3. Позиционные задачи

К позиционным относятся задачи, связанные с взаимной принадлежностью фигур. Эти задачи не требуют задания параметров фигур. Поэтому критерием разрешимости позиционной задачи является наличие двух проекций фигур, на которых эти фигуры заданы с точностью до изображений. Взаимная принадлежность фигур является структурной составляющей любого изображения, в котором наблюдаются точки, принадлежащие линиям. Например, на изображении треугольника его вершины принадлежат (или инцидентны) сторонам. Слово «принадлежность» часто заменяется словом «инцидентность». Ранее было показано, что инцидентность точки линии является инвариантом операции проецирования. На этом основании решаются задачи на инцидентность точек и линий.

Обычно рассматривают два типа таких задач:

1)определить, инцидентна ли заданная на чертеже точка линии, также заданной на чертеже;

2)построить точку, инцидентную заданной на чертеже линии.

На рис. 22 продемонстрированы оба типа задач. Относительно точек М и В решалась первая задача. Применив инвариант проецирования находим, что точка М на рис. 22, а не инцидентна прямой а, поскольку проекция М1 не инцидентна а1 . На рис. 22, б точка М принадлежит прямой h, что может быть выражено символической записью М h, где символ обозначает инцидентность. На рис. 22, в задана окружность. Точка М лежит на окружности, т. е. М С, точка М' не инцидентна окружности. Окружность ограничивает плоскость круга, которая на рис. 22, в является фронтальнопроецирующей. Она имеет проекцию в виде прямой C2 . Вырожденность

26

проекции в линию позволяет решать задачи на инцидентность, применяя инвариант инцидентности точки и линии. Так, например, точка М' не инцидентна окружности С, но инцидентна плоскости круга, ограниченного окружностью С (поскольку М'2 С2 ). Конкурирующие точки В и В' не инцидентны ни окружности ни плоскости круга.

Второй тип задач на рис. 22 решается относительно точки N. Одна из проекций выбирается произвольно, но на одной из проекций линий. Построение другой проекции производится c помощью линии связи и показано стрелками.

Аналогичные типы задач возникают при рассмотрении инциденций точек, линий плоскостям и поверхностям. При этом операции, применённые на рис. 22, являются базовыми.

На рис. 23 показаны задачи на построение точек, инцидентных плоскости. На рис. 23, а проекция D2 точки D выбрана произвольно. Горизонтальная проекция выбрана из условия принадлежности этой точки плоско-

сти D этой прямой. Все построения показаны стрелками. Здесь же решена задача относительно инцидентности плоскости АВС точки Е, обе проекции которой были заданы в исходных данных. Попытка построить через точку Е вспомогательную прямую, принадлежащую плоскости, не увенчалась успехом, поскольку проекция Е1 не принадлежит проекции вспомогательной прямой. Аналогичные задачи решены на рис. 23, б. Здесь плоскость АВС

Рис. 23

является фронтально-проецирующей. Её проекция на П2 является прямой

линией − фронтальным следом плоскости. Здесь условием инцидентности любой фигуры к этой плоскости является инцидентность проекции этой

27

фигуры фронтальному следу плоскости. Поэтому точки D и В инцидентны плоскости β, а точка E не инцидентна этой плоскости. Аналогичные рассуждения применяют и в случаях решения задач на инцидентность прямых плоскости. Так, на рис. 23, в плоскость задана параллельными прямыми а и в . Построим, например, прямую m, инцидентную плоскости (а и в). Одну из проекций, например, m2 , выбираем произвольно. Проекцию m1 строим из условия прохождения её через точки 11 , 21 , фронтальные проекции которых определяли точки пересечения m2 с прямыми а2 , в2 , входящими в определитель плоскости. Эти прямые здесь играют роль вспомогательных. Здесь же решена задача определения инцидентности прямой n, обе проекции которой заданы в исходных данных. Очевидно, прямая n не инцидентна плоскости, т. к. горизонтальная проекция n1 не проходит через точки 31 и 41 . Наконец, на рис. 23, г показаны проекции прямых а и в, а также задана горизонтально-проецирующая плоскость α . Из чертежа видно, что прямая а α и в α .

При решении различных задач часто применяются прямые инцидентные плоскости или параллельные плоскостям координат. Так прямая h || хOy называется горизонталью, прямая f || хOz − фронталью. Реже применяется профильная прямая, параллельная плоскости хOz. Отмеченные прямые часто называют линиями уровня. Прямые, инцидентные плоскости и перпендикулярные линиям уровня, называют линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям координат (в случае горизонтальных линий уровня их называют линиями ската).

На рис. 24 показано построение упомянутых линий на проекциях. На чертеже рис. 24, а задана плоскость АВС, в которой построены горизонталь, фронталь и линия ската к плоскости хOy. Одна из проекций линий уровня на чертеже определена условием параллельности линии одной из плоскостей координат. Так у горизонтали h фронтальная проекция h2 || Ox, а горизонтальная проекция строится из условия инцидентности горизонтали плоскости АВС по точкам 1 и 2. У фронтали f1 параллельна оси Ox12 , остальные построения те же, что у горизонтали.

Прямая p (p1 , p2 ) является линией ската по отношению к хOy и перпендикулярна горизонтали. Исходя из теоремы о проецировании прямого угла горизонтальная проекция p1 h1 (поскольку h2 || Ox и h || xOy). Начинаем построение с p1 , проводя её в любом удобном месте. Проекцию p2 строим как проекцию прямой, инцидентной плоскости АВС. В данном случае используются проекции точек 3 и 4.

На рис. 24, б и рис. 24, в построены линии уровня на проецирую-

щих плоскостях α и β. Условия расположения этих плоскостей диктуют расположение проекций линии уровня. Так совершенно ясно, что проекции линии уровня у фронтально-проецирующей плоскости α должны располагаться на её следе α2 . Соответственно, у горизонтально-проецирующей

28

плоскости β − на следе β1 . Это обеспечивает перпендикулярность горизон-

тали к плоскости хOz в случае плоскости α и перпендикулярность фронтали в случае плоскости β. Проекции линий ската в первом случае сливаются с проекциями фронтали f, во втором случае − с проекциями горизонтали h.

Рассмотрим задачи на инцидентность с участием поверхностей.

Рис. 24

Задачи на инцидентность точки поверхности решаются способами, аналогичными тем, которые были рассмотрены при решении этих задач с участием плоскостей.

Реализуется положение: точка инцидентна поверхности, если она инцидентна линии, принадлежащей поверхности.

На рис. 25 показаны проекции конуса вращения. Выбрана произвольно одна из проекций точки – А2 . Требуется построить горизонтальную проекцию этой точки из условия её инцидентности поверхности конуса. Для решения задачи строится прямая образующая конуса так, чтобы ее фронтальная проекция была инцидентна А2 . При построении горизонтальной проекции этой образующей выясняется, что таких образующих две. Для получения единственного решения необходимо добавить к А2 условие видимости. Если А2 видима, то выбирается по линии связи нижняя точка А1.

На рис. 25 построена также окружность h, которая является горизонталью поверхности. Фронталью конуса будет гипербола, горизонтальной проекцией которой f1 будет горизонтальная прямая, рассекающая горизонтальную проекцию конуса.

На рис. 25 фронтальная проекция гиперболы не построена. Её можно построить, задавая точки на горизонтальной проекции гиперболы. Постро-

29

ить фронтальные проекции этих точек можно с помощью образующих конуса, проходящих через точки.

Рис. 25

На рис. 25 справа изображены проекции наклонного кругового цилиндра, образованного движением окружности постоянного радиуса, параллельной плоскости Х0Y, центр которой перемещается по направляющей ℓ (ℓ1 , ℓ2). Здесь решены задачи, аналогичные тем, которые решены на конусе.

На рис. 26 показаны проекции полусферы (левый рисунок) и произвольной поверхности вращения. Последняя образуется вращением произвольно образующей ℓ (ℓ1 , ℓ2) вокруг оси i (i1 , i2 ) . На этих поверхностях решены задачи, аналогичные рассмотренным на рис. 25. Точки, инцидентные поверхностям, на рис. 26 строятся с помощью горизонталей, которые в этих случаях являются окружностями. На правом рисунке построены проекции линии, инцидентной поверхности. Фронтальная проекция линии выбрана произвольно в виде прямой. Горизонтальная проекция этой линии построена с помощью набора горизонталей поверхности, пересекающих фронтальную проекцию линии в точках 1 , 2 , ... , 5 .

30