нормальный закон распределения наработки до отказа объектов.
Для определения вида закона распределения и для расчета оценок и параметров на основе данных об отказах в данной работе применяется метод моментов.
Исходные данные:
Таблица 1. – Статистический материал.
314 |
778 |
610 |
770 |
34 |
126 |
535 |
416 |
63 |
301 |
683 |
465 |
127 |
619 |
458 |
142 |
69 |
181 |
101 |
627 |
693 |
256 |
544 |
700 |
418 |
123 |
357 |
791 |
297 |
630 |
299 |
646 |
322 |
421 |
468 |
514 |
760 |
350 |
752 |
516 |
218 |
300 |
277 |
379 |
135 |
626 |
658 |
311 |
465 |
512 |
550 |
294 |
327 |
672 |
398 |
330 |
351 |
635 |
282 |
394 |
635 |
222 |
376 |
295 |
688 |
471 |
190 |
335 |
383 |
548 |
223 |
610 |
379 |
197 |
154 |
290 |
537 |
413 |
226 |
450 |
539 |
485 |
348 |
215 |
567 |
581 |
452 |
205 |
471 |
459 |
240 |
374 |
565 |
479 |
450 |
537 |
540 |
299 |
543 |
289 |
По данным таблицы 1 находим максимальное значение – 778 000 км, округляем максимальное значение до 800 000 км, число интервалов kпринимаем за 10 и находим ширину интервала в натуральных единицах измерения:
Δl= максимальное значение/k; (1.1)
Δl= 800 000/10 = 80000 км.
Производим разбиение исходных данных на интервалы с шириной интервала
Δl= 80000 км и k = 10.
Разложив в порядке возрастания наработки до отказа n объектов, получаем вариационный ряд, затем подсчитываем число случаевmjпопадания пробега до отказа в каждыйj– й интервал. Для обработки больших массивов данных высокого порядка целесообразно провести кодирование измерения пробега условной единицей, связанной с натуральным показателем уравнением (ключом):
(1.2)
где lj– значение пробега для серединыj– го интервала;
Δl – ширина интервала в натуральных единицах измерения наработки;
xj– условная единица измерения пробега.
Частота отказов (частость) в j– м интервале пробега определяется по формуле:
(1.3)
где mj – число попаданий значения пробега до отказа в j– й интервал;
n– общее число объектов.
Начальные статические моменты рассчитываются по формулам:
, (1.4)
. (1.5)
Математическое ожидание и дисперсию можно связать с начальными статистическими моментами по формулам:
, (1.6)
. (1.7)
Найдем математическое ожидание и дисперсию:
mx= 0,6
ν2xj =5,56
Далее переходим к натуральным величинам по формулам:
, (1.8)
. (1.9)
ml= 360 000 + 0,6 · 80 000 = 408 000 км
σl= 2,3 · 80 000 = 182 428 км
Нормальный закон (1.10)
Исходя из выше записанных данных нормальный закон распределения для данного статистического материала выглядит так:
Для нормального закона определяем доверительный интервал по формуле:
, (1.11)
где ,- коэффициент значимости (принимаем равным 0,05)
=100-1=99.
Величина принимается для всех трех законов одинаковой.
В результате получаем интервал:
Наносим данный интервал на рисунок 1.
Аргумент функции Лапласа рассчитывается по формуле:
, (1.12)
где - соответственно начало и конец принятого интервала.
Для 1-го интервала получим:
для второго и последующих интервалов повторяем операцию.
Значения функции Лапласа находим по таблице-приложении П.2.5. Статистическую вероятность отказа объекта по нормальному закону определяем по выражению:
(1.13)
Для 1-го интервала получим:
по таблице П.2.5: Ф(-2,236498) = -0,48713; Ф(-1,797969) =-0,46327.
по формуле (1.13): Р1= -0,46327- (-0,48713) = 0,0239;
Р1=0,0239· 100 =2,39.
остальные рассчитываются аналогично.
Полученные данные заносим в соответствующие колонки таблицы 2 и производим расчет для остальных интервалов.
Проверку правильности расчета и выбора закона распределения наработки до отказа производим по компонентам критерия согласия .
Требуется определить табличное и расчетноезначения. Если, то закон выбран, верно.
Расчетное значение критерия согласия рассчитываем по формуле:
, (1.14)
Повторяем расчет для интервалов и заносим в таблицу 2, находим затем сумму всех этих значений.
.
Табличное значение критерия согласия находим из условия:
, (1.15)
где ;
- степень свободы.
Степень свободы в данном случае можно принять как
, где- количество параметров в законе (для нормального закона=2).
Для нашего случая получим: ,
.
Закон выбран, верно, т.к. ,.
Рисунок 1. – Графики нормального теоретического и эмпирического распределения наработки до отказа.
Таблица 2. – Определение закона распределения наработки до отказа.
№ интер-вала j |
Δl,103 км |
lj, 103км |
Начальный статический момент |
Аргумент функции Лапласа |
Значение функции Лапласа |
Pj |
nPj |
χ2j |
f(l) Δl | ||||||
ν1xj |
ν2xj |
tн |
tк |
Ф(tн) |
Ф(tк) | ||||||||||
1 |
0-80 |
40 |
-4 |
3 |
0,03 |
-0,12 |
0,48 |
-2,23650 |
-1,79797 |
-0,48713 |
-0,46327 |
0,0239 |
2,39 |
0,16 |
0,02 |
2 |
80-160 |
120 |
-3 |
7 |
0,07 |
-0,21 |
0,63 |
-1,79797 |
-1,35944 |
-0,46327 |
-0,41149 |
0,0518 |
5,18 |
0,64 |
0,05 |
3 |
160-240 |
200 |
-2 |
10 |
0,1 |
-0,2 |
0,4 |
-1,35944 |
-0,92091 |
-0,41149 |
-0,32121 |
0,0903 |
9,03 |
0,10 |
0,09 |
4 |
240-320 |
280 |
-1 |
13 |
0,13 |
-0,13 |
0,13 |
-0,92091 |
-0,48238 |
-0,32121 |
-0,18439 |
0,1368 |
13,68 |
0,03 |
0,14 |
5 |
320-400 |
360 |
0 |
15 |
0,15 |
0 |
0 |
-0,48238 |
-0,04385 |
-0,18439 |
-0,01595 |
0,1684 |
16,84 |
0,20 |
0,17 |
6 |
400-480 |
440 |
1 |
16 |
0,16 |
0,16 |
0,16 |
-0,04385 |
0,39468 |
-0,01595 |
0,11735 |
0,1333 |
13,33 |
0,53 |
0,17 |
7 |
480-560 |
520 |
2 |
14 |
0,14 |
0,28 |
0,56 |
0,39468 |
0,83321 |
0,11735 |
0,29673 |
0,1794 |
17,94 |
0,86 |
0,14 |
8 |
560-640 |
600 |
3 |
11 |
0,11 |
0,33 |
0,99 |
0,83321 |
1,27173 |
0,29673 |
0,39796 |
0,1012 |
10,12 |
0,08 |
0,10 |
9 |
640-720 |
680 |
4 |
6 |
0,06 |
0,24 |
0,96 |
1,27173 |
1,71026 |
0,39796 |
0,45637 |
0,0584 |
5,84 |
0,00 |
0,06 |
10 |
720-800 |
760 |
5 |
5 |
0,05 |
0,25 |
1,25 |
1,71026 |
2,14879 |
0,45637 |
0,48382 |
0,0275 |
2,75 |
1,85 |
0,03 |
Σ |
|
|
|
100 |
1 |
0,6 |
5,56 |
|
|
|
|
|
|
4,47 |
|
На основании расчётов, выполненных в предыдущих подразделах, показатели надежности определяют двумя методами: параметрическим, когда параметры закона распределения известны, и непараметрическим – когда не известны.
Для нормального распределения вероятность безотказной работы до первого отказа параметрическиопределяют по формуле:
, (1.16)
где F(l)=Ф0 (t)– функция нормального распределенияП.2.3и.
Интенсивность отказов при достижении наработки l:
, (1.17)
где φ0(t)= φ0(-t)- функция нормированного и центрированного распределенияП.2.4:
. (1.18)
Средняя наработка до отказа: .
При непараметрическом методеиспользуют статистические данные.
Вероятность безотказной работы P(l):
, (1.19)
где n(l)– число объектов, оставшихся исправными после наработкиl.
Средняя наработка до отказа:
, (1.20)
где - серединаj-го интервала наработки.
lср= 408000 км.
Интенсивность отказов:
, (1.21)
где - достаточно малый промежуток наработки. Рекомендуется принять равным интервалу наработки в табл. 1.
Относительная погрешность вычислений определяется соотношением:
,% (1.22)
где ПпиПн– показатели, определенные параметрическим и не параметрическим методами соответственно.
Таблица 3. - Результаты расчета параметрическим и непараметрическим методами.
l,103 км |
t |
Параметрически |
Непараметрически | ||||
Ф0(t) |
φ0(t) |
P(l) |
λ(l) |
P(l) |
λ(l) | ||
0 |
-2,2365 |
0,987 |
0,0336 |
0,987 |
1,866E-07 |
1 |
3,75E-07 |
80000 |
-1,79797 |
0,9641 |
0,079 |
0,9641 |
4,492E-07 |
0,97 |
9,0206E-07 |
160000 |
-1,35944 |
0,9115 |
0,16 |
0,9115 |
9,622E-07 |
0,9 |
1,3889E-06 |
240000 |
-0,92091 |
0,8225 |
0,26 |
0,8225 |
1,733E-06 |
0,8 |
2,0313E-06 |
320000 |
-0,48238 |
0,683 |
0,3565 |
0,683 |
2,861E-06 |
0,67 |
2,7985E-06 |
400000 |
-0,04385 |
0,52 |
0,398 |
0,52 |
4,196E-06 |
0,52 |
3,8462E-06 |
480000 |
0,394676 |
0,655 |
0,368 |
0,345 |
5,847E-06 |
0,36 |
4,8611E-06 |
560000 |
0,833205 |
0,795 |
0,278 |
0,205 |
7,434E-06 |
0,22 |
0,00000625 |
640000 |
1,271735 |
0,8536 |
0,177 |
0,1464 |
6,627E-06 |
0,11 |
6,8182E-06 |
720000 |
1,710264 |
0,9554 |
0,0941 |
0,0446 |
1,157E-05 |
0,05 |
0,0000125 |
800000 |
2,148793 |
0,9842 |
0,0396 |
0,0158 |
1,374E-05 |
0 |
0 |
Рисунок 2.
Рисунок 3.
Ряд 1. – параметрическая зависимость;
Ряд 2. – непараметрическая зависимость.
Область наихудшей сходимости для вероятности безотказной работы (56480000 – 64560000):
.
Интервал наихудшей сходимости для интенсивности отказов (640000–720000):
Область наилучшей сходимости для вероятности безотказной работы (80000 - 160000):
.
Интервал наилучшей сходимости для интенсивности отказов (240000 - 320000):