§ 6. Вычисление вероятности заданного отклонения

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , т. е. требуется найти вероятность осуществления неравенства |Х— а|<.

Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством

—  <Х — а<, или а —  < X<a+

Пользуясь формулой (*) (см. § 5), получим

Приняв во внимание равенство

Ф( — /) = —Ф( / )

(функция Лапласа — нечетная), окончательно имеем

Р (| X — а |< ) = 2Ф ( /).

В частности, при а = 0

Р (| X |< ) = 2Ф ( /).

На рис. 9 наглядно показано, что если две случайные величины нормально распределены и а=О, то вероятность принять значение, принадлежащее интервалу (—,), больше у той величины, которая имеет меньшее значение . Этот факт полностью соответствует вероятностному смыслу параметра  ( есть среднее квадратическое отклонение; оно характеризует рассеяние случайной величины вокруг ее математического ожидания).

Замечание. Очевидно, события, состоящие в осуществлении неравенств | X — а|< и |Х—а|, — противоположные. Поэтому, если вероятность осуществления неравенства | X — а| <  равна р, то вероятность неравенства |Х—а| равна 1—р.

Пример. Случайная величина X распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение X соответственно равны 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трех.

Решение. Воспользуемся формулой

Р (| X — а |< ) = 2Ф ( /).

По условию, = 3, а=20, =10. Следовательно,

Р (| X —20 | < 3) = 2Ф (3/10) =2Ф (0,3).

По таблице приложения 2 находим Ф (0,3) =0,1179. Искомая вероятность

Р (| X—20| < 3) = 0,2358.

§ 7. Правило трех сигм

Преобразуем формулу (см. § 6)

Р (| X — а |< ) = 2Ф ( /),

положив  = t. В итоге получим

Р (| X — а |< t) = 2Ф (t).

Если t = 3 и, следовательно, t =3 то

Р (| X—а |< 3) = 2Ф (3) = 2 * 0,49865 = 0,9973,

т, е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

§ 8. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы

Известно, что нормально распределенные случайные величины широко распространены на практике. Чем это объясняется? Ответ на этот вопрос был дан выдающимся русским математиком А. М. Ляпуновым (центральная предельная теорема): если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.

Пример. Пусть производится измерение некоторой физической величины. Любое измерение дает лишь приближенное значение измеряемой величины, так как на результат измерения влияют очень многие независимые случайные факторы (температура, колебания прибора, сложность, и др.). Каждый из этих факторов порождает ничтожную «частную ошибку». Однако, поскольку число этих факторов очень велико, их совокупное действие порождает уже заметную «суммарную ошибку».

Рассматривая суммарную ошибку как сумму очень большого числа взаимно независимых частных ошибок, мы вправе заключить, что суммарная ошибка имеет распределение, близкое к нормальному. Опыт подтверждает справедливость такого заключения.

Приведем формулировку центральной предельной теоремы, которая устанавливает условия, при которых сумма большого числа независимых слагаемых имеет распределение, близкое к нормальному.

Пусть Х₁, Х₂, ..., Х_n,,…- последовательность независимых случайных величин, каждая из которых имеет конечные математическое ожидание и дисперсию:

M(X_k)=a_k, D(X_k)=.

Введем обозначения:

S_n = X₁ + X₂+ . . . +Х_n, A_n=,

Обозначим функцию распределения нормированной суммы через

F_n(x)=P

Говорят, что к последовательности Х₁, Х₂, ... применима центральная предельная теорема, если при любом x функция распределения нормированной суммы при пстремится к нормальной функции распределения:

В частности, если все случайные величины X₁, Х₂,... одинаково распределены, то к этой последовательности применима центральная предельная теорема, если дисперсии всех величин X_i (i= 1, 2, ...) конечны и отличны от нуля. А. М. Ляпунов доказал, что если для > 0 при потношение Ляпунова

стремится к нулю (условие Ляпунова), то к последовательности Х₁, Х₂,… применима центральная предельная теорема.

Сущность условия Ляпунова состоит в требовании, чтобы каждое слагаемое суммы (S_n — А_п)/В_п оказывало на сумму ничтожное влияние.

Замечание. Для доказательства центральной предельной теоремы А. М. Ляпунов использовал аппарат характеристических функций. Характеристической функцией случайной величины X называют функцию (t)=M[e^itX].

Для дискретной случайной величины X с возможными значениями х_k, и их вероятностями р_k характеристическая функция

Для непрерывной случайной величины X с плотностью распределения f(х) характеристическая функция

Можно доказать, что характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.