4. Содержание отчёта

Отчёт должен быть оформлен в соответствии с инструкцией о составлении отчёта по лабораторной работе. Основная часть отчёта должна содержать:

• структурную схему лабораторной установки, схемы исследуемых цепей;

• таблицы по результатам экспериментально снятых и теоретически рассчитанных импульсных и переходных характеристик двух исследуемых цепей ( таблицы 3.1.-3.4);

• графики экспериментально снятых и рассчитанных импульсных и переходных характеристик для двух цепей по результатам таблиц 3.1.-3.4.

• графики экспериментально полученных входного и выходных сигналов для двух цепей в соответствии с таблицей 3.5;

• пример расчета и формулы теоретически полученных импульсных и переходных характеристик исследуемых цепей

• вывод формул для расчета мгновенных значений выходных сигналов цепей при подаче на их вход экспоненциального импульса;

• графики теоретически рассчитанных переходных и импульсных характеристик;

• графики теоретически рассчитанных мгновенных значений выходных сигналов цепей;

• выводы по результатам работы.

5. Контрольные вопросы

1. Что называется импульсной и переходной характеристикой линейной цепи?

2. Что представляет собой дельта‑импульс (функция Дирака) и единичный скачок (функция включения)? Каковы размерности и свойства этих функций?

3. Объясните методику экспериментального измерения временных характеристик.

4. Как теоретически рассчитать импульсную и переходную характеристики цепи по известной принципиальной схеме?

5. Как связаны между собой импульсная, переходная характеристики и операторный коэффициент передачи цепи?

6. Какова методика расчета мгновенных значений выходного сигнала цепи на основе временного метода анализа?

7. В чем отличие временного и спектрального методов анализа прохождения сигналов через линейные цепи?

8. Какова особенность определения реакции линейной цепи на прямоугольный водной сигнал с помощью временных характеристик цепи?

Библиографический список

1. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: учеб.пособие для вузов. -М.: Дрофа, 2006, с.65-66, 250-260, 216-217.

2. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы.-М.: Высш.школа, 2000, с.17-20, 193-200, 212-214, 216-221.

3. Кадышев Ш.К., Рогачёв В.И., Смирнов Ю.Г. Анализ и синтез радиотехнических цепей. ЛИАП.Л.,1978, с.45-54.

4. И.С.Гоноровский, М.П.Демин. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. пособие для вузов.-М.: Радио и связь, 1994, с.35-39, 148-151.

5. В.И.Нефедов. Основы радиоэлектроники и связи: учебник для вузов: -М.: Высш.шк., 2002, с.98-103, 207-224.

Лабораторная работа №1.4 исследование законов распределения случайных процессов

Цель работы. Ознакомление с методикой экспериментального измерения вероятностных характеристик случайных процессов. Теоретическое и экспериментальное исследование интегрального и дифференциального законов распределения гармонического колебания со случайной начальной фазой и теплового шума.

1. Методические указания

Сигналы, содержащие информацию, а также помехи и шумы, всегда присутствующие при приеме сигналов, являются случайными процессами. Их значения в произвольные моменты времени не могут быть достоверно определены. Описание случайных процессов имеет статический характер, т.е. опирается на большое количество опытных данных.

Случайный процесс Хпринято описывать в виде совокупности (ансамбля) большого количества функций времених₁(t), x₂(t),…, x_N(t), называемыхреализациямипроцесса (рис.4.1)

Путём обработки ансамбля реализаций в произвольный момент времени t₀или путём обработки только одной реализациих_N(t)в течение достаточно длительного промежутка времени Т (рис.4.2) могут быть найдены основные вероятностные характеристики случайного процесса – интегральный и дифференциальный законы распределения вероятностей.

ВероятностьР некоторого события С показывает степень возможности этого события. Количественно вероятность определяется соотношениями:

(4.1)

при обработке ансамбля реализаций и

(4.2)

при обработке одной реализации. Здесь n– количество реализаций, в которых в момент наблюденияt₀имеет место событие С,N– общее число реализаций,tc– суммарная продолжительность интервалов времени, в пределах которых имеет место событие С, Т – общее время наблюдения (T→ ∞).

Рис.4.1. Ансамбль реализаций случайного процесса

Рис.4.2. Отдельная реализация случайного процесса

Интегральный закон распределения, или функция распределенияF(x) показывает вероятность того, что случайный процесс Х имеет значение, которое меньше уровня х и является функцией этого уровня:

F(x)=P(X≤ x).(4.3)

Дифференциальный закон распределения, или плотность вероятности показывает отношение вероятности того, что значение случайного процесса лежит в бесконечно узком интервале [x, x+Δx], к ширине этого интервала

(4.4)

Законы распределения F(x) и р(х) находят путём обработки случайного процесса с применением формул (4.1) и (4.2).

При обработке ансамбля реализаций искомые вероятности вычисляются как отношение количества реализаций, для которых в момент времени t₀выполняются условияХ<хилиx≤X≤x+Δx, к общему числу реализаций. Для стационарных случайных процессов приN→ ∞найденные законыF(x)иp(x)не зависят от момента времени, для которого производилась обработка.

При обработке одной реализации x_n(t)вероятности, входящие в формулы, находят как отношение суммарного времени

(4.5)

в течение которого x_n(t)≤x(илих<x_n(t)≤x+Δx), к общему времени наблюдения Т.

Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если его вероятностные характеристики, полученные методом обработки ансамбля (при "усреднении по вертикали"), совпадают с соответствующими характеристиками, полученными методом обработки одной реализации (при "усреднении по горизонтали").

В настоящей лабораторной работе исследуются эргодические случайные процессы и их законы распределения определяются методом обработки одной реализации во времени, т.е.

(4.6)

Интегральный и дифференциальные законы распределения случайного процесса связаны между собой соотношениями:

(4.7)

Основные свойства интегрального закона:

а) F(x)– безразмерная положительная неубывающая функция;

б) F(-∞)=0 как вероятность невозможного события (Х≤-∞);

в) F(∞)=1 как вероятность достоверного события (Х≤∞);

г) вероятность попадания случайной величины на интервал от х₁дох₂равна разности функций распределения в этих точкахP(х₁<X≤ х₂)=F(х₁)- F(х₂).

Основные свойства дифференциального закона:

а) р(х)– положительная функция с размерностью, обратной размерности процесса (например, 1/В, 1/А и т.д.);

б) вероятность попадания случайной величины в интервал [х₁,х₂] равна интегралу от плотности вероятности в этих пределах:

(4.8)

в) интеграл от плотности вероятности, взятый в бесконечных пределах, равен единице:

(4.9)

Рис.4.3 Графики интегрального (а) и дифференциального (б) законов распределения

С помощью законов распределения можно найти числовые характеристики случайных процессов (математическое ожидание <х> и <х²>, а также дисперсиюD=<(x‑<x>)²> по соотношениям

(4.10)

(4.11)

Эти же характеристики можно найти путём усреднения отдельных реализаций во времени

(4.12)

(4.13)

Для эргодических процессов:

(4.14)

(4.15)

При этом имеет смысл постоянной составляющей процесса,- средней мощности всего процесса,- мощности постоянной составляющей,D– средней мощности переменной составляющей процесса.

Среднеквадратичным (действующим) значением случайного процесса называется величина

(4.16)

При экспериментальном исследовании случайных процессов определение их характеристик производится, как правило, по конечному числу реализаций или по реализации конечной длительности, представляющими собой случайную выборку из всех возможных значений случайного процесса.

Выражения (4.1) и (4.2) при этом находятся для конечных значений NиTи определяют относительную частоту события С, в пределе равную вероятности события. Функции распределения, получаемые для данной выборки случайного процесса, называются выборочными распределениями. Статистические характеристики случайного процесса, получаемые при обработке выборки, называются точечными оценками соответствующих параметров процесса. Так выражения (4.12), (4.13) при конечном интервале усреднения определяют выборочное среднее и выборочную дисперсию процесса. Такие характеристики описывают свойства процесса в вероятностном смысле, то есть также являются случайными величинами. Для увеличения близости получаемых характеристик к предельным значениям объем выборки должен быть достаточно большим.

Исследуемый в работе случайный процесс в виде гармонического колебания со случайной начальной фазой Θ

x(t)=Acos(ω₀t+Θ), (4.17)

где А и ω₀ - амплитуда и круговая частота, обладает следующими характеристиками при –A<x<A:

(4.18)

(4.19)

<x>=0;D=0,5·A²;

(4.20)

Второй случайный процесс, исследуемый в работе, тепловой шум, является результатом хаотического теплового движения большого количества электронов в проводнике и его дифференциальный закон распределения на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей является нормальным (Гауссовым):

(4.21)

Математическое ожидание теплового шума <x> равно нулю. Среднеквадратическое значение теплового шума приближено может быть определено по осциллограмме

σ=x_m/3, (4.22)

где x_m - максимальный выброс.

Интегральный закон распределения для теплового шума находится по формуле

(4.23)

где

(4.24)

представляет собой интеграл вероятности (рис.4.4).

Рис.4.4 Интеграл вероятности