64 лекции по математике кн2

В силу закона Кирхгофа получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

LLC

описывающее изменение заряда в этом контуре.

q

L R

C

Рис. 44.2

Рассмотренные в этом пункте математические модели, сводящиеся к линейному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами, называют линейным осциллятором.

44.2. Структура общего решения дифференциального уравнения второго порядка. Прежде, чем находить решения, отметим важные свой-

также будет его решением. В этом можно убедиться непосредственной подстановкой

(C1 y1 + C2 y2 )′′ + a1(x)(C1 y1 + C2 y2 )′ + a2 (x)(C1y1 + C2 y2 ) =

= C1(y1′′+ a1(x)y1′ + a2 (x)y1) + C2 (y2′′ + a1(x)y′2 + a2 (x)y2 ) = 0 .

Теперь возникает вопрос: «не исчерпывают» ли линейные комбинации двух линейно независимых решений дифференциального уравнения (44.2) множество всех решений этого уравнения? Ответ на этот вопрос утвердителен.

32

литель Вронского не равен нулю.Таким образом, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка представляет собой линейную комбинацию любых двух его непропорциональных (линейно независимых) решений.

Перейдем теперь к неоднородному уравнению

Пусть y(x)– какое-нибудь его решение. Покажем, что общее решение уравнения (44.7) имеет вид

где y1(x) и y2 (x) – два каких-либо линейнонезависимых решения соответствующего однородного уравнения. В самом деле,

+(y′′ + a1 y′ + a2 y) = f (x),

т.е. функция (44.8) будет решением уравнения (44.7) при любых значениях C1иC2 . Очевидно, что для произвольного решения неоднородного урав нения с заданными начальными условиями, решая линейную систему алгебраических уравнений, можно найти значения C1иC2 , при которых выбранное решение будет совпадать с функцией (44.8). Таким образом, общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

34

Лекция 45. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Особенно просто находятся решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Будем искать решение этого уравнения в виде y = eλx . Вычисляя производные и подставляя в (45.1), получимeλx (λ2 + a1λ + a2 ) = 0.Следовательно, y = eλx будет решением, если λ – корень квадратного уравнения

которое называют характеристическим уравнением соответствующего дифференциального уравнения.

Возможны следующие варианты. Если уравнение (45.2) имеет два

непропорциональные решения уравнения (45.1) (их отношение, очевидно, не равно постоянной величине). В этом случае общее решение уравнения (45.1) имеет вид

y= C1eλ1x + C2eλ 2x .

Вкачестве иллюстрации рассмотрим движение груза на пружинке.

Напомним, что отклонение y(t)груза массы mот положения равновесия под действием внешней силы f1(t) приводит к уравнению

my′′ + hy′ + ky = f1(t) ,

где второй член уравнения характеризует силу сопротивления среды, а третий «отвечает» за упругую силу пружины. По смыслу задачи коэффициенты hи k положительны. Введя очевидные обозначения, перепишем это уравнение следующим образом

y′′ + a1y′ + a2 y = f (t) .

Пусть начальные условия: y(0) = y0 , y′(0) = y1 , что соответствует заданию в начальный момент t0 = 0положения груза и его начальной скорости. Рассмотрим сначала однородное уравнение

35

Рис. 45.1

36

Рассмотрим теперь случай, когда характеристическое уравнение

случае говорят, чтоλ1 – корень кратности два). Из предыдущего следует,

(45.1). Убедимся непосредственной подстановкой, что функция y2 = xeλ1x также будет решением этого уравнения

(xy1)′′ + a1(xy1)′ + a2 (xy1) = (y1 + xy1′)′ + a1(y1 + xy1′) + a2 (xy1) =

=x(y1′′ + a1 y1′ + a2 y1) + 2y1′ + a1y1 = 0 + (2λ1 + a1)eλ1x = 0 .

Так как функции y1 = eλ1x и y2 = xeλ1x непропорциональны, то в этом случае общее решение уравнения (45.1) имеет вид

y= C1eλ1x + C2xeλ 1x = eλ 1x (C1 + C2x) .

Вмодели движения груза на пружинке рассматриваемому случаю со-

уравнения равны λ 1,2= −a1 /2. В физическом плане это означает, что сила

сопротивления и сила упругости пружины «уравновешены» в смысле указанного равенства. Тогда положение груза в момент времени t определяется формулой

− a1 t

y(t) = (C1* + C2*t)e 2 .

При малых значениях t основную «роль» играет первый множитель, линейный относительно t ,а затем с увеличением t груз будет стремиться к положению равновесия. Для конкретного примера

y′′ + 2y′ + y = 0, y(0) =1, y′(0) =1

график решения y(t) = (1+ 2t)e−t также приведён на рис. 45.1. Сначала груз движется под действием начального «толчка», а потом стремится к положению равновесия.

Остался последний случай – уравнение (45.2) имеет комплексные

чае дифференциальное уравнение будет иметь решением комплекснозначные функции вида e(α ±βi)x . Выделим из них вещественные решения.

37

Применяя знаменитую формулу Эйлера

e(α±βi)x = eαx (cosβx ± isinβx),

можно убедиться, что в этом случае действительная и мнимая части этой функции y1 = eαx cosβx и y2 = eαx sinβxобразуют пару непропорциональных вещественных решений уравнения (45.1), а его общее решение имеет вид

y= eαx (C1 cosβx + C2 sinβx).

Вмодели движения груза на пружине этот случай характеризуется не-

упругая сила пружины превосходит силу сопротивления среды. Обозначим, для краткости, корни характеристического уравнения

Вещественное решение уравнения, как мы показали ранее, имеет вид

y(t) = eαt (C1 cosβt + C2 sinβt).

Из школьного курса физики известно, что сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой снова гармоническое колебание с той же частотой. Действительно,

= С12 + С22 (sinγ0 cosβt + cosγ0 sinβt) = С12 + С22 sin(βt + γ0 ).

Таким образом, груз будет совершать затухающие колебания с частотой β по закону, описываемому функцией

Это так называемые собственные колебания изучаемой физической системы. Напомним, что рассмотренные модели вида (45.1), которые опи-

38

сывают движение груза на пружине или изменения заряда в электрическом контуре, мы называли линейным осциллятором.

Рассмотрим конкретный пример

y′′ + 0,2y′ +1,01y = 0, y(0) = 0, y′(0) =1.

Так как корни характеристического уравнения комплексные λ1,2 = −0,1± i, то решение имеет вид y(t) = e−0,1t (C1 cost + C2 sint). Найдя значения постоянных, получим y(t) = e−0,1t sint . График этого решения приведён на рис. 45.2.

Рис. 45.2

Видеальном случае, когда сопротивление среды отсутствует, уравне-

представляет собой гармонические незатухающие колебания с частотой ω.

39

Лекция 46. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

46.1. Метод неопределенных коэффициентов. Перейдем к нахождению частного решения неоднородного дифференциального уравнения

когда правая часть f (x) имеет специальный вид f (x) = Pn (x)eα x cosβxили f (x) = Pn (x)eα x sinβx,

где Pn (x) = p0xn + p1xn−1 +…+ pn−1x + pn – заданный многочлен степени n . Характеристикой правой части уравнения (46.1) назовем комплекс-

ное число α + iβ. Рассмотрим для начала случай действительной характеристики, т.е. когда правая часть имеет вид

Будем искать решение в таком же виде, что и правая часть уравнения, т.е.

где Qn (x)– многочлен, коэффициенты которого подлежат определению (отсюда происходит и название метода – метод неопределённых коэффициентов). Искомое решение (46.3) должно удовлетворять уравнению с заданной правой частью. Выполнив соответствующую подстановку y(x)в уравнение (46.1), получим равенство двух многочленов

ентами. Успех в нахождении коэффициентов многочлена Qn (x)зависит от

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему n +1уравнений для нахождения n +1неизвестных коэффициентов

A0 , A1 ,…, An .

•Если α простой (однократный) корень характеристического уравнения, то в левой части равенства (46.4) будет многочлен степени n −1. В этом случае умножим искомый многочлен на x . Степень многочлена увеличится, а число неизвестных коэффициентов не изменится. Задача свелась к предыдущей.

•И, наконец, если характеристика α совпадёт с двукратным корнем характеристического уравнения, то искомый многочлен умножаем на x2 .

Итак, если правая часть неоднородного уравнения имеет вид (46.2),то его частное решение отыскиваем в виде

y(x) = xmQn (x)eαx ,

где m = 0,1,2 число совпадений корней характеристического уравнения с характеристикой правой части α , а Qn (x)–многочлен степени n с неопределёнными коэффициентами, которые определяются подстановкой y(x) в уравнение.

Пример. Найти частное решение уравнения y′′ − 3y′ = x.

Корни характеристического уравнения равны λ1 =0 и λ2 = 3, а характеристика правой части – α = 0. Следовательно, m =1и частное решение ищем в виде

y(x) = x(A1x + A2 ) .

Найдем

y′ = 2A1x + A2 , y′′ = 2A1

и подставив в уравнение, получим тождество

−6A1x + (2A1 − 3A2 ) ≡ x .

Приравнивая теперь коэффициенты многочленов справа и слева, получим A1 = −1/6 , A2 = 1/9 и в результате

y(x) = −(1/6)x2 + (1/9)x.

В случае комплексной характеристики частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

y(x) = xmeα x (Qn (x)cosβx + Rn (x)sinβx),

41