64 лекции по математике кн2

xɺ = u(t),

yɺ = v(t),

zɺ = w(t),

uɺ = Fx (t,x, y,z,u,v,w),vɺ= Fy (t,x, y,z,u,v,w),wɺ = Fz (t,x, y,z,u,v,w)

Решив эту систему, можно получить не только траекторию движения точки, но и закон изменения её скорости.

Покажем, как можно найти интегральные кривые нормальной системы в простейшем случае двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами вида

где x = x(t) , y = y(t) – неизвестные функции времени. Из (48.1) следует, что

dy = cx + dy , dx ax + by

а это есть не что иное, как дифференциальное уравнение первого порядка относительно неизвестной функции y = y(x), правая часть которого является однородной функцией своих аргументов. Согласно методу решения таких уравнений полагаем y/ x = u, гдеu – новая переменная, и задача сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными u и x .

48.2. Математическая модель «хищник-жертва». К нормальной системе дифференциальных уравнений приводится математическая модель, описывающая борьбу двух видов в живой природе (более подробно см. Ю.И. Неймарк «Математические модели в естествознании и технике», издательство ННГУ, 2004 г.). Эта модель связана с именами биофизика Альфреда Лотки (1880-1949) и математика Вито Вольтерра (1860-1940).

Рассмотрим пруд, в котором живут караси и щуки. Обозначим через x(t) и y(t)– функции, соответствующие числу карасей и щук в момент времени t .Будем предполагать, что x и y достаточно велики, чтобы эти функции можно было считать непрерывными и даже дифференцируемы-

52

ми. Предполагается также, что в пище для карасей нет недостатка, ив отсутствии щук караси размножаются экспоненциально со скоростью

dx = kx, k > 0, dt

которая пропорциональна их количеству. Что касается щук, то без карасей они вымирают экспоненциально со скоростью

dy = −l y, l > 0. dt

Предположим, что число «встреч» карасей со щуками пропорционально как числу карасей, так и числу щук, поэтому функция, определяющая количество карасей, удовлетворяет уравнению

dx = kx − axy, a > 0. dt

Щуки, съедая карасей, начинают размножаться со скоростью, пропорциональной числу этих «встреч», т.е. в результате получим уравнение

dy = −ly + bxy, b > 0. dt

Таким образом, приходим к системе уравнений Лотки – Вольтерра, представляющей собой простейшую модель экологической системы хищник— жертва

Коэффициенты этой системы «добываются» путём наблюдений, а ее решения находятся с помощью численного интегрирования. Ниже будут показаны графики решений для конкретной системы.

Некоторое качественное представление о сосуществовании карасей и щук может быть получено путем приведения этой системы к дифференциальному уравнению, связывающему между собой переменные x и y непосредственно, исключив из рассмотрения переменную t . А именно, если в системе (48.2) разделить одно уравнение на другое, то приходим к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными

53

k − ay dy = bx − l dx.

Общее решение этого уравнения имеет видk ln y − ay = bx − lln x + C , поэтому его интегральные кривые можно представлять как линии уровня функции

z(x, y) = bx + ay − lln x − k ln y .

Рис. 48.1

На рис. 48.1для конкретной системы (48.4) показан ы сечения поверхности z(x, y) горизонтальными плоскостями. Из этого рисунка видно, что ее линии уровня представляют собой замкнутые кривые и что эта функция, по-видимому, имеет минимум. Действительно, приравниивая к нулю частные производные

∂∂z = b − l

x x

∂z = a − k

∂y y

убеждаемся, что здесьь выполняется достаточное условие экстремума

54

Рис.48.2

Дифференциальное уравнение (48.3) для этой системы имеет замкнутые интегральные кривые, подобные показанной кривой на рис. 48.2.Решения же x(t) и y(t)системы (48.4) определяют координаты точки, «пробегаемой» с течением времени по этим интегральным кривым. Каждая замкнутая интегральная кривая соответствует периодическим колебаниям количеств щук и карасей, причем направление «движения» по кривой определяется исходной системой дифференциальных уравнений (48.4).

55

Пусть, например, сначала было 1300 карасей и 700 щук. Подставляя

рост как количества карасей, так и количества щук. Затем с точки M1 количество карасей убывает, а количество щук продолжает расти. Когда пищи для щук станет совсем мало, то их количество начнет уменьшаться (с точки M2 ) и т.д.

Точка(x0 = l /b, y0 = k /a) = (1000,800), в которой правые части уравнений (48.4) обращаются в ноль, соответствует состоянию равновесия системы, когда прирост карасей уравновешивается «деятельностью» щук, а прирост щук – их естественной смертностью.

На рис.48.4 приведены графики решения системы (48.4) с начальными условиями(x(0) =1000, y(0) =1100) , полученные численным интегрированием.

Рис.48.4

48.3. Метод исключения. Выше мы показали, как дифференциальное уравнение высокого порядка сводится к нормальной системе дифференциальных уравнений. Иногда систему дифференциальных уравнений решают методом исключения – приведением системы к дифференциальному уравнению высокого порядка. Продемонстрируем этот метод на примере линейной системы второго порядка

xɺ = ax + by

= + .

yɺ cx dy

56

Сведём ее решение к решению одного дифференциального уравнения второго порядка. Для этого продифференцируем по переменной t одно из уравнений системы, например, первое уравнениеɺɺx = axɺ + byɺ.Для того, чтобы исключить из полученного уравнения переменную y , подставим в него yɺ из второго уравнения данной системы

ɺɺx = axɺ + bcx + bdy .

Наконец, выражая переменную y из первого уравнения системы, получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно неизвестной функции x = x(t)

ɺɺx − (a + d)xɺ − (bс − ad)x = 0.

Подставив найденное решение x(t) = C1x1(t) + C2 x2 (t)в первое уравнение системы, получим вторую функцию

Ясно, что метод симметричен. Дифференцируя второе уравнение системы и исключая переменную x , получим уравнение второго порядка относительно функции y = y(t)

ɺɺy − (a + d)yɺ − (bс − ad)y = 0.

57

Раздел 9. Кратные интегралы

Лекция 49. Двойной интеграл: определение, свойства

В этой лекции мы переходим к рассмотрению способов интегрирования функций многих переменных. Интегралы, которые будут введены, являются обобщением понятия определѐнного интеграла для функции одной переменной. Напомним, что соответствующая лекция начиналась с рассмотрения задачи вычисления площади криволинейной трапеции. Сохраняя прежнюю логику рассуждений, начнѐм с геометрической задачи – нахождения объѐма цилиндрического тела.

49.1. Задача о вычислении объёма цилиндрического тела. Пусть на плоскости xOу задана область D , ограниченная линией L (где L - замкнутая кривая без самопересечений), и пусть в области D определена некоторая непрерывная функция z f (x, y) 0 .

Цилиндрическим телом будем называть тело G , ограниченное

Oz и направляющей L (рис. 49.1).

Рис. 49.1

Заметим, что это название достаточно условное. Например, полушар и конус оказываются «цилиндрическими телами». Некоторые авторы употребляют термин «тело с двумя крышками».

58

Ставим задачу найти объѐм тела G . Отметим, прежде всего, два

Теперь разобьѐм область D на подобласти D1, D2 , ..., Dn . Здесь и да-

лее под разбиением будем понимать представление D в виде объединения областей D1, D2 , ..., Dn , которые пересекаются между собой только по

границе (т.е. не имеют общих внутренних точек). В соответствии с этим тело G разобьѐтся на цилиндрические тела G1,G2 ,...,Gn , ограниченные

Рис. 49.2

Выберем в каждой частичной подобласти Di произвольную точку Pi (xi , yi ) и заменим цилиндрическое тело Gi прямым цилиндром с тем

мы всех прямых цилиндров, получим объѐм «ступенчатого» тела, дающий приближѐнное значение объѐма исходного цилиндрического тела

Ясно, что чем «мельче» будет разбита область D на части, тем точнее объѐм «ступенчатого» тела будет соответствовать тому числу, которое следует считать объѐмом тела G . За точное значение объѐма естественно принять предел сумм (49.1) при неограниченном увеличении числа подоб-

ластей Di . Переходя к пределу при n , потребуем, чтобы все частич-

ные области стягивались в точку. Для этого введѐм понятие диаметра области Di как наибольшего расстояния между еѐ точками. Диаметром раз-

биения называется наибольший из диаметров областей Di . Обозначим его

dn .

Будем считать теперь по определению, что объѐм тела G есть предел, если он существует, к которому стремится сумма (49.1) при диаметре разбиения, стремящемся к нулю

сохранять способ рассуждений, использовавшийся для определения объѐма цилиндрического тела.

Рассмотрим в плоскости xOу область D , ограниченную замкнутой

линией L без самопересечений, причѐм точки, лежащие на границе, будем считать принадлежащими области. Такие области называются замкну-

Рассмотрим произвольную последовательность интегральных сумм, составленных для функции f (x, y) в области D при различных способах

разбиения еѐ на части. Будем предполагать, что диаметр разбиения стремится к нулю при n .

Если существует предел интегральных сумм In при диаметре разбиения, стремящемся к нулю, и этот предел не зависит ни от способов разбиения области D на подобласти D1, D2 , ..., Dn , ни от выбора точек Pi в каждой подобласти Di , то этот предел называется двойным интегралом функции f (x, y) по области D и обозначается

f (x, y)ds .

D

60

Функция f (x, y) в этом случае называется интегрируемой в области

D ;область D называется областью интегрирования.

Используем независимость предела интегральных сумм для интегрируемой функции от способа разбиения исходной области на подобласти. Мы можем разбить область D на части прямыми линиями, параллельными

Поэтому для двойного интеграла в декартовых координатах используется ещѐ одно обозначение

f (x, y)dxdy .

D

Достаточным условием существования двойного интеграла является непрерывность функции f (x, y) в области D ,граница которой представ-

ляет собой кусочно-непрерывную кривую.

Пользуясь рассуждениями предыдущего параграфа, мы приходим к геометрическому смыслу двойного интеграла. Он состоит в том, что для

Рис. 49.3

61