§ 11. Математическое ожидание функции одного случайного аргумента

Задана функция Y =  (X) случайного аргумента X. Требуется найти математическое ожидание этой функции, зная закон распределения аргумента.

1. Пусть аргумент X—дискретная случайная величина с возможными значениями x₁, х₂,..., х_п, вероятности которых соответственно равны р₁, р₂, ..., р_п. Очевидно, Y—также дискретная случайная величина с возможными значениями у₁ = (х₁), у_г =(х₂), . .., у_n = (x_n). Так как событие «величина X приняла значение x_i» влечет за собой событие «величина Y приняла значение (x_i)», то вероятности возможных значений Y соответственно равны р₁, р₂, . .., р_п. Следовательно, математическое ожидание функции

(*)

Пример 1. Дискретная случайная величина X задана распределением

X	1	3	5
p	0,2	0,5	0,3

Найти математическое ожидание функции Y=(X)=Х²+1. Решение. Найдем возможные значения Y:

 (1)=1²+1=2;  (3)=3²+1 = 10;

 (5) = 5²+1=26.

Искомое математическое ожидание функции Y равно

М[Х²+1] = 2*0,2+ 10*0,5 + 26*0,3= 13,2.

2. Пусть аргумент X — непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения f(x). Для отыскания математического ожидания функции Y=(Х) можно сначала найти плотность распределения g(y) величины Y, а затем воспользоваться формулой

Однако если отыскание функции g(y) является затруднительным, то можно непосредственно найти математическое ожидание функции  (X) по формуле

В частности, если возможные значения X принадлежат интервалу (a,b), то

(**)

Опуская доказательство, заметим, что оно аналогично доказательству формулы (*), если заменить суммирование интегрированием, а вероятность — элементом вероятности f(x).

Пример 2. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения f (х) = sin x в интервале (0, /2); вне этого интервала f/ (х) = 0. Найти математическое ожидание функции Y= (Х) = Х².

Решение. Воспользуемся формулой (**). По условию, f (х)=sin х, (x)=x², а=0, b = /2. Следовательно,

Интегрируя по частям, получим искомое математическое ожидание

М [Х²] =

§ 12. Функция двух случайных аргументов. Распределение суммы независимых слагаемых. Устойчивость нормального распределения

Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y:

Z =  (X, Y).

Далее на примерах будет показано, как найти распределение функции Z = X + Y по известным распределениям слагаемых. Такая задача часто встречается на практике. Например, если X — погрешность показаний измерительного прибора (распределена нормально), Y — погрешность округления показаний до ближайшего деления шкалы (распределена равномерно), то возникает задача — найти закон распределения суммы погрешностей Z=X + Y.

1. Пусть X и Y—дискретные независимые случайные величины. Для того чтобы составить закон распределения функции Z = X + Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности.

Пример 1. Дискретные независимые случайные величины заданы распределениями:

X	1	2	Y	3	4
p	0,4	0,6	p	0,2	0,8

Составить распределение случайной величины Z = X+Y.

Решение. Возможные значения Z есть суммы каждого возможного значения X со всеми возможными значениями Y:

z₁=1+3=4; z₂=1+4=5; z₃=2+3=5; z₄=2+4=6.

Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы Z = 4, достаточно, чтобы величина X приняла значение x₁ =1 и величина Y — значение y₁ = 3. Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равны 0,4 и 0,2.

Аргументы X и Y независимы, поэтому события Х=1 и Y = 3 независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления (т. е. вероятность события Z= 1+3 = 4) по теореме умножения равна 0,4*0,2 = 0,08.

Аналогично найдем:

P(Z= 1+4=5) =0,4*0,8=0,32;

Р (Z = 2 + 3 = 5) = 0,6*0,2 = 0,12;

Р (Z = 2 + 4 = 6)=0,6*0,8 = 0,48.

Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместных событий Z = z₂, Z = z₃ (0,32+0,12 = 0,44):

Z	4	5	6
p	0,08	0,44	0,48

Контроль: 0,08 + 0,44+0,48=1.

2. Пусть X и Y— непрерывные случайные величины. Доказано: если X и Y независимы, то плотность распределения g(z) суммы Z = X + Y (при условии, что плотность хотя бы одного из аргументов задана на интервале() одной формулой) может быть найдена с помощью равенства

(*)

либо с помощью равносильного равенства

(**)

где f₁, f₂ — плотности распределения аргументов.

Если возможные значения аргументов неотрицательны, то g(z) находят по формуле

(***)

либо по равносильной формуле

(****)

Плотность распределения суммы независимых случайных величин называют композицией.

Закон распределения вероятностей называют устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон (отличающийся, вообще говоря, параметрами). Нормальный закон обладает свойством устойчивости: композиция нормальных законов также имеет нормальное распределение (математическое ожидание и дисперсия этой композиции равны соответственно суммам математических ожиданий и дисперсий слагаемых). Например, если X и Y — независимые случайные величины, распределенные нормально с математическими ожиданиями и дисперсиями, соответственно равными а₁= З, а₂ = 4, D₁=1, D₂ = 0,5, то композиция этих величин (т. е. плотность вероятности суммы Z = X + Y) также распределена нормально, причем математическое ожидание и дисперсия композиции соответственно равны а = 3 + 4 = 7; D=l +0,5=1,5.

Пример 2. Независимые случайные величины X и Y заданы плотностями распределений:

f(x)=;

f(y)=.

Найти композицию этих законов, т. е. плотность распределения случайной величины Z = X+Y.

Решение. Возможные значения аргументов неотрицательны, Поэтому воспользуемся формулой (***)

Заметим, что здесь z0, так как Z=X+Y и, по условию, возможные значения X и Y неотрицательны.

Рекомендуем читателю для контроля убедиться, что

В следующих далее параграфах кратко описаны распределения, связанные с нормальным, которые будут использованы при изложении математической статистики.