из точки А на след плоскости β. Точка К является основанием этого перпендикуляра, а отрезок АК выражает истинное расстояние от точки А до плоскости β.

На профиле (рис. 132) определена величина интервала вдоль перпендикуляра АК. Обратим внимание на прямоугольный треугольник CKD, высота которого при вершине К равна по длине единице в масштабе высот. Высотные отметки катетов треугольника в конечных точках отличаются на единицу в масштабе высот. Из геометрии известно, что высота КЕ делит гипотенузу CD точкой Е так, что КЕ 2 = СЕ × ED . Поскольку КЕ = 1, тоСЕ и ED есть отрезки, длины которых являются взаимообратными величинами. Из треугольника CKD видно, что отрезок СЕ равен интервалу l прямой АК, перпендикулярной плоскости α. Отрезок ED равен интервалу масштаба уклонов плоскости α. При этом направления возрастания

отметок вдоль прямой АК и вдоль масштаба уклонов плоскости α имеют противоположные направления.

Вернемся теперь к чертежу, показанному на рис. 131. Здесь задача определения расстояния от точки А до плоскости α решена без построения профиля.

Начинаем решение задачи с определения интервала перпендикуляра из точки А к плоскости α. Проекция этого перпендикуляра параллельна масштабу уклонов плоскости α. На масштабе уклонов строим треугольник,

аналогичный треугольнику CKD на рис. 132. Отрезок l на рис. 131 равен искомому интервалу. Градуируем этим интервалом, начиная от точки А с отметкой 8,0. При этом направление возрастания величин отметок проти-

воположно такому же направлению на масштабе уклонов плоскости α . Теперь необходимо найти точку пересечения перпендикуляра с плоскостью α. Эта задача была нами рассмотрена выше. На чертеже рис. 131 посредником является плоскость общего положения, заданная двумя горизонталями, с отметками 2,0 и 6,0. Искомая точка К имеет отметку ~ 3,2 в масштабе интервала перпендикуляра. Теперь необходимо построить истинную величину искомого расстояния. Это сделано методом прямоугольного треугольника, в котором один из катетов – отрезок проекции перпендикуляра, другой равен разности отметок точек А и К в масштабе высот,

т. е. 8,0 – 3,2 = 4,8. Отрезок А К является искомым. Сравнение результатов решения на рис. 131 и 132 показывает, что они совпадают с точностью, достаточной для графических построений. Следует напомнить, что масштабы высот и чертежей рис.131 и 132 одинаковы.

В заключение рассмотрим задачу вертикальной планировки, которая встречается в инженерной практике. Эта задача создания на топографической поверхности горизонтальной либо наклонной плоской площадки за счет выравнивания топографической поверхности. Если работы ведутся на поверхности земли, то выравнивание достигается за счет создания насыпей

135

и выемок грунта на определенных участках. При этом возникают изменения на топографической поверхности, границы которых называют линиями работ. Пусть требуется определить границы земляных работ на участке, поверхность которого задана набором горизонталей, для создания горизонтальной площадки и въезда на неё (рис. 133).

Рис. 133

136

же отметкой. Через точку 8,0 на бровке аппарели пройдет горизонталь той же насыпи с отметкой 8,0. Эти горизонтали насыпи параллельны друг другу и отстоят друг от друга на расстоянии интервала насыпи, т.е. на 1,5 м. в масштабе чертежа. Именно на этом расстоянии пройдет горизонталь насыпи с отметкой 8,0 от точки на бровке аппарели с отметкой 9,0. Исходя из сказанного, горизонталь насыпи можно построить, построив геометрическое место точек, отстоящих от точки 9,0 на бровке аппарели на расстоянии интервала насыпи. Это будет окружность с радиусом, равным интервалу насыпи и с центром в точке 9,0. Искомая горизонталь насыпи с отметкой 8,0 будет проведена через точку 8,0 на бровке аппарели, касательной к построенной в точке 9,0 окружности. Построив из точки 9,0 перпендикуляр к проведенной горизонтали, находим масштаб уклонов плоскости насыпи, определяющий положение любых горизонталей этой насыпи. Конечно, изложенная технология может быть применена и для построения выемок.

Геометрически совокупность точки 9,0 окружности, построенной из этой точки как из центра, и масштаба уклона плоскости насыпи в данном случае может считаться геометрической частью конуса вращения с осью, проходящей через точку 9,0 перпендикулярно плоскости x0y. Линия масштаба уклонов плоскости насыпи служит здесь образующей этого конуса.

Все остальные операции по построению линии работ в области аппарели аналогичны операциям в области горизонтальной площадки.

С геометрической точки зрения интересным вопросом является построение горизонталей насыпи либо выемки в случаях, когда ось аппарели − кривая линия. Идеологически здесь полная аналогия со случаем прямой аппарели. Однако горизонтали в этом случае будут кривыми линиями, огибающими конусы (см. рис. 134). Поверхность, полученная в результате, имеет везде одинаковый уклон и называется поверхностью одинакового ската (либо равного уклона).

Рис. 134

138

На рис. 135 решена задача планировки аппарели такой формы с помощью поверхности насыпи.

На линии, ограничивающей откосы насыпей и выемок, изображены бергштрихи, моделирующие направления понижения отметок на линиях ската откосов. Для выемок они направлены от линии пересечений выемки с местностью к площадке, для насыпей бергштрихи направлены от линии контура сооружения к линиям пересечения откосов насыпей с местностью.

Рис. 135

139

8. Тени

(отображение на чертежах эффектов освещённости)

Мы наблюдаем мир благодаря тому, что у нас имеются глаза, которые являются приёмниками лучистой энергии, называемой светом.

Отображение на чертежах эффектов освещённости инженерных объектов необходимо. При этом решается ряд задач, связанных с определением формы падающих теней от инженерного объекта на землю и т. д.

Геометрическая модель построения теней на чертежах должна учитывать физические законы распространения световой энергии, а также свойства физических тел, воспринимающих эту энергию.

В физике светом называют электромагнитные излучения в виде электромагнитных волн определённой длины. Видимым излучением являются излучения с длинами волн в вакууме от 170 до 380 нм (1 нм = 10-10 м).

Лучом называется линия, совпадающая с направлением распространения волны, т. е. с направлением переноса энергии. В однородной среде лучи считаются прямыми линиями.

Имеют место эффекты отражения и преломления волны. В физике показано, что отражённые и преломленные волны сохраняют частоты падающей волны. В связи с этим сформулированы законы отражения и преломления света.

Закон отражения: отражённый луч лежит в плоскости падающего луча, причем угол отражения равен углу падения.

Закон преломления: преломленный луч лежит в плоскости падения, а угол преломления связан с углом падения как отношение синусов углов падения и преломления (что соответствует, кстати, отношению скорости волны в вакууме и в преломляющей среде).

Интерференция света возникает в тонких плёнках и наблюдается в виде радужных окрасок (например, в мыльных пузырях).

При распространении света в оптически неоднородной среде наблюдается совокупность явлений, называемых дифракцией света. В узком смысле под дифракцией понимают эффект «огибания» светом встречных препятствий, (т. е. некоторое отклонение от законов геометрической оптики).

Освещённость поверхности физического объекта в данной точке при параллельности лучей света пропорциональна косинусу угла наклона луча к нормали поверхности в данной точке.

Наряду с волновой теорией света многие закономерности и эффекты можно истолковать, исходя из квантовых представлений о свете как потоке частиц – фотонов. Оба представления не противоречат, а дополняют друг

140

друга. Так, квантовая теория хорошо приложима к вопросам взаимодействия света с веществом.

Далее в геометрической модели построения теней необходимо учитывать некоторые физические свойства предметов (оригиналов), которые освещаются и являются причинами возникновения теней. Это непрозрачность физических поверхностей (либо неполная прозрачность) и их односторонность. Физическая поверхность связана с физическим объектом, который всегда трёхмерен (т. е. имеет объём). Геометрическая поверхность двумерна, прозрачна и не имеет объёма. При построении геометрической модели освещенности мы должны считать поверхность непрозрачной и связанной с трёхмерным объектом (как бы имеющей толщину). Что касается непрозрачности, то мы вводили ее ранее, когда выясняли видимость одной части поверхности относительно другой на проекциях. Наконец, естественно считать трёхмерное пространство однородным, т. к. оно является множеством точек. Учитывая это, мы можем моделировать луч света прямой линией.

Рис. 136

На рис. 136 изображен точечный источник света S и луч, исходящий из него по некоторому направлению. Это напоминает нам работу лазерной указки. На пути луча возникает треугольник АВС, который непрозрачен и имеет некоторую толщину (в пределе равную нулю, когда треугольник превращается в геометрическую фигуру). Точка пересечения 1 луча с треугольником АВС будет освещённой точкой на плоскости АВС. Этой точке будет соответствовать точка 2, принадлежащая лучу, если его условно продолжить. Точка 2, естественно, будет не освещена. Поскольку точка 2 принадлежит треугольнику и не освещена, она будет находиться в собственной тени треугольника. Пусть теперь на пути луча, исходящего из источника S, возникает произвольный отсек другой плоскости либо поверхности. Тогда условно продолженный луч пересечет этот отсек в точках 3 и 4. Обе эти точки будут, конечно, не освещены. Тогда 3 будет те-

141

нью, падающей от точки 2 треугольника АВС на вторую поверхность. Точка 4 будет собственной тенью от точки 3 на поверхности.

Если поставить множество физических преград лучу, изображённому на рис. 136, то можно сделать полезный вывод.

При освещении физического предмета (либо множества предметов) на луче будет лежать множество точек. Первая по ходу луча точка пересечения луча с предметом будут освещена. Любая чётная точка будет собственной тенью на предмете. Любая нечётная точка (кроме первой) будет лежать в падающей тени.

Лучи, исходящие из точки S, могут иметь различное направление. Кроме того, мы можем представить точку S как бесконечно удалённую. Тогда мы получим множество параллельных лучей. Всё это аналогично процедурам центрального и параллельного проецирования. Но тогда мы можем считать тени своеобразными проекциями либо центральными из световой точки S, либо параллельными – по заданному направлению лу-

чей. Отсюда вывод: границы теней являются фигурами, обладающими всеми свойствами проекций. При построении теней действуют все инварианты операций проецирования. В дальнейшем мы будем часто использовать этот факт при построении теней.

Из рис. 136 очевидно, что операция освещения и построения собственных и падающих теней является операцией построения точки пересечения луча с поверхностью. Это позиционная задача. Напомним, что позиционные задачи решаются на полном чертеже, состоящем, как минимум, из двух проекций. Последнее часто забывают и пытаются построить тени на одном изображении. Это невозможно сделать геометрически достоверно. Хотя художники изображают освещённость, используя натуру и свою память.

Основным методом построения теней является метод лучевого сечения, моделирующий, кстати, метод посредника. Последний мы рассмотрели в разделе «Позиционные задачи».

На рис. 137 показана схема применения метода лучевого сечения для построения собственной и падающей теней, связанных со сферой и плоскостью α . При этом падающая тень строится от сферы на плоскость α. Освещение задано вектором S, перпендикулярным плоскости α , несущей падающую тень. Для построения теней введем плоскость β, пересекающую сферу, плоскость α и параллельную вектору освещения S. Эта плоскость пересекает сферу по окружности, а плоскость α по прямой. Любая точка окружности сечения будет иметь падающую тень на прямой пересечения плоскости β с плоскостью α. В самом деле, любой луч, пересекающий сечение сферы, будет иметь две точки: освещённую и лежащую в

142

собственной тени сферы. Точка пересечения луча с плоскостью α будет по счету третьей. Следовательно, это будет падающая тень.

Рис. 137

Точки касания лучей сечения сферы будут представлять собой две бесконечно близкие точки на окружности. Следовательно, точки касания будут границей собственной тени сферы в плоскости сечения (это сечение и называют лучевым). На рис. 137 точками собственной тени сферы в плоскости β лучевого сечения будут точки, обозначенные цифрами 3 и 4. В плоскости падающей тени точки 3 t и 4 t лежат на границе падающей тени сферы. Если теперь ввести множество плоскостей βi, то получим множество лучевых сечений на сфере и, соответственно, точек касания лучей, расположенных в лучевых плоскостях βi . Падающие тени этих точек формируют границу падающей тени сферы на плоскости α. При данном направлении лучей эта граница будут окружностью, при других направлениях – эллипсом. Отметим, что лучи, касательные очерка сферы (точки 1 и 2 ), будут касательными границы падающей тени.

Приведенные особенности геометрической модели освещения позволяют строить тени на любых чертежах, используя весь арсенал средств начертательной геометрии. Покажем это на простейших примерах.

Пусть (рис. 138) задан эпюр Монжа. Для построения теней необходимо задать вектор освещения, состоящий из ортогональных проекций светового луча S. Поскольку построение теней является позиционной задачей, достаточно иметь две проекции луча S (S1 , S2 ). Положение луча относительно плоскостей проекций П1 и П2 может быть любым. Пусть на эпюре заданы проекции точки А (А1 , А2 ). Требуется построить подающие тени точки А на плоскости проекций П1 и П2 .

Задача решается следующими операциями:

143

Рис. 138

• проводим через проекции точки А проекции луча, параллельные соответствующим проекциям S1 и S2 лучевой схемы;

• строим точки пересечения луча S с плоскостями проекций, для чего продолжаем проекции луча до пересечения с осью проекций х12 , и в полученных точках строим перпендикуляры к оси проекций до пересечения их с соо тветствующими проекциями лучей. Полученные точки будут

искомыми тенями: А t2 − падающая тень от точки А на плоскость П2 и А t1 − падающая тень от точки на плоскость П1 .

Отметим, что первой на проекциях вектора освещения встречается точка А t2 . Физически это будет действительная падающая тень от А на П2 . Геометрически возможно луч продолжить за точку А t2 и получить точку А t1 , которая в данном случае называется мнимой падающей тенью точки А. На рис. 138 мнимая тень показана в скобках. Иногда построение мнимой тени бывает полезным для построения действительной тени. Примеры будут приведены далее. Анализируя приведённую задачу, можно сказать, что она сводится к построению следов прямой (луча) на плоскостях проекций. Следы и являются тенями точки А.

Далее на эпюре рис.138 заданы прямые: отрезком CD – прямая, параллельная плоскости П2 (фронталь); прямая EF, перпендикулярная П2 , и прямая l, параллельная лучу S. Требуется построить действительные падающие тени на плоскости проекций прямых CD и EF и падающие тени на плоскости проекций прямой l.

Используя инварианты проецирования, заключаем, что искомые тени прямых могут быть либо прямыми, либо точкой. В самом деле, каждая из двух первых прямых задана парой точек, тени которых находятся по приведенному выше перечню операций. Из построений находим, что:

144