64 лекции по математике кн2

59.4. Решение дифференциальных уравнений с помощью степен-

ных рядов. С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения. Рассмотрим линейное дифференциальное уравне-

ние вида:

y ( n ) + p1 ( x) y ( n−1) + p2 ( x) y ( n−2) + ... + pn ( x) y = f ( x) .

Будем искать решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

y(x0 ) = y0 , y′(x0 ) = y0′, …, y ( n−1) (x0 ) = y0 ( n−1)

в некоторой малой окрестности точкиx0. Представим искомое решение y(x) уравнения в виде степенного ряда с неопределенными коэффициента-

Для нахождения неизвестных коэффициентов ci, данное выражение подставляется в уравнение, причем при необходимости все функции, входящие в уравнение также раскладываются в степенные ряды. Выполняя при этом необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.), приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях данного уравнения. В результате с учетом начальных условий получается система уравнений, из которой последовательно определяются коэффициенты ci.

Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям.

Пример. Найти решение уравнения y ′′ − x y = 0 c начальными усло-

Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

(2c2 + 6c3 x + 12c4 x2 + 20c5 x3 + ...) − (c0 x + c1x2 + c2 x3 + c3 x4 + ...) = 0

2c2 + x(6c3 − c0 ) + x2 (12c4 − c1 ) + x3 (20c5 − c2 ) + x4 (30c6 − c3 ) + ... = 0

Приравнивая коэффициенты при всех степенях х к 0, получаем систему

уравнений для определения коэффициентов:

152

2c2 = 0, 6c3 − c0 = 0 , 12c4 − c1 = 0, 20c5 − c2 = 0, 30c6 − c3 = 0

…

С учётом начальных условий c0 =1, c1 = 0, получаем,

Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название метод последовательного дифференцирования. Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения искомой функции в ряд Маклорена

После подстановки полученных значений найдем

y = 1 + x3 + x6 + ....

6 180

153

Лекция 60. Ряды Фурье

60.1. Введение. Рассмотрим тригонометрический ряд

представляющий собой сумму «гармоник» с целочисленными частотами. Нам удобнее далее иметь ряд в форме, указанной первой. Что ряды такого вида имеют право на существование, показывает следующий пример:

ческий ряд сходится всюду и представляет собой некоторую функцию. Немного истории. С периодическими движениями приходится иметь

дело в самых различных областях знания – в физиологии (периодические колебания сердечной мышцы), музыке, акустике, электротехнике, теории упругости и т.д. И всюду простейшими периодическими движениями являются гармонические колебания. Что сложные колебания звука представляют собой сумму гармоник, человек понял, создав первый музыкальный инструмент. Исаак Ньютон показал, что такое интересное явление природы, как радуга, это разложение белого цвета на его составляющие. Случаи разложения некоторой функции на гармоники тоже были известны. Так, в 1744г. Л.Эйлер опубликовал пример:

На рис. 60.1 приведены графики функции левой части этого выражения и первых пяти слагаемых правой части.

154

Впервые тригонометрические ряды как метод решения возник при изучении уравнения, описывающего колебания струны. В 1753г. Даниил Бернулли (1700-1782) пришел к выводу, что самыми общими решениями уравнения струны должны быть решения в виде линейных комбинаций стоячих волн, т.е. в виде тригонометрического ряда. Как ни странно, Эйлер с этим не согласился. Он сомневался в возможности представления произвольной функции тригонометрическим рядом. В 1759г. Ж.Л.Лагранж (1736-1813), изучая колебания уже не струны, а аппроксимирующей её нити с нанизанными «бусинками», и затем совершая предельный переход, «почти примирил» противоречивые точки зрения Бернулли и Эйлера.

В 1807г.Ж.Фурье (1768-1830) вывел уравнение, описывающее распространение тепла в твёрдом теле и применил тригонометрические ряды к его решению. Анализ Фурье не был принят сразу. Когда Фурье огласил его на одном из заседаний французской академии наук, Лагранж заявил, что это невозможно. Тем не менее, академия удостоила Фурье премии за математическую теорию теплопроводности (с оговорками относительно строгости и общности применяемого им метода). Публикация была отложена до 1815г. Идеи Фурье положили начало глубокому изучению теории тригонометрических рядов, где на многие возникшие там вопросы до сих пор нет ответов. Так в 1829г. немецкий математик Дирихле (1805-1859) нашёл условия, при которых функция может быть представлена тригонометрическим рядом. В 1853г. Немецкий математик Риман (1826-1866), изучая условия, при которых функция представляется тригонометрическим рядом, пришёл, в частности, к своему известному определению интеграла (которым мы и пользуемся).

155

Рассмотрим теперь на графике, как «приближаютсяя» частичные суммы ряда в примере Эй лера к функции, являющейся его суммой.

Рис. 60. 2

Мы видим, что чем больше гармоник, тем график их суммы «ближе» к графику функции

y = (π − x) / 2 .

Не будем детально вникать в смысл понятия «сходимости» последовательности частичных сумм ряда к его сумме. Просто будем помнить, что при каждом фиксированном x тригонометрический ряд сходится к значению f (x) как числовой ряд.

60.2.Коэффициенты ряда Фурье. Если функция y = f (x) «допуска-

ет» представление в виде тригонометрического ряда

то задача получения такого разложения в ряд сводится к нахождению коэффициентов a0 , an ,bn , n = 1, 2,K . Проделаем формаально следующую операцию: проинтегрируем равенство (60.2) от −π до π :

156

Поскольку все интегралы под знаком суммы равны нулю, то мы получаем

1 π

a0 = π −∫π f (x)dx .

Ясно, что для существования интеграла подынтегральная функция должна быть «достаточно хороша». С другой стороны, многое в теории рядов Фурье становится более естественным и понятным, если расширить само понятие интеграла до так называемого интеграла Лебега. Мы ограничимся понятием интеграла Римана, которым до сих пор пользовались.

Функцию f (x) будем предполагать далее такой, что существует инте-

грал

π

∫f (x) dx .

−π

Вчастности, это не исключает наличия разрывов функции.

Вернёмся теперь к правой части равенства (60.2), которую мы почленно проинтегрировали, что не всегда законно. Для этого ряд должен обладать определёнными свойствами, которые мы также не будем здесь обсуждать. Продолжаем «добывать» остальные коэффициенты. Умножим обе части равенства на функцию cos nx при любом, но фиксированном значении n = 1,2,K. Затем опять проинтегрируем по промежутку[−π, π] .

Справа получаем

Первый член исчез, а «немой» индекс суммирования мы сменили. Под знаком суммы также «пропадут» все слагаемые кроме одного, а именно члена ряда с номером m = n . В самом деле, если m ¹ n, то

формулами Эйлера-Фурье, а сам ряд с такими коэффициентами называют рядом Фурье для функции f (x) , независимо от того, сходится ли полученный ряд хотя бы в одной точке, а если где-то и сходится, то может оказаться, что совсем не к той функции, которая его «породила». Поэтому, пока не указаны условия сходимости ряда Фурье к той функции, из которой он получен, знака равенства в формуле (60.2) не ставят:

Чтобы исключить «неприятности» такого рода, используем условия Дирихле, при которых ряд Фурье сходится к функции, его породившей.

Теорема. Если функция f (x) периода 2π кусочно-монотонна в про-

межутке[−π, π] и имеет в нём не более, чем конечное число точек разрыва,

то её ряд Фурье сходится к сумме f (x0 ) в каждой точке непрерывности и к сумме

f (x0 + 0) + f (x0 − 0)

2

в каждой точке разрыва.

Напомним, что символы f (x0 − 0) и f (x0 + 0) означают, соответственно, левый и правый пределы функции в точке x0 .

158

Рис. 60.4

160

чтобы лучше был виден аппроксимирующий её тригонометрический многочлен. При x=0 получаем числовой ряд

60.3. Разложение в ряд Фурье четных функций. Полный ряд Фурье содержит как синусы, так и косинусы. Естественно ожидать, что для чётных или нечётных функций должна пропадать одна из этих составляющих. Наши «надежды» подкрепляются анализом формул для коэффициентов ряда. Пусть f (x) чётная функция, т. е. f (−x) = f (x) . Тогда

что ясно хотя бы из геометрических соображений (см. рис. 60.5).

S1 S2

x

Рис. 60. 5

161