64 лекции по математике кн2

и, следовательно, по радикальному признаку Коши данный ряд абсолютно расходится. Последнее неравенство показывает также, что при отрицательных x0 , таких, что x0 > 1 общий член рассматриваемого ряда к 0 не стремится и поэтому он не может сходиться и условно. Таким образом, область сходимости ряда совпадает с отрезком

∞

Ряд∑ e nx при любом числе x0 представляет сумму членов бесконеч-

n =1

ной геометрической прогрессии со знаменателемq = ex0 .Такой ряд схо-

дится только, если q < 1 . Т.к. неравенство ex0 > 0 выполняется при лю-

бом x , а неравенство ex0 <1 выполняется только при x0 <0, то об-

ласть сходимости рассматриваемого ряда совпадает с бесконечным интервалом (-∞,0). Причем в точке x0 его сумма равна

e x0

1 − e x0 .

Приведенные примеры показывают, что область сходимости функ-

циональных рядов может быть самой разнообразной.

∞

Пусть имеется функциональный ряд ∑ f n ( x) с областью определе-

n=1

ния D и областью сходимости D 0 . Через S(x) обозначим функцию, опре-

деленную в области D 0 , значение которой в точке x0 равно сумме число-

∞

вого ряда ∑ f n ( x0 ) . ФункцияS(x) называется суммой функционального

n =1

ряда. При этом говорят, что ряд сходится к функцииS(x) в области D 0 .

Записывается это так:

∞

∑ f n ( x ) = S ( x )

n =1

142

Лекция 59. Степенные ряды.

В предыдущей лекции наряду с числовыми рядами были введены функциональные ряды. Особое место среди функциональных рядов занимают степенные ряды. Их рассмотрению будет посвящена настоящая лекция.

59.1. Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля. Степенным рядом с центром в точке x0называется ряд вида

∞

a0 + a1(x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + ...+ an (x − x0 )n + ... = ∑an (x − x0 )n , (59.1)

n=0

где a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n ,... известные числа, называемые коэффициентами степенного ряда.

Область сходимости произвольного степенного ряда имеет достаточно простую структуру. Для выяснения ее строения сформулируем сначала следующую теорему, доказательство которой похоже на доказательство признака Даламбера.

Теорема Абеля (Нильс Абель (1802 –1829) – норвежский математик).

Рис. 59.1

Из теоремы Абеля вытекает очень важное следствие о структуре области сходимости степенного ряда. А именно: область сходимости степенного ряда представляет собой открытый интервал, симметричный относительно центра степенного ряда x0 , к которому могут примыкать один из концов или оба конца этого интервала. Иначе говоря, для всякого степенного ряда существует такое неотрицательное число R , называемое радиу-

сом сходимости степенного ряда, что при значениях х из интервала

( x0 − R, x0 + R) (т.е. когда x − x0 < R ) ряд абсолютно сходится, а вне этого интервала (т.е. когда x − x0 > R) ряд расходится (рис.59.2).

143

Рис. 59.2

Как будет видно из нижеприводимых примеров, на концах данного интервала (т.е. при x = x0 − R и при x = x0 + R) могут встречаться различ-

ные ситуации, а име нно: на обоих концах ряд может ра сходиться или на обоих концах ряд может сходиться, или на одном сходиться, а на другом расходиться. Причем и характер сходимости на концах интервала (условно или абсолютно) может быть различным.

Отметим, что могут встретиться два частных случая, когда R = 0 и когда R = +∞ . Если R = 0 , то это означает, что область сходимости сте-

пенного ряда состоит из единственной точки x = x0 , а если R = +∞ ,то это

означает, что степенной ряд сходится при всех значениях x .

Признак Даламбера и радикальный признак Коши сходимости знакоположительных рядов дают два способа нахождения радиуса сходимости степенного ряда (59.1).

Исследуем сходимость ряда на концах данного интервала. Пусть x = −6 / 5 . Получаем числовой ряд:

который является знакочередующимся вариантом гармонического ряда и который, как ранее было показано, сходится условно.

Пусть x = −4/ 5. Получаем числовой ряд

который является расходящимся гармоническим рядом. Таким образом,

область D0 = [− 6 / 5,−4 / 5).

Пример. Найти область сходимости ряда

n =1

ждения предыдущего примера, придем к выводу о том, что R = 0 и, значит, данный ряд сходится лишь при x = 0 .

Пусть имеется степенной ряд (59.1) с областью сходимостиD0 . Через f ( x) обозначим функцию, к которой этот ряд сходится в области D0 . Из общей теории функциональных рядов вытекают следующие факты:

1)Функция f ( x) непрерывна в любой замкнутой области, целиком лежащей в областиD0 .

2)Если пределы интегрирования α,β лежат в областиD0 , то опре-

деленный интеграл от функции f ( x) на участке [ α,β ] может быть вычислен

по формуле:

145

Иначе говоря, интеграл от суммы ряда равен сумме ряда интегралов от его членов.

3) Во всех внутренних точках области D0 функция f ( x) дифферен-

цируема, и ее производная может быть найдена по формуле

димым утверждениям о том, что очень многие функции (практически все элементарные функции) могут быть представлены в виде степенных рядов. А т.к. в вычислении произвольного члена степенного ряда участвуют всего четыре арифметические операции, то это означает, что значения этих функций приближенно могут быть вычислены с использованием только этих операций.

Пусть функция f (x)определена в некоторой окрестности точки x0 ,и

в окрестности этой точки она имеет производные любого порядка. Обозна-

Для функции y = e x значения самой функции и всех ее производных в точке 0 равны 1. Поэтому ряд Маклорена для нее имеет вид :

Биномиальным рядом называется ряд Маклорена для функции f (x) = (1+ x)α

147

Ряды Тейлора и Маклорена являются степенными рядами, каждый из которых имеют свою область сходимости. Естественно возникает вопрос: если ряд Тейлора составлен для функции f (x), то каким числам сходится такой ряд в точках из области сходимости? Для ответа на этот вопрос следует привлечь к рассмотрению следующий факт: для функции определенной в окрестности точки x0 и имеющей в ней производные до (n+1)-го

порядка включительно, справедливо равенство, именуемое формулой Тейлора:

вывод. Если для некоторого значения x из области сходимости рядаТейлора остаточный член Rn ( x) в формуле (59.8) стремится к 0 при n → ∞ ,

то ряд Тейлора для функции f (x) сходится к значению этой функции в точке x .

Но как выяснить, верно ли, что Rn ( x) → 0 приn → ∞ ? Для ответа на

этот вопрос можно пользоваться различными формулами определения величины R n ( x ) .По одной из таких формул величина остаточного члена может быть записана в форме Лагранжа,

148

где f (n +1) (c) есть значение (n+1)-ой производной в некоторой точке с, находящейся на интервале(x0 , x) .

Одно из достаточных условий сходимости ряда Тейлора для функции f (x) к значению этой функции в точке x приводится в следующей теореме.

Теорема. Пусть модули всех производных функции f (x) в некоторой окрестности точки x0 ограничены одним и тем же числом С. Тогда для любой точки x из этой окрестности ряд Тейлора для функции f (x) схо-

дится к значению этой функции в точке x.

Как правило, ряд Тейлора, составленный для функции f (x) , внутри области сходимости сходится к ее значениям в соответствующих точках. (Выделенные слова «как правило», подчеркивают тот факт, что следующее за ними предложение нельзя сформулировать в виде теоремы, ибо можно построить примеры, когда ряд Тейлора в области сходимости будет сходиться к значениям, отличным от значений функций, для которых он составлен.)

В частности, этот факт справедлив для функций, фигурирующих в соотношениях (59.3)-(59.5). Следовательно, в этих соотношениях в областях сходимости справа стоящих степенных рядов (и только в них) знак двоеточия может быть заменен на знак равенства.

Ранее было показано, что ряд в соотношении (59.3) сходится на всей числовой прямой и потому знак двоеточия может быть заменен на знак ра-

В соотношении (59.3) знак двоеточия может быть также заменен на знак равенства при любых значениях x.

Ряд в правой части соотношения (59.5) сходится только в области (-1,1] и только в этой области знак двоеточия может быть заменен на знак

Что касается соотношения (59.6), то если α не равно целому положительному числу, то радиус биномиального ряда равен 1 и двоеточие может быть заменено на знак равенства в области (-1,1).

Итак, ряды Тейлора и Маклорена позволяют вычислять значения функций в области сходимости посредством выполнения бесконечного

149

числа арифметических операций. Естественно, что при любых вычислениях можно выполнить только конечное число операций. Какова величина ошибки при остановке процедуры вычисления на n-ом шаге? В случае если ряд знакочередующийся, то, как уже указывалось выше, ошибка по абсолютной величине не превосходит модуля первого отбрасываемого члена. В общем случае оценка ошибки связана с определенными трудностями и сводится к оценке остаточного члена в формуле Тейлора (59.8).

Пример. Вычислить значение числа е с точностью до 0,0001.

где число ν находится на интервале (0,1). Очевидно, что на этом интервале

результата с заданной точностью достаточно вычислить первые 7 членов ряда (59.10) (их надо вычислять с точностью до 5-го знака, чтобы в результате суммирования не накопилась ошибка в 4-ом знаке). Таким образом, число e с точностью до 4-х знаков равно 2,7182.

Ряды Тейлора и Маклорена представляют собой разложения функций в степенные ряды. Они получены с помощью непосредственного вычисления значений производных в точкеx=0. Можно получать такие разложения и другими способами.

Найдем разложение функции f(x)=arctgx в степенной ряд методом интегрирования. Вспомним, что

Разложим под интегральную функцию в ряд Маклорена. Для этого предварительно продифференцируем в области сходимости соотношение (59.5). Будем иметь

Подставим в это равенство вместо переменной x величинуx2. Получим требуемое разложение:

имеющее место при |x |<1. Подставив правую часть данного соотношения в равенство (59.12) и почленно проинтегрировав ряд, получим

150

при x=-1 ряд в правой части равенства (59.13) по признаку Лейбница также сходится. Поэтому равенство (59.13) имеет место в области -1≤x ≤1. Подставив x=1, получаем равенство

функций. Как уже говорилось, степенные ряды позволяют с достаточной точностью вычислять значения функций с помощью простейших арифметических операций.

Пример. Вычислить с точностью до 0,001 значение функции

Будем считать, что подинтегральная функция приt=0 равна 1. Как известно, по формуле Ньютона – Лейбница данный интеграл вычислить не удается, ибо первообразная для подинтегральной функции является неэлементарной функцией. Разложим подинтегральную функцию в степенной ряд:

А теперь почленно проинтегрируем данный ряд в пределах от 0 до х, в результате чего получим разложение нашей функции y(x)в степенной ряд:

Подставив в данный ряд х=1, получим сходящийся знакочередующийся числовой ряд.

Для получения значения

читься первыми тремя слагаемыми, т. е. y(1)=0,946.

151