5.4. Математические модели

Наиболее важным этапом при построении модели является

переход от содержательного описания к формальному, что

объясняется участием на этом этапе специалистов в предметной области, где

существует моделируемая система, и специалистов в области

моделирования систем. Наиболее удобным языком для их общения,

целью которого является построение адекватной модели системы,

обычно, является язык математических описаний. Математическое

описание системы компактно и удобно для дальнейших реализаций

на компьютере, с целью проведения статистических испытаний,

поэтому рассмотрим эти модели в первую очередь.

5.4.1. Построение математической моЗели системы

Систему S можно представить в виде множества величин,

описывающих процесс функционирования реальной системы и

образующих следующие подмножества:

подмножество входных воздействий:

(или вектор входящих воздействий х =

подмножество воздействий внешней среды:

263

(или вектор воздействия внешней среды ;

подмножество собственных параметров системы:

(или вектор внутренних параметров ;

подмножество выходных характеристик системы:

(или вектор выходных характеристик

Подмножества являются независимыми (экзогенными), Y

является зависимым (эндогенным) подмножеством. Процесс

функционирования системы описывается во времени оператором Fs,

который преобразует экзогенные переменные в эндогенные в

соответствии с соотношением

Эта зависимость называется законом функционирования

системы S. Закон функционирования F может быть задан в виде функ-

ции, функционала, логических условий, алгоритмически или

таблично, а также в виде словесного набора правил соответствия.

Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени

называется выходной траекторией y(t). Соотношение (*) является

математическим описанием поведением системы во времени,

поэтому модели такого типа называются динамическими моделями.

Если закон функционирования у не содержит параметра

времени, то такие модели называются статическими и отображают связь

между подмножеством у и подмножествами x,v,h и записывается

как у = Fs(x, v, ti).

Если в динамической модели дискретизировать время, то в

каждый момент времени можно определить состояние системы

zpe Z, р = 1,2,...,л2. Множество Z всех возможных состояний

системы называется пространством состояний системы. Процесс функ-

264

ционирования системы, изменяющей свое состояние в

фиксированные моменты времени, можно описать векторными уравнениями:

Первое уравнение по начальному состоянию z и экзогенным

переменным определяет следующее состояние, а второе по значению

состояния z определяет эндогенные переменные на выходе системы.

5.4.2. Примеры построения динамических моделей

При моделировании непрерывных динамических объектов в

качестве моделей обычно выступают дифференциальные уравнения,

связывающее поведение объекта со временем. Положительным

свойством дифференциальных уравнений является то, что одно и то же

уравнение моделирует системы различной физической природы.

В качестве независимой переменной в динамических системах

обычно выступает время, от которого зависят неизвестные значения

искомой функции, определяющие поведения объекта.

Математическое описание модели в общем виде:

где -мерные векторы и

— непрерывна.

Например, процесс малых колебаний маятника описывается

обыкновенным дифференциальным уравнением

Процесс в электрическом колебательном контуре

265

Очевидно, что если положить

1

, получим уравнение,

описывающее состояние во времени обеих систем

Общая математическая модель позволяет исследовать одну

систему, моделируя работу другой.

Рассмотрим пример построения дифференциальной модели

объекта.

Имеется сосуд, площадь горизонтального сечения которого

является функцией расстояния сечения от дна сосуда. В начальный

момент времени t = О высота уровня жидкости равна А метров.

Площадь сечения сосуда на высоте х равна S(x). В дне сосуда имеется

отверстие площадью s. Определить зависимость уровня воды в

сосуде от времени x(t).

Из физики известно, что скорость истечения жидкости v в тот

момент, когда высота ее уровня равна х, определяется равенством

, где к - коэффициент скорости истечения жидкости из

отверстия. На бесконечно малом промежутке времени dt истечение

жидкости можно считать равномерным, а поэтому за время dt

вытечет столбик жидкости, высота которого v dt и площадь сечения s,

что, в свою очередь, вызовет понижение уровня жидкости в сосуде

на — dx. Приравнивая объем жидкости, вытекшей из отверстия и из

сосуда, получим .

Полученное дифференциальное уравнение дает зависимость

уровня воды в сосуде от времени x(t). Решим теперь конкретную

задачу, выбрав сосуд с известным S(x). Пусть имеется цилиндрический

сосуд радиусом R с круглым отверстием в дне радиусом г,

наполненный водой.

266

Площадь поперечного сечения сосуда постоянна и не зависит от

, площадь отверстия в дне . Для воды

коэффициент к — 0,6. Подставив эти значения в уравнение, получим

Это уравнение может быть решено аналитически или одним из

численных методов.

Модели динамических систем на основе дифференциальных

уравнений нашли широкое применение в теории управления

различными техническими объектами. Под влиянием неизвестных заранее

возмущений фактическое поведение системы отклоняется от

желаемого, задаваемого алгоритмом и для приближения ее поведения к

необходимому значению, в состав системы вводится автоматическое

управление системой. Оно может быть встроено в саму систему, но

при моделировании блок управления отделяется от самой системы.

В общем виде структура многомерной системы автоматического

управления (САУ) представлена на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Структура многомерной системы

автоматического управления

Эндогенные переменные: — вектора входных и

возмущающих воздействий, а также вектора ошибок и

управляющих воздействий, соответственно. Экзогенные переменные:

— вектор состояния системы, который обычно совпадает с век-

267

тором выходных переменных, т.е. z(t) = y(t). (Более подробно о

моделировании САУ см.: «Теория автоматического управления»:

Учебник для машиностроит. спец. вузов/ Под ред. Ю.М. Соломенцева. М:

Высшая школа, 1999.)

5.5. Информационные модели

5.5.1. Информационные объекты и связи

Информационные модели во многих случаях опираются на

математические модели, так как при решении задач математическая

модель исследуемого объекта, процесса или явления неизбежно

преобразуется в информационную для ее реализации на компьютере.

Определим основные понятия информационной модели.

Информационным объектом называется описание реального

объекта, процесса или явления в виде совокупности его характеристик

(информационных элементов), называемых реквизитами.

Информационный объект определенной структуры (реквизитного состава) образует

тип (класс), которому присваивают уникальное имя.

Информационный объект с конкретными характеристиками называют экземпляром.

Каждый экземпляр идентифицируется заданием ключевого реквизита

(ключа). Одни и те же реквизиты в различных информационных

объектах могут быть как ключевыми, так и описательными.

Информационный объект может иметь несколько ключей.

Пример. Информационный объект СТУДЕНТ имеет реквизитный

состав: номер (номер зачетной книжки — ключевой реквизит),

фамилия, имя, отчество, дата рождения, код места обучения.

Информационный объект ЛИЧНОЕ ДЕЛО: номер студента, домашний адрес,

номер аттестата о среднем образовании, семейное положение, дети.

Информационный объект МЕСТО ОБУЧЕНИЯ включает

реквизиты: код (ключевой реквизит), наименование вуза, факультет, группа.

Информационный объект ПРЕПОДАВАТЕЛЬ: код (ключевой

реквизит), кафедра, фамилия, имя, отчество, ученая степень, ученое звание,

должность.

Отношения, существующие между реальными объектами, опре-

268

деляются в информационных моделях как связи. Существует три вида

связей: один к одному (1:1), один ко многим (1:) и многие ко

многим ().

Связь один к одному определяет соответствие одному

экземпляру информационного объекта X не более одного экземпляра

информационного объекта Y, и наоборот.

Пример. Информационные объекты СТУДЕНТ и ЛИЧНОЕ

ДЕЛО будут связаны отношением один к одному. Каждый студент

имеет определенные уникальные данные в личном деле.

При связи один ко многим одному экземпляру

информационного объекта X может соответствовать любое количество экземпляров

информационного объекта Y, но каждый экземпляр объекта Y

связан не более чем с одним экземпляром объекта X.

Пример. Между информационными объектами МЕСТО

ОБУЧЕНИЯ и СТУДЕНТ необходимо установить связь один ко многим. Одно

и то же место обучения может многократно повторяться для

различных студентов.

Связь многие ко многим предполагает соответствие одному

экземпляру информационного объекта X любое количество экземпляров

объекта Y, и наоборот.

Пример. Информационные объекты СТУДЕНТ и

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ имеют связь многие ко многим. Каждый студент обучается у

множества преподавателей, а каждый преподаватель учит множество

студентов.