учебник часть 2 начер

Падающая тень пересекает проекцию дна ниши в точках 52 и 42 . Та-

ким образом, ранее найденные точки 12 и 1 2 и точки 42 , 52 становятся граничными точками падающей тени на коническую часть ниши. Для п о- строения падающей тени от произвольной точки входной окружности в нишу на её боковую поверхность возьмём на этой окружности произвольную точку 32 и построим из этой точки обратную тень от соответствующей образующей конуса – 32 B t2 . Эта образующая пересекает проекцию ок-

ружности входа в нишу в точке 3. Через эту точку проводим луч по пр я- мому направлению S1 до пересечения с горизонтальной проекцией В2 32 в

точке 3 t2 , которая является искомой падающей тенью от точки 3 входной окружности на боковую поверхность ниши.

На рис. 152 показаны построения собственной и падающей теней, связанных со сферой. Сфера имеет центр симметрии, совмещённый с цен-

рис. 152).

Выше мы приводили примеры поверхностей, которые знакомы нам и встречались в курсах элементарной геометрии и черчения. Анализируя алгоритмы воспроизведения таких поверхностей, мы представляли их как

155

перемещение одних линий – образующих − по другим – направляющим. Приведем примеры других поверхностей, исходя из тех же представлений.

Пусть имеются две скрещивающиеся прямые: АВ и CD, заданные своими проекциями (рис. 153). Будем считать их направляющими линиями. Образующей будем считать прямую, перемещающуюся по направляющим непрерывно и равномерно. При этом образуется поверхность, ко-

торая называется «косая плоскость» или «гиперболический параболоид».

Последнее название имеет в виду, что сечениями этой поверхности могут быть параболы и гиперболы, которые также могут быть образующими либо направляющими линиями. Алгоритмическая часть определителя может быть сформирована различными способами. Часто на перемещение прямых, образующих по направляющим, накладывают требование параллельности некоторой плоскости, которая называется плоскостью параллелизма. Существует также так называемый инженерный способ. При этом способе образующие проводят через точки направляющих, полученные делением направляющих на равное число равных по длине частей. Последний способ показан на рис. 153. Направляющие АВ и CD разделены каждая на шесть равных частей. На них вместе с конечными точками образуется семь точек, пять из которых перенумерованы от 1 до 5. Конечные точки А − D и В − С соединены прямыми, которые являются граничными образующими в отсеке поверхности. Одинаковые по номерам точки направляющих соединены прямыми, которые являются образующими, составляющими каркас поверхности. Ясно, что подобных образующих можно провести сколько угодно, приближаясь к непрерывному каркасу. В отличие от последнего тот каркас, который мы получили на рис. 153, называется дискретным. На этом каркасе можно строить тени.

На рис.153 построена падающая тень от поверхности на плоскость П1 . Для этого построены падающие тени от прямых направляющих и от образующих, составляющих каркас. На падающей тени можно провести кривую, касающуюся всех теней линий, входящих в каркас. Такая линия называется огибающей прямых каркаса. Эта огибающая входит в очерк падающей тени поверхности. Вспоминая рис. 137, мы можем заключить, что эти точки касания, определяющие очерк, являются точками касания лучей к поверхности в пространстве. Но тогда эти точки являются границей собственной тени на поверхности. Построив с помощью обратных лучей эти точки на проекциях поверхности, мы найдем границу собственной тени (она проходит через точки А1 , D1 , С1 и точки на образующих). С помощью линий связи построенную границу собственной тени можно перенести на фронтальную проекцию поверхности. Далее, анализируя падающую тень,

156

Рис. 153

Точки пересечения на рис. 153 показаны увеличенными точками. В пространстве эти точки, расположенные на образующей АD, конкурируют с точками, лежащими на других образующих каркаса. Следуя по направлению S1 луча, заключаем, что точки образующей АD отбрасывают падающие тени на образующие, с точками которых они конкурируют. Соединяя по-

157

лученные точки, получаем линию границы падающей тени от одной части поверхности на другую (такие тени иногда называют взаимными). Фронтальную проекцию границы падающей тени получают так же, как и в случае собственной тени.

На рис. 154 показаны построения собственной и падающей теней, связанных с поверхностью вращения, имеющей меридиан произвольного вида. Здесь использованы приёмы, сходные с показанными на рис. 153. Поверхность вращения заменена дискретным каркасом, образованным круговыми сечениями, полученными с помощью секущих фронтально проецирующих плоскостей, параллельных плоскости х0у. Построение падающей тени каркаса на плоскость х0у понятно из рис. 154. После этого построения строится кривая, огибающая тени каркаса. Точки касания огибающей кривой к окружностям тени каркаса с помощью обратных лучей возвращаются на фронтальные проекции линий каркаса. Горизонтальная проекция собственной тени строится на горизонтальных проекциях окружностей каркаса с помощью линий связи. Следует отметить, что горизонтальные проекции падающей и собственной тени фигуры симметричны относительно падающей тени оси вращения фигуры.

Рис. 154

158

На рис. 156 показаны проекции горизонтально-проецирующего цилиндра вращения. Из приведенной схемы построения собственной тени видно, что теневые образующие на цилиндре можно построить, используя только фронтальную проекцию. Для этого достаточно построить равнобедренный треугольник на отрезке основания цилиндра. Теневая образующая проходит через точку на проекции основания, которая получается засечкой дуги радиуса, равного катету прямоугольного треугольника, с центром дуги на оси цилиндра (см. фронтальную проекцию цилиндра на рис. 156). Доказательство истинности приведенных построений вытекают из схемы, показанной на горизонтальной проек-

Рис. 156 ции цилиндра, которая здесь дана только для наглядного доказательства истинности построений на фронтальной проекции, которые могут быть

выполнены и без второй проекции.

На рис. 157 приведены построения на проекции сферы собственной тени, а также падающей тени полусферы на фронтальную плоскость. Все построения ясны из рис. 157 и показаны стрелками. Истинность этих построений может быть доказана приведением дополнительных проекций, подобно тому, как было показано на рис. 156.

На рис. 158 показаны построения на одной проекции собственных теней на конусах вращения. На рис. 158, а показана схема построения собственной тени на конусе с произвольным

160

са наносится окружность его основания с центром в точке 0. Затем через точку 1 проводится прямая, параллельная проекции основания конуса, и очерковые образующие конуса продолжаются до пересечения с этой прямой. Через правую точку 2 проводится прямая под углом 45о к основанию конуса. Эта прямая пересекает окружность основания конуса в точках 3 и 4, через которые проводятся прямые, параллельные оси конуса, до пересечения их с проекцией основания конуса в точках 5 и 6. Последние точки находятся на теневых образующих конуса, которые проводятся через эти точки в вершину конуса. На рис. 158, а показаны построения для двух положений конуса.

На рис. 158, б показаны построения теневых образующих собственных теней на конусах вращения с углами наклона образующих к горизонтальной плоскости, равными 45о и 35о. Для наглядности показаны горизонтальные проекции. У конуса с наклоном образующих 45о

образующую конуса, горизонтальная проекция которой наклонена под углом 45о к горизонтальной линии. Эта образующая пересекает основание конуса в точке 12 . Для того чтобы найти фронтальную проекцию этой образующей, надо провести через вершину конуса фронтальную образую-

161

щую параллельно проекции луча по стандартной схеме, т. е. под углом 45о. Пересечение этой образующей с основанием конуса находится в точке 11 . Таким образом, теневую образующую этого конуса можно построить, не имея горизонтальной проекции конуса.

Необходимо запомнить схемы построений, показанные на рис. 158, т. к. они в дальнейшем будут активно использоваться.

Выше были рассмотрены методы построения теней при любых лучевых схемах. Это метод лучевого сечения, моделирующий метод посредника, а также методы обратных лучей и вспомогательного проецирования.

При использовании стандартной лучевой схемы можно использовать специфические для этой схемы способы: способ «выноса»; способ каса-

тельных поверхностей; способ биссекторных горизонталей; способ вспо-

могательных экранов и другие способы. Приведем примеры использования перечисленных способов.

На рис. 159 представлен пример использования трех из перечисленных выше способов. Эти способы применяются для объектов, ограниченных поверхностями второго порядка, имеющих одну из проекций в виде окружности. В архитектурной практике эти объекты часто называют «круглыми телами». На рис. 159 задана фронтальная проекция такого объекта. Показана также горизонтальная проекция, которая в данном случае служит для пояснений применения способов построения теней.

Требуется построить собственную тень фигуры и падающую тень от неё на фронтальную плоскость. Положение а в пространстве оси поверхности фигуры относительно фронтальной плоскости показано в виде рас-

стояния y оси до следа β2 горизонтальной плоскости проекций на фронтальной плоскости. Для построения собственной тени на фигуре используем способ касательных поверхностей. Способ заключается в том, что фигура рассматривается совместно с поверхностями цилиндров и конусов вращения, касательных к фигуре. При этом линии касания исходной фигуры и привлеченных поверхностей будут окружностями, как это бывает у соосных поверхностей вращения. Но тогда точки пересечения теневых образующих, привлеченных в задаче в качестве вспомогательных, с общими линиями касания, могут быть использованы для построения линии собственной тени на исходной фигуре.

Обратимся к рис. 159. На очерковой линии исходной поверхности выделены точки 12 и 22 , в которых прямые, касательные к очерку, параллельны оси исходной поверхности. Эти касательные могут принадлежать цилиндру вращения, соосному с исходной поверхностью. Прямая 12 22 будет фронтальной проекцией линии касания цилиндра к исходной поверхности, принадлежащей обеим поверхностям. На этой линии можно найти точку, принадлежащую собственной тени цилиндра − это точка В2 . Построение точки В2 и симметричной ей точки А2 показано на рис.159. Точки А и В принадлежат и поверхности исходной фигуры. Поэтому через эти

162

точки пройдет проекция собственной тени исходной фигуры. Аналогичным способом найдены другие точки. Построив касательные к очерку исходной фигуры, касательные прямые под углами 45о и 35о к горизонтальной линии, получим возможность использовать касательные конусы к исходной поверхности. Все построения, связанные с нахождением теневых образующих на этих конусах, показаны на рис. 158. Отметим, что точки D2 и Е2 являются крайними верхней и нижней точками на фронтальной проекции собственной тени исходной проекции. Промежуточные точки линии собственной тени исходной фигуры могут быть получены конусами с произвольным наклоном образующей.

Рис. 159

163