4. Метрические задачи

Ранее было показано, что при всех видах проецирования часть геометрических свойств фигур, измеряемых линейными и угловыми параметрами, искажается. При чтении чертежей необходимо знать способы решения задач по восстановлению неискаженных линейных и угловых параметров.

Назовём метрическими задачи, связанные с восстановлением параметров геометрических фигур, определяемых линейными и угловыми величинами. К метрическим относятся также задачи на построение отрезков и углов по заданным линейным и угловым величинам параметров.

Метрические задачи решаются на метрически-определённом чертеже, который несет в себе систему параметризации и является обратимым.

Базовым понятием здесь является понятие метрики пространства.

Под метрикой понимается способ определения или задания расстоя-

ния между двумя точками или элементами пространства.

В трехмерном пространстве метрика определяется длиной отрезка, соединяющего две точки. При произвольном положении этого отрезка относительно плоскости проекций длина его проекции изменяется. Для восстановления длины отрезка, определяющего расстояние между точками, необходимо решить на чертеже метрическую задачу.

Рис. 37

На рис. 37 показан отрезок АВ и его проекция Аi Вi на плоскость проекций Пi . При ортогональном проецировании проекция Аi Вi меньше отрезка АВ. Это наглядно показано построением треугольника АВА', в котором отрезок АВ является гипотенузой, а отрезок А' В = Аi Вi – катетом. При этом угол

γ измеряет угол наклона отрезка АВ к плоскости Пi . Справа на рис. 37 по-

41

казан чертеж в двух проекциях некоторого отрезка АВ. Восстановить истинное значение параметра формы отрезка АВ по его проекциям можно построением треугольника А1 В1 А', аналогичного такому треугольнику на левом чертеже. Все параметры для построения на чертеже имеются, в частности, отрезок А1 А' = А2 А'2 , т. е. разности аппликат точек А и В. Аналогичный треугольник можно построить и на проекции А2 В2 . В этом случае отрезок А1 А'1 = А2 А является разностью ординат точек А и В.

На правом чертеже отмечены величины углов наклона отрезка АВ к плоскостям П1 и П2 (соответственно ϕ и δ).

Изложенный способ восстановления метрики трехмерного простран-

ства по чертежу назовем способом прямоугольного треугольника.

Большое значение при решении метрических задач имеет восстановление и распознавание на чертеже условий взаимной параллельности и перпендикулярности фигур. Эти геометрические условия являются основой решения задач на построение истинных расстояний от точки до плоскости, расстояний между прямыми и плоскостями.

Базовыми понятиями здесь являются: условие неискаженности па-

раметров формы фигур при их проецировании и теорема о проецировании прямого угла, а также известные теоремы геометрии о параллельности и перпендикулярности фигур. Приведём некоторые из них.

•Прямая параллельна плоскости, если в плоскости можно построить прямую, ей параллельную.

•Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, инцидентным этой плоскости.

•Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые, инцидентные одной плоскости, параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

•Две плоскости перпендикулярны друг другу, если каждая из них содержит перпендикуляр к другой плоскости.

Приведём примеры решения задач, связанных с распознаванием либо реализацией на чертеже геометрических условий параллельности и перпендикулярности фигур в пространстве.

Перед графическим решением полезно представить мысленно структуру данных в пространстве и операции по решению задачи.

На рис. 38, а показаны проекции ГЧО плоскости в виде трех точек, соединённых в треугольник. Требуется определить параметры формы треугольника АВС по его проекциям. Представляя ситуацию в пространстве и анализируя проекции, мы видим, что плоскость треугольника АВС параллельна плоскости проекций П1 . Следовательно, на эту плоскость тр еугольник проецируется без искажений формы. Его проекция А1 В1 С1 представляет

42

без искажения его параметры формы и величины с точностью до масштаба чертежа.

что прямая а − горизонталь. Применив теорему о проецировании прямого угла, строим фронтальную проекцию А2 , 12 перпендикуляра, моделирующего искомое расстояние. По линии связи находим горизонтальную проекцию А1 , 11 перпендикуляра и строим истинную величину отрезка А1 , применяя метод прямоугольного треугольника.

определить расстояние от точки А до плоскости β.

Анализируя данные, замечаем, что плоскость β фронтальнопроецирующая. Следовательно, фронтальная проекция перпендикуляра из А к плоскости будет перпендикулярна следу β2 , а отрезок А2 К2 будет истинной величиной искомого расстояния. Отрезок АК является фронталью, поэтому А1 К1 параллельна оси х12 .

На рис. 39 решена задача на определение истинной величины расстояния от точки D (D1 , D2 ) до плоскости общего положения γ, заданной тремя точками: A, B, C.

Для решения задачи необходимо из точки D построить перпендикуляр к плоскости γ (A, B, C ). Затем построить точку пересечения К этого пер-

пендикуляра с плоскостью γ. В заключение необходимо построить истинную величину отрезка DК по его проекциям. Заметим, что в этой задаче наиболее заметна позиционная часть, связанная с построением проекций точки пересечения перпендикуляра с плоскостью.

43

На практике многие задачи, решаемые на чертеже, содержат как метрические, так и позиционные операции. Для построения проекций пер-

пендикуляра к плоскости общего положения γ (A, B, C ) приходится строить в этой плоскости линии уровня: горизонталь А, 1 (А2 , 12 ; А1 , 11 ) и фронталь С, 2 (С1 , 21 ; С2 , 22 ).

Рис. 39

Горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости проходит через D1 перпендикулярно А1 , 11 , фронтальная проекция проходит через D2 перпендикулярно C2 , 22 . Здесь использована теорема о проецировании прямого угла. Проекции точки пересечения К1 , К2 получаем решением задачи на пересечение полученного перпендикуляра с плоскостью. Для этого строим плоскость-посредник β (β2), фронтальный след которой проходит через фронтальную проекцию перпендикуляра (поскольку β фронталь- но-проецирующая плоскость). Прямая 3, 4 (31 , 41 ; 32 , 42 ) является линией пересечения β с плоскостью γ (A, B, C ). Точка К (К1 , К2) − искомая

точка пересечения перпендикуляра с плоскостью γ . Завершает решение операция построения истинной длины | КD | отрезка КD (K1 , D1 ; К2 , D2 ) способом прямоугольного треугольника.

44