учебник часть 2 начер

(подробное доказательство этого факта см. на рис. 99 и в пояснении к нему). Теперь мы можем переносить на прямую 60 F отрезки любой заданной длины (аналогичные операции мы делали ранее при переносе отрезков с оси 0х на ось 0у, см. рис. 89). Отложим в любом удобном месте отрезок 10 40 и проведем через эти конечные точки отрезка прямые в точку М. Эти прямые засекают на прямой 60 F отрезок 1 к4 к, который соответствует отрезку 10 40 . Теперь прямые, проведенные через точки 1 к 4 к в точку схода F ′, будут соответствовать прямым, на которых располагаются стороны квадрата.

Рис. 98

Для определения перспектив этих сторон проведем через вершину квадрата 4 к диагональ квадрата. Для определения точки схода диаго-

нали построим угол, равный 45о, откладываемый от прямой F S . Сторона этого угла засекает линию h в точке схода F ′′ этого направления в перспективе. Через точку 4 к проводим в точку F ′′ прямую, которая засекает боковую сторону квадрата в точке 2 к. Теперь легко построить оставшуюся вершину 3 к и сторону квадрата. Построения перспективы точек окружности, вписанной в квадрат, понятны из рис. 96 и 97.

Рассмотрим теперь подробнее построение точек схода неискажающих направлений произвольных прямых. На рис. 98 такая точка М была нами построена без пояснений. Рассмотрим рис. 99. Здесь в верхней части задан чертеж перспективы отрезка ВС общего положения: построены точка

105

прямой. В нижней части рис. 99 показана та же схема, повернутая на 90°. Это «как бы» вид сверху. Плоскость картины К превратилась в прямую k. Получены точки F и А. Отрезок ВС располагается на прямой, проходящей через точку А параллельно прямой SF. Рассмотрим операцию совмещения направления, параллельного ВС, с плоскостью картины. Для этого из центра F радиусом FS проведем дугу до пересечения с k в точке М. Заменим дугу хордой. Тогда направление SM будет неискажающим при переносе отрезков с прямой SF на прямую FM. Из чертежа видно, что треугольник FSM подо-

бен треугольнику А В В . Таким образом, перемещение отрезка ВС по на-

правлению С С || SМ будет эквивалентно совмещению отрезка ВС с картиной путем вращения его вокруг оси, проходящей через точку А и перпендикулярной предметной плоскости.

Но прямые, параллельные хорде С С , имеют точку схода М. Сле-

Рис. 99

106

довательно, точка М является точкой схода параллельных прямых, которые переносят отрезки, отложенные на ВС, без искажения длины на совмещенное положение отрезка. Для построения точки М неискажающего на-

∞

правления по прямой, несущей отрезок ВС, надо из точки схода F радиу-

∞

сом F S начертить дугу окружности, которая засечёт на горизонте h искомую точку М.

Изложенная процедура позволяет решать различные метрические задачи на чертеже перспективы. Пусть необходимо найти истинную длину отрезка ВС, заданного перспективой В кС к и перспективой основания В к 1 С к 1 . Строим точку М и проводим через неё конечные точки перспективы основания отрезка прямые до пересечения с основанием карти-

ны в точках В 1 , С 1 . Проводим в этих точках перпендикуляры к основанию картины. Проводим теперь через точку М и конечные точки перспективы отрезка прямые до пересечения их с вертикалями в точках В и С. Отрезок ВС по длине будет равен истинной длине отрезка, заданного в перспективе.

шать на этой фигуре любые метрические задачи, например, построить точку Т в перспективе, используя её истинное положение, и более сложные задачи.

На рис. 100-101 решена задача построения истинной величины угла между прямыми a и b с вершиной в точке А, заданного чертежом перспективы. Опять воспользуемся методом совмещения плоскости угла φ с плоскостью картины путем вращения угла вокруг следа его плоскости на картине. В наглядном виде процесс решения показан на

рис. 100. Здесь через точку S

проведены прямые а , b , параллельные соответствующим сторонам угла в пространстве,

107

∞ ∞

Наконец, условной линией показано вращение угла S 1 к 2 к до совмещения его с плоскостью картины.

Построим теперь эти операции на чертеже перспективы (рис. 101).

Рис. 101

∞ ∞

Построим точки схода прямых a и b. Через точки 1 к, 2 к построим

след плоскости угла ϕ. Плоскость вращения точки S угла имеет след P N, перпендикулярный картинному следу угла, который является осью вращения (см. рис.100). Для построения совмещённого положения угла с карти-

ной необходимо определить радиус вращения N S . Он является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами SP и PN . В перспективе катет

SP = PD . Строим на перспективном чертеже треугольник D PN, равный треугольнику SPN в пространстве. Гипотенуза треугольника равна искомому

радиусу вращения. Из точки N на чертеже перспективы дугой радиуса D N засекаем след плоскости вращения в точке S . Соединяя эту точку со сл е-

∞ ∞

дами 1 к, 2 к сторон угла, получаем истинную величину угла ϕ .

Во многих случаях построения чертежей перспективы линию горизонта надо брать близкой к линии основания картины. В этих случаях (рис. 102) перспектива основания изображаемого объекта получается силь-

108

но сжатой, близкой к вырожденной. На рис. 102 показан чертеж перспективы трехгранной прямой призмы. Для получения на чертеже менее выраженной перспективы основания применим приём задания опущенного

плана. Для этого вводится дополнительная линия 0 основания картины. Исходя из нового расстояния между горизонтом и основанием картины,

строится новая перспектива основания A 1 B 1C 1 призмы. При этом используются точки схода и картинные следы сторон треугольника А1 В1 С1 вырожденной перспективы основания призмы.

Рис.102

Перспективы боковых ребер заданной длины можно получить с помощью введения вспомогательной плоскости α, перпендикулярной предметной плоскости Т. На рис. 102 эта плоскость задана картинным αК и

предметным αТ следами плоскости. Точка М схода предметного следа плоскости выбирается на линии горизонта в любом удобном месте. Любая прямая, проведённая из точки следа αК в точку М, будет лежать в плоскости α и являться горизонталью. Для построения в перспективе боковых рёбер призмы откладываем на следе αК истинные величины длин рёбер. Через конечные точки этих отрезков проводим горизонтали в точку М. Перспективы верхних точек ребер находим построением горизонтальных линий через перспективы точек, лежащих в предметной плоскости и являющихся вершинами треугольника основания призмы. Это можно делать и на вырожденной, и на невырожденной перспективе основания призмы. Через

109

точку пересечения проведённой прямой со следом α на предметной плоскости проводим вертикали до пересечения с соответствующей горизонталью, идущей в точку М. Из полученной точки проводим горизонтальную прямую до пересечения с перспективой вертикального ребра призмы.

Следует отметить, что использование вспомогательной вертикальной плоскости и опущенного плана могут использоваться независимо друг от друга.

В архитектурной практике часто выполняют работы по восстановлению чертежей сооружений по фотографиям, архивным чертежам, на которых отсутствует геометрический аппарат перспективы (линия горизонта, точки схода и т. п.). В этих случаях необходимо выполнять работы по во с- становлению на изображениях аппарата перспективы и решать задачи перехода от перспективы к ортогональным чертежам. Первая задача называ-

ется реконструкцией перспективы, вторая − расшифровкой перспективы.

Займемся задачей реконструкции перспективы. Здесь важна предварительная обработка изображения, включающая в себя выделение некоторой информации, необходимой для реконструкции.

Пусть (рис. 103) мы выделили на изображении четырехугольник, относительно которого достоверно известно, что это прямоугольник с соотношением сторон АВ : ВС = 2 : 3.

Покажем, что при наличии такой информации возможна реконструкция перспективы, а также расшифровка изображения с выполнением неискажённого чертежа.

Рис. 103

Для реконструкции аппарата перспективы продолжаем попарно параллельные стороны изображения четырехугольника до их пересечения в точках F ′ и F (рис. 104).

110

Рис. 104

Это точки схода, через которые проходит линия горизонта h. Основание картины проводим параллельно линии горизонта через точку А изображения. Для построения главной точки Р на линии горизонта проделаем следующие операции:

•разделим отрезок F ' F точкой L' пополам. Из точки L' как из центра проведем окружность радиуса L' F ' = L' F ;

•из точки L' проведем перпендикуляр к линии горизонта до пересечения его с окружностью в точке Е ;

111

•на основании картины от точки А отложим три произвольных, но равных по длине отрезка А1 = 12 = 23 ;

•через точки 3 и D проведем прямую до пересечения с линией горизонта h , тем самым получим точку схода К для прямых, параллельных

прямой 3D ;

•прямая 2К отсекает на стороне AD четырехугольника отрезок АD ′, длина которого относиться к длине АD как 2 : 3;

•через точку D ′ проводим прямую D F ′, образуя квадрат А В С ′ D ′ ;

•через точку А проводим диагональ АС ′ квадрата и строим точку схода F ′′ диагонали;

•проведя прямую ЕF ′′ до пересечения с окружностью, получим

точку S ;

• из точки S опустим перпендикуляр на линию горизонта − полученная точка P и будет искомой главной точкой картины.

Это можно доказать, рассматривая прямые S F и S F ′ как прямые, которые в пространстве параллельны сторонам А В и В С ′ квадрата А В С ′ D.

При этом треугольник F S F ′ на рис. 104 совмещён с плоскостью чертежа поворотом его около прямой h. Но тогда точка S является совмещённой с плоскостью чертежа центром проецирования, перпендикуляр S Р − глав-

нам углов, которые стороны АВ и CD составляют в натуре с основанием картины.

Все эти рассуждения приводят к выводу, что геометрическая схема перспективы полностью реконструирована и позволяет решать задачу перехода от перспективы объекта к его чертежу, содержащему истинные параметры формы и положения объекта.

На рис. 104 эта расшифровка перспективы выполнена построением метрических точек М и М ′ прямых, имеющих точки схода F и F ′. По-

строены и истинные длины АD (А D ) и АВ (А B ) (см. аналогичные построения на рис. 99). При точке А построены прямые, наклонённые по отношению к основанию картины под углами ϕ и γ. На эти прямые перенесены истинные длины отрезков АВ и АD. Построен прямоугольник А В 0 С0 D 0 , все параметры которого соответствуют фигуре А В С D, заданной в перспективе (рис. 103).

Таким образом, реконструкция перспективы и её расшифровка с точностью до параметров формы и положения объекта может состояться, если на исходном изображении имеется четырёхугольник, относительно которого достоверно известно, что это прямоугольник с известным соотношением длин сторон. Легко понять, что в этом случае восстанавливается полностью геометрическая схема перспективы, что даёт возможность ре-

112

шать вопросы реконструкции других частей исходного изображения. Как указывалось выше, истинные длины любых отрезков, заданных в перспективе, можно строить с помощью точек схода неискажающих направлений (рис. 99). Можно также применять метод совмещения (рис. 100-101) и метод вспомогательной плоскости «вертикальной стены» (рис. 102).

При проектировании высотных объектов, у которых высота намного больше размеров в плане применяют перспективные чертежи объектов на наклонную плоскость картины. При этом моделируется наблюдение объекта из точки, имеющей небольшую высоту по сравнению с объектом. Поэтому луч зрения направляется под некоторым углом к горизонтальному лучу. Картинная плоскость, перпендикулярная к этому лучу, наклоняется, отклоняясь от вертикальной плоскости. Здесь под лучом зрения можно понимать оптическую ось фотокамеры, а под плоскостью картины – поверхность плёнки, на которой будет выполнена фотография.

Рассмотрим приёмы построения чертежа перспективы на наклонной плоскости. Пусть оригинал и элементы геометрической схемы перспективы заданы на эпюре Монжа (рис. 105). Здесь заданы проекции оригинала – точки А (А1 , А2 ). Геометрическая схема перспективы задана плоскостью картины К, показаны горизонтальный К 1 и фронтальный К 2 следы этой плоскости. Здесь задана фронтально-проецирующая плоскость картины. Предметной выбрана плоскость П1 .

Рис. 105

113