- •Курсовая работа
- •Студент
- •Введение
- •Постановка задачи
- •Теоретическая часть
- •Постановка задачи для линейных уравнений переноса
- •Линейное одномерное уравнение переноса Постановка задачи
- •Разностные схемы для линейного одномерного уравнения переноса
- •Теоретическая часть, требуемая непосредственно для реализации
- •Результат работы программы
- •Реализация в пакете ms Excel
- •Список использованной литературы
Постановка задачи для линейных уравнений переноса
Рассмотрим задачи Коши для уравнений переноса следующего вида:
(1)
(2)
(3)
т.е. для одномерного линейного (a=const), одномерного квазилинейного и двумерного линейного (ине зависят отр) уравнений с финитными начальными данными.
Линейное одномерное уравнение переноса Постановка задачи
Рассмотрим задачу Коши (1) для линейного одномерного уравнения переноса с a=const, а>0, и финитным начальным условием , где функциявне отрезка, а на этом отрезке задана одним из следующих способов:
«левый треугольник»
; (4)
«прямоугольник»
; (5)
«косинус»
(6)
«зуб»
(7)
«М»
(8)
«правый треугольник»
(9)
Задача Коши (1) имеет точное решение . Это решение будем использовать в дальнейшем для контроля точности разностных схем. Точность будем определять через нормы разности точного и приближенного решений.
Разностные схемы для линейного одномерного уравнения переноса
Для численного решения введем на плоскости (x,t) равномерную пространственно-временную сетку , где
Через обозначим число Куранта, через- шаги сетки поx и t. Здесь и далее будем использовать стандартные обозначения для сеточных величин: , где верхний индекс - номер временного слоя, нижний индекс – номер узла пох. Решение на слое j считаем известным.
Рассмотрим на данной сетке наиболее известные разностные схемы или их производные, аппроксимирующие уравнение переноса (1). Ниже дано их краткое описание вместе с первым дифференциальным приближением – дифференциальным уравнением, более полно отражающим свойства разностного решения, чем исходное уравнение переноса. Приведены также условия устойчивости и порядок аппроксимации.
Явная схема с левой разностью:
(10)
Схема имеет первый порядок аппроксимации по времени и по пространству. Она устойчива, если выполнено условие . Приприменение схемы дает точное решение. Ее первое дифференциальное приближение имеет вид
Схема Лакса – Вендроффа:
(11)
где
Схема аппроксимирует исходную дифференциальную задачу со вторым порядком по времени и пространству. Она устойчива при . Присхема дает точное решение. Ее первое дифференциальное приближение имеет вид
.
Схема с центральной разностью:
(12)
Схема имеет первый порядок аппроксимации по времени и второй порядок по пространству, является безусловно неустойчивой как полусумма условно устойчивой схемы с левой разностью и безусловно неустойчивой схемы с правой разностью. Ее первое дифференциальное приближение имеет вид
.
Схема Лакса:
(13)
При выполнении условия устойчивости и стремлениик нулю быстрее, чем, схема сходится. Ее первое дифференциальное приближение имеет вид
.