Табл. 3 и 4 для трехмерного пространства аналогичны по структуре

табл. 1 и 2.

Таблица 3

Таблица геометрических условий и эквивалентных им параметров в трехмерном пространстве

Таблица 4

Таблица параметров в трехмерном пространстве

Рассмотрим практическое применение параметризации на одном из важных в инженерной графике примерах.

В ЕСКД одним из основных стандартов является ГОСТ 2.307-68, в котором рассматриваются правила нанесения размеров на чертежах. Одним из основных требований этого стандарта является п. 1.2 «Общее количество размеров на чертеже должно быть минимальным, но достаточным для изготовления и контроля изделия». Изложенные здесь сведения о параметрической теории позволяют сделать вполне определенным процесс нанесения размеров на чертеже и минимизацию их по количеству.

Пусть имеется плоская фигура (рис. 12). Требуется нанести на изображении минимальное количество размеров, необходимых для геометрического построения фигуры. Разобьем фигуру на простейшие фигуры, на рис. 12 это части окружностей и прямых. На рис. 12 окружности обозначе-

ны символом О i , i = 1, 2, 3, ... , а прямые – символом П i .

Отнесем фигуру к системе координат Охy. Последнюю выберем так, чтобы не менее трех параметров были заменены геометрическими условиями.

Центр окружности О1 совмещён с началом координат, что эквивалентно заданию двух параметров. Центр окружности О3 совмещён с осью Ох, что эквивалентно одному параметру.

Осуществим параметризацию элементов фигуры, учитывая геомет-

2. Проецирование

Рассмотрим операцию отображения фигур трехмерного пространства в пространство изображений, которое двумерно.

Основой этого отображения является проецирование.

Пусть на рис. 13 имеется плоскость изображений Пi и не принадлежащая ей точка А трехмерного пространства.

Под проецированием понимается проведение через точку А прямой

линии не параллельной плоскости Пi . Такая прямая называется проеци-

рующей. Точка пересечения Ai проецирующей прямой с плоскостью Пi называется проекцией. Плоскость Пi называется плоскостью проекций. Проецирующие прямые могут определяться либо параллельностью некоторо-

му вектору S , называемому направлением проецирования, либо проходить через точку S – центр проецирования. В первом случае проецирование называется параллельным, во вто-

ром – центральным. Точки Аi , Сi S

называются соответственно параллельной либо центральной проекциями. Параллельное проецирование (и проекция) называ-

ется ортогональным, если угол между проецирующей прямой и плоскостью проекций равен 90°, и косоугольным – во всех других случаях.

Из рис.13 видно, что точки, лежащие на одной проецирующей прямой, проецируются в одну точку. Такие точки назы-

ваются конкурирующими. При этом точка, которая лежит первой по направлению проецирования, перекрывает на плоскости проекций все остальные точки данной проецирующей прямой. Они становятся невидимыми. Это свойство конкурирующих точек применяется для определения видимости точек и линий на чертежах. Так на рис. 13 точки А и С являются в проекциях видимыми, а точки В и D невидимыми.

Конкурирование точек ведёт к неполноте получаемого проекционно-

го чертежа. Имея только плоскость Пi , невозможно установить положение точек в пространстве. На обратимом чертеже также должна присутствовать проекция системы параметризации, без которой нельзя устанавливать параметры положения и формы оригинала. В связи с этим были разработаны соответствующие геометрические схемы получения обратимых чертежей. Схема, реализующая внешнюю параметризацию оригинала, носит название эпюра Гаспара Монжа (французский министр времен Наполеона).

16

Эпюр Монжа строится как развертка в плоскость изображения системы прямоугольных декартовых координат трехмерного пространства. На рис. 14 показана операция получения эпюра. В схеме Монжа координатные плоскости используются как плоскости проекций П1 , П2 , П3 . Оси координат служат осями проекций. Легко видеть независимость системы координат от оригинала. На рис. 14 используется традиционная индексация плоскостей проекций и осей проекций. В методе Монжа применяется ортогональное проецирование на плоскости проекций, косоугольное проецирование применяется как вспомогательное, дополняющее ортогональный чертеж. Легко заметить, что по любой паре проекций можно построить третью проекцию.

Рис. 14

Для того чтобы «восстановить оригинал» по эпюру Монжа необходимо мысленно «свернуть» эпюр в трехмерную систему координат и восстановить аппарат проецирования. Эта операция весьма сложная.

В производственной практике эпюр Монжа не применяется. Здесь реализуется геометрическая схема внутренней параметризации аппарата проецирования относительно оригинала. При этом система координат выбирается связанной с оригиналом в виде системы базирования (рис. 15) (конструкторские либо технологические базы, относительно которых отсчитываются параметры оригинала). Остальной геометрический аппарат, включая плоскость проекций (плоскость чертежа) выбирается и задаётся относительно принятой системы базирования оригинала. Такая схема может быть названа схемой получения технического (производственного) чертежа. Этот чертеж получается в виде комплекса проекций оригинала, отображающих различные положения оригинала относительно плоскости чертежа и называемых «видами». По ГОСТ 2.305-68 вид – это изображение обращенной к наблюдателю видимой части поверхности предмета. Эти

17

виды имеют условные названия: «вид спереди», «вид сверху», и т.д. и являются по существу ортогональными проекциями оригинала на плоскость чертежа (рис. 15).

Рис. 15

Отличием схемы технического чертежа от схемы Монжа является, помимо типа параметризации, еще и процесс «чтения» чертежа. Здесь процесс восстановления оригинала по чертежу не требует раздельного восстановления системы параметризации путем «свертывания» эпюра и самого оригинала. Процесс реализуется простым «манипулированием» оригиналом перед мысленным взором. Именно поэтому схема технического чер-

тежа называется также «предметно-манипулятивный чертеж». На рис. 15

манипуляции оригиналом условно показаны стрелками.

При любом проецировании оригинала часть его геометрических свойств искажается. Геометрические свойства оригинала, которые не искажаются при проецировании, называются инвариантами проецирования. Отметим свойства, инвариантные относительно любого вида проецирования. К ним относятся: свойство быть точкой; свойство принадлежности точки линии; свойство прямолинейности линии.

Перечислим инварианты только параллельного проецирования.

−параллельность прямых в пространстве R3 при проецировании не нарушается. При центральном проецировании этот инвариант действует при условии параллельности прямых плоскости проекций.

−отношение длин отрезков прямых при параллельном проецировании сохраняется. При центральном проецировании этот инвариант действует только в случае параллельности отрезков плоскости проекций.

−наконец, если две прямые пересекаются под прямым углом, то ве-

личина ортогональной проекции угла в общем случае не равна 90°. Для того, чтобы прямой угол ортогонально проецировался в истинную величину,

18

необходимо и достаточно, чтобы одна из его сторон была параллельна плоскости проекций, а другая – не перпендикулярна плоскости проекции.

Это утверждение известно как теорема о проецировании прямого угла.

При центральном проецировании эти инварианты реализуются при частном положении оригинала относительно плоскости проекций.

Рассмотрим теперь некоторые правила задания на чертеже различных оригиналов и правила чтения этих чертежей.

На рис. 16 с точностью до изображений показаны проекции различных прямых. Точность задания предусматривает реализацию геометрических условий положения прямых относительно плоскостей координат. Так, на положение проекций прямой a (a1 , a2 ) не накладывается никаких условий - они произвольны. Изображения такой прямой дают в пространстве R3 прямую общего положения. Расположение проекций прямой h (h1 , h2) включают в себя геометрическое условие параллельности: h2 || Оx12 . Это условие ведет к параллельности прямой h в пространстве R3 плоскости Oху, т. к. аппликаты всех точек прямой h одинаковы. Прямая h называется горизонталью. Рассуждая подобным образом, можно строить и читать чертежи различных по положению в пространстве прямых. Например, прямая f (f1 , f2 ) параллельна плоскости координат Oxz и называется фронталью. Прямая b (b1 , b2 ) перпендикулярна плоскости Oxz, она совпадает с вектором проецирования на эту плоскость и поэтому может быть названа проецирующей. Обратим внимание на то, что её проекция на плоскость Oxz вырождается в точку. Все точки такой прямой являются конкурирующими по отношению к плоскости Oxz. Легко представить себе расположение проек-

Рис. 16

19

ций горизонтально проецирующей прямой (на рис. 16 это прямая d (d1 , d2 )). Она имеет вырожденную в точку горизонтальную проекцию.

Фронтально-проецирующая прямая b (b1 , b2) имеет вырожденную фронтальную проекцию.

Рассмотрим теперь задание и чтение чертежей плоскостей и поверхностей. Будем исходить из понятия определителя, который содержит всю информацию и алгоритм построения произвольной точки плоскости либо поверхности. На рис. 17 слева направо показаны фигуры, определяющие геометрическую часть определителя плоскости: три точки, не лежащие на одной прямой, пересекающиеся прямые, параллельные прямые. На правом чертеже определитель задан точкой A (A1 , A2 ) и прямой ВС (В1 С1 , В2 C2 ). Точка А не лежит на прямой ВC. Стрелками показано действие алгоритмической части определителя на примере построения произвольной точки D (D1 , D2 ), принадлежащей плоскости. Заметим, что одна из проекций точки D (в данном примере проекция D2) выбрана произвольно. Другая проекция этой точки строится однозначно из условия принадлежности точки D вспо-

могательной прямой А1 (А1 11 , А2 12 ).

Рис. 17

На рис. 18 показаны чертежи плоскостей, занимающих частное положение в пространстве относительно плоскостей координат. Задание таких плоскостей с точностью до их изображений производится с помощью учёта геометрических условий их расположения. При ортогональном проецировании любая плоскость, перпендикулярная плоскости координат, будет проецирующей по отношению к этой плоскости. Через любую точку проецирующей плоскости можно провести принадлежащий ей вектор ортогонального проецирования. Мы встречались с проецирующими фигурами на примере прямой. Одна из проекций таких прямых вырождалась в

20

точку. У рассматриваемых плоскостей будет вырождаться в прямую проекция на ту плоскость координат, по отношению к которой плоскость будет проецирующей. Фактически это будет линия пересечения задаваемой плоскости с плоскостью координат. Такая линия называется проецирующим следом. Таким образом, у проецирующей плоскости должна быть хотя бы одна проекция в виде проецирующего следа плоскости. То же справедливо будет и для поверхностей. Подробнее об этом скажем ниже.

Сделаем важный вывод: если плоскость (поверхность) проецирующая, то любая фигура, принадлежащая ей, будет иметь проекции на проецирующих следах этой плоскости (поверхности).

Рис. 18

На рис. 18 слева направо плоскость α является фронтально-прое- цирующей. Её проекция на плоскость П2 вырождается в прямую – след α2 . Любая фигура, принадлежащая плоскости α имеет фронтальную проекцию, совпадающую со следом α2 (например проекция В2 точки В). Другие проекции точки В могут быть выбраны на соответствующих линиях связи произвольно.

Плоскость γ на рис. 18 является горизонтально-проецирующей. Её

горизонтальная проекция вырождается в след γ1 . Плоскость δ параллельна плоскости П1 . Она является дважды проецирующей к плоскостям П2 и П3 . Наконец, плоскость β профильно-проецирующая, она перпендикулярна плоскости П3 и соответственно параллельна оси Ох.

На рис. 19 наглядно показано положение плоскостей α, γ и β по отношению к системе Охyz.

Поверхности задаются проекциями геометрических частей своих определителей. Однако в этих случаях изображение может быть дополнено линиями очерка поверхности. Для выяснения этого понятия рассмотрим задачу построения плоскости, касательной к поверхности.

21

Рис. 19

Плоскость касается поверхности в точке пересечения двух линий, принадлежащих поверхности. Если эти линии кривые, то точка поверхности называется эллиптической. Примером поверхности, у которой все точки являются эллиптическими, служит сфера (на рис. 20 она изображена посредине). Поверхность γ является касательной к сфере. Точки касания образуют окружность a, проекция которой в на плоскости П является очерком сферы. Если одна из линий, участвующих в задании касательной плоскости, является прямой, то точка поверхности называется параболической.

Примерами поверхностей, состоящих из параболических точек, являются все развертывающиеся поверхности. Таковы конические и цилиндрические поверхности. На рис. 20 показаны касательные плоскости α, β -

у цилиндра, ε – у конуса. Соответственно очерковые линии обозначены буквой в.

Рис. 20

22

На некоторых поверхностях существуют точки, в которых касающиеся их плоскости одновременно пересекаются с поверхностью по некоторым линиям. Такие точки касания называется гиперболическими.

Примером поверхности, обладающей всеми тремя видами точек, является тор (кольцо). Тор образуется вращением окружности около оси, не проходящей через центр этой окружности. Ось и окружность, образующая тор, являются геометрической частью определителя этой поверхности. Очерк такой поверхности состоит из нескольких линий.

Добавим, что линии, проекциями которых являются очерки, называются контурными линиями. На рис. 20 это линии, обозначенные буквой a, там же показаны проекционные связи между контурными линиями и линиями очерка. Становится ясно, что для построения очерковых линий необходимо построить плоскости, касательные к фигуре, очерк которой строится, а также построить линии контура. Очерковые линии будут проекциями контурных линий.

Рассмотрим примеры построения линий контура и очерка на проекциях. На рис. 21 изображены проекции различных поверхностей. Слева на эпюре Монжа построены проекции трехгранной призмы, занимающей в пространстве Охyz общее положение. Представим себе плоскость α, проходящую через ребро DА призмы и являющуюся горизонтально проецирующей. Эта плоскость проецируется на горизонтальную плоскость проекций в свой след α1 , который совпадает с проекцией ребра D1 A1 . Очевидно, можно считать плоскость α касательной к поверхности призмы и имеющей с ней общую прямую.

Поворачивая плоскость α, мы можем совместить её последовательно с каждой гранью призмы. Таким образом, проекции ребер призмы могут служить очерками на одной из проекций и проекциями контурных линий на другой. Например, ребро А2С2 является очерковым на фронтальной проекции призмы. В то же время ребро А1С1 является проекцией контурной линии для ребра АС.

На рис. 21 изображены также проекции цилиндра вращения и кругового конуса. Изображения даны по схеме технического чертежа и включают таким образом «вид сверху» и «вид спереди» каждой из поверхностей. Поверхность цилиндра образуется вращением прямой (образующей) вокруг оси Oz. Поверхность кругового конуса образуется перемещением окружности, сохраняющей положение фронтально проецирующей, центр которой скользит по прямой направляющей 0S. При своём движении к точке S окружность непрерывно уменьшает радиус, который приходит в точку S, превращаясь по величине в эту точку.

23

На рис. 21 видно, что при перемещении образующей цилиндра она проходит положения 1 и 2, в которых проекции образующей выходят в положение очерковых на виде спереди. На виде сверху проекции образующих вырождаются в точки, но принадлежит также очерку вида сверху. В очерк проекций цилиндра выходят также линии, перпендикулярные проекции оси OZ. Это проекции фронтально-проецирующих окружностей, ограничивающих цилиндр сверху и снизу. На виде сверху проекции этих окружностей сливаются в одну, которая является очерком вида сверху.

На круговом конусе проекции образующих S3 и S4 образуют очерк на горизонтальной проекции вида сверху, эти же образующие на проекции вида спереди образуют проекции контурных линий. Проекции образующих S1 и S2 образуют очерк на виде спереди и проекции контурных линии на виде сверху. Фронтально-проецирующая окружность, которая ограничивает конус (она лежит в плоскости Oхy), входит в очерк своей фронтальной проекцией. На виде сверху проекция этой окружности выходит в очерк частично на протяжении от проекции точек 31 до проекции 41 при обходе по окружности по часовой стрелке.

Анализ изображений, приведенных на рис. 21, показывает, что до-

Рис. 21

24

бавление к определителю очерковых линий значительно повышает наглядность изображений поверхностей. Есть еще одна особенность, повышающая наглядность. Физические поверхности, кроме параметров положения и формы, обладают еще степенью прозрачности. Это не геометрический параметр, который вводится ради приближения геометрической модели к физической. На производственных чертежах отображаются материальные объекты, обладающие всеми физическими свойствами. Эти свойства должны быть как-то отображены на чертеже. Будем считать, что поверхность, отображаемая на чертеже, может быть непрозрачной. Это означает, что область проекции поверхности может перекрывать часть линий чертежа. Поскольку чертеж является множеством точек и линий, проверка видимости линий и точек на изображении производится только с применением этих фигур. Ранее мы упоминали о конкурирующих точках. Это точки, лежащие на одной проецирующей прямой. Их проекции совмещаются в одну точку. При этом одна из точек перекрывает другую. Последняя становится невидимой. Видимой точкой является та, которая по направлению проецирования встречается первой. Видимость линий на проекциях чертежа определяется методом конкурирующих точек.

Этот метод включает в себя обнаружение на проекциях конкурирующих точек и анализ их видимости. Проекция линии, проходящая через проекцию видимой точки, является видимой.

Например, на проекциях призмы (рис. 21) проекции ребер D2 F2 и В2 E2 пересекаются. В пространстве эти ребра не пересекаются. Поэтому пересечение их проекций означает, что на ребрах есть конкурирующие точки 2 и З. Их фронтальные проекции совпадают. Построив их горизонтальные проекции, убеждаемся, что точка 42 видна, т. к. 41 встречается первой по направлению проецирования на фронтальную проекцию. Точка 32 не видна, что отмечено помещением её в скобки. Аналогичными операциями определяется видимость на проекциях кривых поверхностей. В этом случае удаётся предварительным анализом проекций определить области видимости. Например, ясно, что вся нижняя половина окружности в проекции цилиндра вращения на виде сверху будет представлять собой набор точек, фронтальные проекции которых будут видимыми. Границей видимости являются очерковые линии. Сходной является картина и для кругового конуса, и для других поверхностей.

По ГОСТ 2.303-69 невидимые линии на проекциях чертежей изображаются прерывистыми штриховыми линиями толщиной вдвое меньшей, чем видимые линии, длина штриха от двух до восьми миллиметров.

25